丹德林双球模型巧解椭圆离心率问题

摘 要：通过结合离心率与截面角的关系，利用丹德林双球模型得出求解椭圆离心率的方法，并将其应用于各地以丹德林双球为背景的高考模拟题中，以提高学生的数学核心素养和综合能力.

关键词：椭圆；离心率；截面角；丹德林双球模型

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0058-03

收稿日期：2024-09-05

作者简介：肖闽（1998.5—），男，江西省吉安人，硕士研究生，从事数学教学研究.

椭圆的离心率问题是高中数学圆锥曲线的重要内容，涵盖对椭圆几何性质及其焦点关系的理解.在近期以丹德林双球模型为背景的椭圆离心率问题中，学生因缺乏对空间几何的直观认识，在使用传统解析法求解时会遇到困难.因此，本文通过结合离心率与截面角的关系，运用丹德林双球模型提供一种更“巧妙”的解题思路，并结合例题具体分析.

1 丹德林双球的定义

如图1所示，在圆锥内放入两个球O1，O2，它们均与圆锥的母线相切，切点所形成的两个圆分别是⊙C1，⊙C2.同时这两个球都与截面γ相切，切点分别是F1和F2，丹德林（G·Dandelin）利用该模型证明了截面γ与圆锥侧面的交线为椭圆，并且F1和F2为该椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.如图1，设直线F1F2分别与圆锥母线交于A，B两点，圆锥的母线分别与⊙C1，⊙C2交于C，D两点，由切线长定理可知BF1=BC，BF2=BD，故BF1+BF2=BC+BD=2a.同理，对于平面α与圆锥侧面的交线上任意一点P，过点P的母线分别与⊙C1，⊙C2交于M，Q两点，则PF1+PF2=MQ=2a. 图1 丹德林双球模型"""""" 图2 截面截圆锥

2 离心率与截面角的关系

如图2，圆锥O是由l′围绕l旋转得到的，我们把l称为轴，轴与母线所成角为α，用一个平面π去截圆锥，得到的截口曲线取决于平面与圆锥轴l所成的线面角β（当π与l平行时，β=0），具体关系为[1]： （1）若βgt;α，0lt;cosβcosαlt;1，平面π截圆锥面所得截口曲线为椭圆；

（2）若β=α，cosβcosα=1，平面π截圆锥面所得截口曲线为抛物线；

（3）若βlt;α，1lt;cosβcosα，平面π截圆锥面所得截口曲线为双曲线.

这个比值cosβcosα就是圆锥曲线的离心率，即e=cosβcosα，这里结合丹德林双球模型进行证明，我们把图1丹德林双球模型立体图转变成平面图，具体如图3所示，证明过程如下：

证明 如图3，设平面圆O1和圆O2的半径为r1，r2，过点O1作CD的平行线交O2D于点E，过点O1作AB的平行线O1G，连接O2G.设轴和母线的夹角为α，截面与轴的夹角为β，即∠EO1O2=α，∠GO1O2=β.由切线长定理可知BF1=BC，BF2=BD，故BF1+BF2=BC+BD=CD=O1E=2a，O1G=F1F2=2c.

在△O1EO2中，cosα=O1EO1O2=2aO1O2，

在△O1GO2中，cosβ=O1GO1O2=2cO1O2，

所以cosβcosα=2c2a=ca，即e=cosβcosα.图3 丹德林双球模型平面图"" 图4 例1示意图

3 典例分析例1 （2023年广州调研考）如图4所示，数学家Dandelin利用这一模型证明了一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放入两个球O1，O2，两球都与圆锥的侧面相切，同时这两个球也都与截面α相切，切点是点E和F（E和F分别是截口椭圆的焦点），设图中球O1，球O2的半径分别为4和2，球心距离|O1O2|=210，则此椭圆的离心率等于.

解法1 如图5，设O1O2∩EF=D，

由|O2D||O1D|=|O2F||O1E|=12，|O2D|+|O1D|=210，得

|O2D|=2103，|O1D|=4103.

所以|DE|=（4103）2-42=43，

|DF|=（2103）2-22=23.

所以2c=43+23=2，即c=1.

设直线EF与圆锥的母线相交于点A，圆锥的母线与球相切于B，C两点，如图5所示，则|AB|=|AE|，|AC|=|AF|，两式相加，得|AB|+|AC|=

|AE|+|AF|

=a-c+a+c=2a，则|BC|=2a.

过点O2作O2G⊥O1B，垂足为点G，则四边形BGOC为矩形，所以2a=|BC|=（210）2-22=6，解得a=3.

所以椭圆的离心率e=ca=13.

图5 例1解法1图""""" 图6 例1解法2图

解法2 如图6，设轴与母线所成角为α，截面与轴所成角为β，即∠GO2O1=α，∠EDO1=β.

由解法1知|O2G|=|BC|=（210）2-22=6，

|O1D|=4103，DE=43.

所以cosα=O2GO1O2=6210=31010，

cosβ=DEO1D=1010，得e=cosβcosα=13.

例2 （2024年北京丰台高三二模）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小明在家用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆，光锥的一条母线恰好与墙面垂直，图7是一个射灯投影的直观图，圆锥PO的轴截面APB是等边三角形，椭圆O1所在的平面为α，PB⊥α，则椭圆的离心率为.

解析 根据题意可知，母线与轴的夹角为θ=π6，截面与轴的夹角β=π3.所以根据结论可得

e=cosβcosθ=cos（π/3）cos（π/6）=1/23/2=33.

例3 如图8，比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放入两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆，这个结论在圆柱中也适用，如图9所示，在一个高为20，底面半径为4的圆柱体内放两个小球，球与圆柱底面及侧面都相切，若一个平面与两个小球都相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为.

解析 如图10所示，作出圆柱的轴截面，切点为E，F，延长EF与圆柱面相交于A，B两点，过点O作OC⊥BC，在△FOO1中，FO1=4，OO1=20-4×22=6，sin∠FOO1=FO1OO1=23，易知∠FOO1=∠OBC.

所以sin∠OBC=OCOB=23，OC=4，得OB=6，

即a=6.

所以OF=OO21-FO21=25.

即c=25.

所以e=ca=256=53.

4 结束语

本文用丹德林双球模型证明了离心率与截面角的关系，以丹德林双球模型为切入点解决此类椭圆离心率问题，不仅帮助学生深刻理解了椭圆的几何特性，还显著提高了解题效率和准确性.丹德林双球模型的应用不仅契合新高考对学生综合素养的要求，也为进一步提升学生的数学核心素养和综合能力提供了重要支持[2].未来研究可以探索该模型在其他几何问题中的应用，扩展其教学价值.

参考文献：

［1］付小华，幸世强，代月，等.相约两世纪之网络画板与丹德林双球模型：圆锥曲线证明的直观方法[J].教育科学论坛，2022（22）：52-54.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

［责任编辑：李 璟］