卡片游戏巧创设，竞技比赛妙应用

摘要：以卡片游戏形式为问题场景的概率应用问题，是近年新高考数学概率与统计模块知识命题中比较常见的一类题型.结合一道高考真题，借助卡片比赛来创设本质为“田忌赛马”的数学实际应用场景，从不同思维层面来剖析与应用，总结并归纳解题技巧与方法策略，指导数学教学与复习备考.

关键词：概率；卡片；分类讨论；对立事件；数学建模

在新课标、新教材、新高考的“三新”背景下，数学教育更加强调育人价值，而合理引导学生进行体育锻炼，强健体魄也是其中的一个重要方面.结合近几年新高考中概率模块知识的考查趋势就可见一斑，其摒弃了浮夸的命题形式，以现实场景为创新情境，让考生把注意力集中到数学问题的本质与内涵中去，充分体现数学教育本身应有的务实作用与实用价值，强化了数学考查的本质，回归数学问题本源.而关注一些相应的游戏或比赛中的赛制问题，是概率应用中最为突出的一种应用场景.

1 真题呈现

高考真题 （2024年高考数学新高考Ⅰ卷·14）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上的数字的大小.数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为________.

2 问题剖析

此题以生活中卡片比赛为背景，通过设置比赛规则，以游戏的形式来合理体现数学在实际生活中的作用，特别是概率的应用.其问题背景应该就是“田忌赛马”的数学形式表达与创新应用.

此问题的实质是排列组合与古典概型的综合应用，难在方法的选择上，确定好分类标准是解题的关键与突破口，特别是此类元素交换类综合应用问题，需正确掌握分类的技巧与方法.

在实际解决该问题时，可以抓住问题的实质与内涵，只要注意到甲的出牌顺序不影响概率，不妨设甲出牌的顺序为1，3，5，7，这题将可以很轻松地进行分类讨论.而具体解题时，通过分类讨论直接切入，往往是解决问题最为常用的一种技巧方法；而通过对立事件间接切入，也符合问题设置中的语言场景；特别是借助数学模型的构建，利用数学建模思维来处理，可以给问题的分析与求解开拓一个全新的局面.

3 真题破解

3.1 直接思维

解法1：直接分类讨论法1.

不妨设甲出牌的顺序为1，3，5，7，乙随机出牌.

依题，第一轮有4种情况，第二轮有3种情况，第三轮有2种情况，第四轮有1种情况，故一共有4×3×2×1=24种情况.

第一种情况：甲出1一定输，所以最多得3分，就只有1种组合，即1与8，3与2，5与4，7与6.

第二种情况：得2分有三类，分别列举如下.

（1）出3和出5的赢，其余输，对应的组合为1种：1与6，3与2，5与4，7与8.

（2）出3和出7的赢，其余输，对应的组合为3种：1与4，3与2，5与8，7与6；1与8，3与2，5与6，7与4；1与6，3与2，5与8，7与4.

（3）出5和出7的赢，其余输，对应的组合为7种：1与2，3与8，5与4，7与6；1与4，3与8，5与2，7与6；1与8，3与4，5与2，7与6；

1与6，3与8，5与2，7与4；

1与8，3与6，5与2，7与4；

1与6，3与8，5与4，7与2；

1与8，3与6，5与4，7与2.

综上分析，共12种组合满足条件，所以甲的总得分不小于2的概率为1224=12.故填答案：12.

解法2：直接分类讨论法2.

不妨确定甲的出牌顺序为1，3，5，7，乙随机出牌，则有A44=24种基本事件.

甲的数字1最小，乙的数字8最大，若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.

站在甲的视角下，分四种情况：

（1）1对8，则7必得分：

若得3分，则必须3，5都得分，即3对2，5对4，只有1种情况.

若得2分，则必须3，5只有一个得分：

①5得分，3不得分，即：5对2时，3对4或6，只有2种情况；5对4时，3对6，只有1种情况.共有3种情况.

②3得分，5不得分，即3对2，5对6，只有1种情况.

（2）3对8，7必得分：若5得分，即5对2或4，7对应2种情况，共有2×2=4种情况.

（3）5对8，7必得分：若3得分，即3对2，7对应2种情况，共有1×2=2种情况.

（4）8对7，最多得2分：若3得分，5得分，即3对2，5对4，只有1种情况.

综上分析，共有12种情况满足条件，所以甲总得分不小于2的概率为1224=12.

故填答案：12.

点评：根据问题实质，抓住“甲的总得分不小于2”直接来分类即总得分为3分或总得分为2分，从不同视角切入来分类与应用，再根据得分的情况与对应输赢情况直接确定相应的组合，进而借助古典概型的概率公式求解.直接分类讨论时，特别是确定对应输赢情况时的数字交换问题，要细心认真，不能重复也不能遗漏.

3.2 间接思维

解法3：间接对立事件法.

依题，第一轮有4种情况，第二轮有3种情况，第三轮有2种情况，第四轮有1种情况，故一共有4×3×2×1=24种情况.

由于“甲的总得分不小于2”的对立事件为“甲的总得分为0或1”.

第一种情况：甲的总得分为0，就只有1种组合，即1与2，3与4，5与6，7与8.

第二种情况：甲的总得分为1，有三类，分别列举如下.

（1）出3的赢，其余输，对应的组合为1种：1与4，3与2，5与6，7与8.

（2）出5的赢，其余输，对应的组合为3种：1与4，3与6，5与2，7与8；1与6，3与4，5与2，7与8；1与2，3与6，5与4，7与8.

（3）出7的赢，其余输，对应的组合为7种：1与4，3与6，5与8，7与2；1与6，3与4，5与8，7与2；1与4，3与8，5与6，7与2；1与8，3与4，5与6，7与2；

1与2，3与6，5与8，7与4；1与2，3与8，5与6，7与4；

1与2，3与4，5与8，7与6.

综上分析，“甲的总得分为0或1”共12种组合，所以甲的总得分不小于2的概率为1－1224=12.

故填答案：12.

点评：根据问题实质，抓住“甲的总得分不小于2”的对立事件为“甲的总得分为0或1”来间接分类，分别确定全输或赢一次的机会，相对直接法来说要方便一点，进而综合对立事件的概率公式求解.关键在于合理厘清比赛规则与卡片之间的对应关系，进而合理分析与求解.

3.3 建模思维

解法4：数学建模法.

问题可转化为将1，3，5，7四个数字随机放入编号为2，4，6，8的四个依次排列的盒子里，共有24种不同的方法.

若1投入2号盒子，符合题意的只有1-5-7-3这1种投放情况；

若3投入2号盒子，则只有3-1-5-7这1种投放情况不符合，则符合题意的有5种情况；

若5投入2号盒子，则只有5-1-3-7和5-3-1-7这2种情况不符合，符合题意的有4种情况；

若7投入2号盒子，则只有7-5-3-1和7-5-1-3这2种情况符合题意.

故共有1+5+4+2=12种情况符合，所以甲的总得分不小于2的概率为1224=12.故填答案：12.

点评：根据问题实质，合理数学建模，将生活中卡片比赛转化为将相应数字随机放入编号固定的依次排列的盒子里，这样操作起来更加直观形象，分析与处理起来更加灵活多变，不再是抽象而难分辨的.数学建模作为一大数学核心素养，在实际数学知识的考查与应用中起着非常重要的作用.

4 教学启示

4.1 理解规则，合理应用

在实际解决一些相关游戏比赛中的概率综合问题时，关键在于挖掘并理解比赛规则.无论哪类游戏，只有充分理解了游戏比赛规则，全面挖掘游戏比赛规则的显性与隐性条件，才能综合概率问题的求解技巧方法与思想方式，灵活应用概率的相关公式加以分析与求解.

4.2 构建模型，创新应用

高考中概率与统计中的综合应用问题，往往是基于创新应用场景，特别以一些比较特殊重要模型来创设，如以上的卡片游戏，以及一些比较常见的如马尔科夫链，或其他的如极大似然估计等新情境加持热点场景来设置，进一步结合概率与统计的基本概念、性质、基本公式来数学运算与综合应用等，合理融入数学基础知识，全面考查阅读理解能力、数据处理分析能力以及创新应用能力等，从而培养创新意识与创新应用，更加有效地服务于高考，更加针对性地进行有效选拔与合理区分.

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