三角形中的特殊线段问题的类型及求解探索

摘 要：高考解三角形部分注重对学生直观想象、数学运算能力的考查.三角形中融入特殊线段问题是模拟考试及高考的高频考点，考查学生灵活运用正弦定理和余弦定理处理边角关系.这类问题的常见类型有：与中线或比例端点相关问题；与角平分线相关问题；与高线相关问题.

关键词：中线；角平分线；高线；解三角形

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0030-04

收稿日期：2024-09-05

作者简介：谢新华（1979.8—），男，福建省莆田人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

三角形中的特殊线段问题是以三角形为载体，融入中线、角平分线、高线自身的一些性质进行解题，选填题或解答题的形式都有出现，是学生的题型盲区.本文围绕解三角形中遇到中线、角平分线以及高线的相关题型，归纳常见的一些解题策略，与读者共享.

1 与中线或比例端点相关

例1 在△ABC中，AB=22，AC=6，BC边上的中线AD=5，则△ABC的面积S为（" ）．

A.134" B.34" 392" 53

解法1 如图1，延长AD到点E使DE=AD，连接CE，又因为BD=DC，∠ADB=∠CDE，所以△ABD≌△ECD（SAS）.

所以CE=AB=22，AE=25，△ABC的面积等于△ACE的面积．

在△ACE中，由余弦定理，得

cos∠ACE=AC2+CE2-AE22AC·CE=6+8-202×6×22=-34.

又0lt;∠ACElt;π，则

sin∠ACE=1-316=134.

所以S△ABC=S△ACE=12AC·CEsin∠ACE=12×6×22×134=392［1］．故选C.

解法2 因为AD是BC上的中线，

所以AD=12（AB+AC）.

所以|AD|2=14AB2+14AC2+2×14AB·AC.

因为AB=22，AC=6，AD=5，

所以4×5=8+6+2×22×6cos∠BAC，

解得cos∠BAC=34 .

因为∠BAC∈（0，π），

所以sin∠BAC=1-316=134.

所以S△ABC=12AC·ABsin∠BAC=12×6×

22×134=392．

故选C.

解法3 设BD=DC=x，在△ABD与△ACD中，由余弦定理可知，

cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD·BD=x2-325x，

cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD=x2-125x.

因为∠ADB+∠ADC=π，

所以cos∠ADB=-cos∠ADC.

所以x2-325x=-x2-125x，

解得x=2.

所以cos∠ADC=1020.

所以sin∠ADC=39020.

所以S△ABC=2S△ADC=AD·DCsin∠ADC=5×2×39020=392［2］．

求解策略 △ABC中，AD是BC边上的中线．

策略1 倍长中线构造全等．延长AD到点E使DE=AD，连接CE，由△ABD≌△ECD可得△ABC面积等于△ACE的面积，利用余弦定理求出cos∠ACE，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案．

策略2 向量法．因为AD=12（AB+AC），两边平方，利用平面向量数量积的运算性质可求出cos∠BAC，再求出sin∠BAC，根据三角形面积公式即可求得答案．

策略3 两次余弦定理，邻补角余弦值互为相反数．由∠ADB+∠ADC=π，

得cos∠ADB=-cos∠ADC，建立方程可求出DC，再分别求出cos∠ADC，sin∠ADC，根据三角形面积公式即可求得答案．

注 若将条件“AD是BC边上的中线”改为“BDCD=λ”以上策略也适用．

2 与角平分线相关

例2 △ABC中，AB=2AC，点D在BC边上，AD平分∠BAC．

（1）若AD=1，DC=22，求AC的长；

（2）若AD=AC，且△ABC的面积为7，求BC的长．

解析 （1）因为AD平分∠BAC，

所以BDDC=ABAC=2.

由于DC=22，

所以BD=2.

设AC=x，则AB=2x.

在△ABD与△ACD中，由余弦定理可知，

cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD·BD=3-4x222，

cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD=3/2-x22.

因为∠ADB+∠ADC=π，

所以cos∠ADB=-cos∠ADC.

所以3-4x222=-3/2-x22，

解得x=1，即AC=1.

（2）设∠CAD=θ，AC=t，则

AB=2t，AD=AC=t.

因为S△ABC=S△ACD+S△ABD，

所以12·t·2t·sin2θ=12·t·t·sinθ+12·2t·t·sinθ［3］.

所以2sinθcosθ=12sinθ+sinθ.

因为sinθ≠0，所以cosθ=34.

所以cos2θ=2cos2θ-1=18.

所以sin2θ=378.

又因为S△ABC=12·t·2t·sin2θ=378t2=7，

所以t2=83.

在△ABC中，由余弦定理，得

BC2=t2+4t2-4t2cos2θ=92×83=12.

所以BC=23．

求解策略 在△ABC中，AD平分∠BAC．

策略1 利用角平分线定理：ABAC=BDDC，可以建立相关的边之间的数量关系，进一步计算即可.

策略2 两次余弦定理，等角余弦值相等或邻补角余弦值互为相反数．由∠ADB+∠ADC=π，知cos∠ADB=-cos∠ADC，由余弦定理得到cos∠ADB和cos∠ADC，建立方程求解即可得AC.

策略3 利用两个小三角形面积和等于大三角形面积．由S△ABC=S△ACD+S△ABD和△ABC的面积为7，分别求出AC和cos∠BAC，再根据余弦定理求出BC的值.

3 与高线相关例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=π3.

（1）若cosB=277，△ABC的面积为332，求b的值；

（2）若BC边上的高h=bc，求5b+2c的最大值．

解析 （1）方法1：因为cosB=277，B∈（0，π），

所以sinB=1-cos2B=217.

因为A=π3，

所以sinC=sin（A+B）=sin（B+π3）=32114.

由正弦定理，得asinA=bsinB.

所以a=sinAsinB·b=72b.

因为△ABC的面积为332，

所以S△ABC=332=12absinC=338b2，

解得b=2.

方法2：如图2，过点C作CH⊥AB于点H，设AH=x，因为A=π3，所以CH=3x.

因为cosB=277，B∈（0，π），

所以sinB=1-cos2B=217.

所以tanB=32.

所以BH=2x.

因为△ABC的面积为332，

所以S△ABC=332=332x2［4］，

解得x=2.

所以b=2.

（2）依题意可得

12ah=12abc=12bcsinπ3.

则a=32.

则asin（π/3）=bsinB=csin（2π/3-B）=1，

解得b=sinB，c=sin（2π3-B）.

所以5b+2c=5sinB+2sin（2π3-B）

=5sinB+2（32cosB+12sinB）

=6sinB+3cosB

=39sin（B+φ）（sinφ=113）.

因为b+cgt;32，

即sinB+sin（2π3-B）gt;32.

故sin（B+π6）gt;12.

所以0lt;Blt;2π3.

即-12lt;cosBlt;1.

当B+φ=π2+2kπ（k∈Z），即B=π2-φ+2kπ（k∈Z），即cosB=sinφ=113∈（-12，1）时，

5b+2c取得最大值，且最大值为39［5］．

求解策略 在△ABC中，AD为BC边上的高．

策略1 等面积法：AD·BC=AB·AC·sin∠BAC.

策略2 AD=AB·sin∠ABD=AC·sin∠ACD．

策略3 若三角形中已知∠B，∠C，可以作高线得出两个小直角三角形的三边之比．

4 结束语

三角形中的特殊线段问题是命题者关注的热点.此类问题涉及多个三角形的综合应用，特别是用于中线、角平分线、高线问题的多元传递，是学生学习的难点问题.教师可以在教学中渗透此类问题的微专题教学，以提升学生的综合素养．

参考文献：

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[2] 黄柱凤， 陈兆坚.基于关键能力考查的“解三角形中的最值与范围问题”微专题复习课教学[J].中学教学参考，2024（08）：33-35.

[3] 肖贤伟.概念的有效生成源于探究本质：对“三角形的高、中线与角平分线”教学的思考[J].中小学数学，2016（09）：38-41.

[4] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准［M］.北京：人民教育出版社，2020.

[5] 谢新华.一道高考题的多解分析［J］.数理化解题研究，2023（07）：52-55.

［责任编辑：李 璟］