教材对双曲线高考复习的两点隐性要求

摘 要：文章阐述教材对双曲线高考复习的两点隐性要求：建立平面直角坐标系解决双曲线问题是基本解法；理解和把握教材中双曲线概念间关系，类比解决非标准状态下的双曲线问题.

关键词：双曲线；高考复习；解题

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0026-04

收稿日期：2024-09-05

作者简介：俞新龙（1976.11—），男，浙江省绍兴人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

圆锥曲线是高中数学重要内容之一，也是高考必考内容，所以圆锥曲线涉及的题型非常丰富，解题方法和技巧以及解题中可用到的结论、性质也比较多，这些情况在高考复习时师生一般都会关注，但仅注重这些已经不能适应高考命题改革.现今高考命题更注重对教材知识的深层理解和灵活应用，因此，我们在圆锥曲线高考复习时需要进一步研读数学教材，从中领悟一些隐性内涵，从而来提高高考复习的有效性.下面以双曲线为例，具体阐述教材对双曲线高考复习的两点隐性要求.

1 建立平面直角坐标系解决双曲线问题是基本解法

教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是用代数（坐标）的方法来研究几何.因此，在判断出曲线形状是双曲线后就应当考虑用平面直角坐标系来解决问题.

例1 在三棱锥P-ABC中，AB=22，PC=1，PA+PB=4，CA-CB=2，且PC⊥AB，则二面角P-AB-C的余弦值的最小值为（" ） .

A.23" B.34" C.12" D.105

解析 因为AB=22，PA+PB=4，CA-CB=2，所以由椭圆和双曲线定义知点P在以A，B为焦点的椭圆上，点C在以A，B为焦点的双曲线一支上，但它们不在同一个平面内，如何建立内在关系呢？

如图1所示的三棱锥P-ABC中，作PH⊥AB，又因为PC⊥AB，所以AB⊥平面PHC.

故CH⊥AB.

所以∠PHC就是二面角P-AB-C的平面角.

O为AB中点，在平面PAB中建立如图2所示的平面直角坐标系，则可知点P所在椭圆方程为

x24+y22=1.

在平面CAB中建立如图3所示的平面直角坐标系，则可知点C所在双曲线方程为

x2-y2=1（xgt;0）.

若设点P坐标为（2cosα，2sinα），则

|OH|=2cosα，|PH|=2sinα.

故知在图3中点C横坐标为2cosα.

代入双曲线方程得y=-4cos2α-1.

则|CH|=4cos2α-1.

于是cos∠PHC=|PH|2+|CH|2-|PC|22|PH|·|CH|

=2sin2α+4cos2α-1-122sinα·4cos2α-1

=cos2α2·1-cos2α·4cos2α-1

=12·-

1/cos4α+5/cos2α-4

=12·-（1/cos2α-5/2）2+9/4

≥12·9/4=23，

当且仅当1cos2α=52即cosα=25时取等号.

故选A.

如果点P坐标不设三角式也一样可以解答：

设点P坐标为（x，y），则

|OH|=x（0lt;xlt;2），|PH|=2-x22，yC=-x2-1.

故|CH|=x2-1.

所以cos∠PHC=|PH|2+|CH|2-|PC|22|PH|·|CH|

=2-x2/2+x2-1-12·2-

x2/2·x2-1

=x2/28-2x2·x2-1

=12·-8/x4+10/x2-2

=12·-2（2/x2-5/4）2+9/8

≥12·9/8=23，

当且仅当2x2=54即x=85时取等号.

故选A.

评注 立体几何和解析几何的重点在后两个字：几何，即图形问题，因此通过坐标系可以将两者有机融合在一起.本题以立体几何为背景，将不在同一个平面上的椭圆与双曲线通过两个点的横向距离（横坐标）相等巧妙组合，通过坐标系计算出椭圆和双曲线上点的位置关系，从而得到线段长度.

2 理解和把握教材中双曲线概念间关系，类比解决非标准状态下双曲线问题

普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》第二节《双曲线》

［1］通过类比椭圆的研究方法具体阐述了双曲线的定义、标准方程、性质、应用等，在直角坐标系上明确了双曲线的一些基本概念（差定值、焦点、对称轴、离心率、渐近线等）的计算，在“探究与发现”中具体论述了“为什么

y=±bax是双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线”.这些内容都是在双曲线标准方程下进行计算和研究的，即双曲线的对称轴是x轴和y轴的情况.我们知道，双曲线的概念和性质是固有的，即只要不发生形状的变化就不会改变.那么，如果双曲线对称轴不是x轴和y轴了，它的一些基本信息怎么求解呢？这就需要我们对教材中双曲线的学习内容有深入理解和把握：双曲线的对称轴是渐近线的角平分线，对称轴与双曲线图象的交点是两个顶点，顶点之间距离是实轴长2a（即差定值），过顶点并垂直对称轴的直线与渐近线相交的交点之间距离就是虚轴长2b，据此可以计算出与双曲线有交点的对称轴上的焦点位置及焦距2c，于是易得双曲线离心率e=ca，从而类比解决其他相关双曲线概念.

例2 某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y=1x的图象是双曲线，设其焦点为M，N，若P为其图象上任意一点，则（" ）.

A.y=-x是它的一条对称轴

B.它的离心率为2

C.点（2，2）是它的一个焦点

D.||PM|-|PN||=22

解析 如图4所示，因为双曲线y=1x的渐近线是x轴和y轴，所以第一三象限角平分线y=x和第二四象限角平分线y=-x是双曲线y=1x的对称轴，且渐近线互相垂直，故此双曲线是等轴双曲线.

于是知它的离心率为2.

对称轴y=x和双曲线y=1x的交点A（1，1）和B（-1，-1）是双曲线的顶点，故2a=|AB|=22.

所以||PM|-|PN||=22.

由2=c2，解得c=2.

又因为焦点在直线y=x上，所以可以设焦点坐标为（m，m）和（-m，-m）（mgt;0），则22m=2c=4，得m=2.

因此双曲线的焦点坐标是M（2，2）和

N（-2，-2）.

综上所述，故选ABD.

评注 本题中因为渐近线互相垂直，所以可知双曲线离心率为2，从而知c=2，对于一般双曲线来说，应该先求出经过顶点A（1，1）且与对称轴y=x垂直的直线y=-x+2，直线y=-x+2与渐近线y轴的交点C（0，2），点C到对称轴y=x的距离2即为短半轴长b，因此a=b，所以此双曲线为等轴双曲线，离心率为2.

变式 双曲线y=x+1x的离心率为.

解析 因为双曲线y=x+1x的渐近线是y轴和直线y=x，所以两者的角平分线y=tan3π8·x=（1+2）x是其中一条对称轴，则另一条对称轴是

y=（1-2）x，对称轴y=（1+2）x与双曲线y=x+1x在第一象限的交点坐标（即是双曲线的一个顶点）为A（2-14，（1+2）2-14），所以a=|OA|=2-12+（3+22）2-12=（4+22）2-12.

过顶点A且与另一条对称轴平行的直线y-

（1+2）2-14=（1-2）（x-2-14）与渐近线y轴的交点坐标是B（0，22·2-14），

故b=|AB|=2-12+（3-22）2-12

=（4-22）2-12.

所以c=a2+b2=8·2-12.

因此，双曲线离心率

e=ca=8·2-12（4+22）2-12=4-22.

如图5所示，实际上，对于双曲线y=ax+bx（a，bgt;0）来讲，y轴和直线y=ax是其渐近线（记tanα=a），所以它们的角平分线OA，OC就是对称轴，过点A且平行对称轴OC的直线交y轴于点B，则根据双曲线性质知|OA|=a，|AB|=b，|OB|=c.

所以双曲线离心率e=ca=1cos∠AOB.

又cos∠AOB=cos（π4-α2）

=1+cos （π/2-α）2

=1+sinα2，

而sinα=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1=aa2+1，

所以cos∠AOB=a2+1+a2a2+1.

故e=2a2+1a2+1+a=2a2+1（a2+1-a）.

特别地，例2中a=0，此时离心率为2；例2变式中a=1，此时离心率为4-22.

从得到的结果看，双曲线y=ax+bx离心率与b无关.教材中，我们学习了在双曲线标准方程下，当焦点所在坐标轴不变，渐近线不变的情况下离心率是不发生变化的，同样地，因为双曲线y=ax+bx的焦点所在坐标轴OA：y=tan（π4+α2）x=（a2+1+

a）x与b无关（注：tan（π4+α2）=1+tan（α/2）1-tan（α/2）=cos（α/2）+sin（α/2）cos（α/2）-sin（α/2）=1+a/a2+11-a/a2+1=a2+1+aa2+1-a=a2+1+a），对称轴y轴和直线y=ax也与b无关，所以当b发生变化时，该双曲线的离心率确实也与b无关，即离心率不发生变化.

3 结束语

随着高考命题不断去套路化，更加注重对数学教材知识理解的考查，像语文古文理解一样逐字逐句学习与复习数学教材是十分必要的.

参考文献：

［1］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书（A）版：数学（必修第一册）[M].北京：人民教育出版社，2019.

［责任编辑：李 璟］