与三角形“四心”相关的向量内积问题

摘 要：文章通过对2019年人教版数学必修2教材一道拓广探索题的拓展探究，分析了三角形中与外心、重心、内心、垂心有关的多种向量内积计算问题，以向量的内积研究了三角形“四心”之间的联系.

关键词：外心；重心；内心；垂心；向量内积

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0014-04

收稿日期：2024-09-05

作者简介：王道金（1971.2—），男，中学正高级教师，湖北省特级教师，从事高中数学教学研究.

三角形的重心、外心、内心和垂心简称为三角形的“四心”，“四心”之间的关系和性质，不仅在几何学中有重要的应用，而且在向量中也有着广泛的研究［1］.人教版教材高中数学必修2设计了一个与三角形外心有关的向量内积探索问题，非常经典.进一步探究与三角形四心相关的向量内积问题，可以从另外一个角度揭示它们之间的内在联系和规律.

1 问题呈现

问题 （2019年人教A版高中数学必修2习题6.2“拓广探索”24题）如图1，在圆C中，是不是只需知道圆C的半径或AB的长度，就可以求出AB·AC的值？

图1 问题示意图""""" 图2 问题解析图

解析 利用圆的几何性质，如图2，设M为AB的中点，连接CM，则CM⊥AB.

所以AB·AC=AB·（AM+MC）=AB·AM=12AB2，也即AB·AC的值只与AB的长度有关.2 拓展探究

2.1 与三角形外心有关的向量内积问题例1 已知ΔABC中，与三内角A，B，C相对的三边长依次为a，b，c，若O为ΔABC的外心，试求OA·OC+OA·OB+OB·OC，OA·OB以及

OA·BC.

解析 设△ABC外接圆的半径为R，则

R=c2sinC，cosC=a2+b2-c22ab.

所以OA·OB=R2cos2C=c24sin2C（2cos2C-1）

=c24（1-cos2C）（2cos2C-1）

=c22［（a2+b2-c2）/（2ab）］2-141-［（a2+b2-c2）/（2ab）］2

=c2（a4+b4+c4-2a2c2-2b2c2）2（-a4-b4-c4+2a2c2+2b2c2+2a2b2），

OA·OB=OA·（OA+AB）=OA2+OA·AB

=R2-12AB2

=R2-12c2，

OA·OC=R2-12b2，

OA·OC+OA·OB+OB·OC

=R2-12a2+R2-12b2+R2-12c2

=3a2b2c22（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）-12（a2+b2+c2），

OA·BC=OA·（OC-OB）

=OA·OC-OA·OB

=R2-12b2-（R2-12c2）

=12（c2-b2）.

2.2 与三角形重心有关的向量内积问题

例2 已知△ABC中，与三内角A，B，C相对的三边长依次为a，b，c，若G为△ABC的重心，试求GA·GB+GA·GC+GC·GB，GA·GB以及

GA·BC.

解析 由题知AG=13（AB+AC），

BG=13（BA+BC），

AB·AC=bccosA=12（b2+c2-a2），

GA·GB=AG·BG

=19（AB+AC）·（BA+BC）

=19（AB+AC）·（AC-2AB）

=19（AC2-2AB2-AB·AC）

=19（b2-2c2-12b2-12c2+12a2）

=118（a2+b2-5c2），

GA·GB+GA·GC+GC·GB

=118（a2+b2-5c2）+118（a2+c2-5b2）+118（c2+b2-5a2）

=-16（a2+b2+c2），

GA·BC=-13（AB+AC）·（AC-AB）

=13（AB2-AC2）

=13（c2-b2）.

2.3 与三角形内心有关的向量内积问题

例3 已知△ABC中，与三内角A，B，C相对的三边长依次为a，b，c，若I为△ABC的内心，试求IA·IB+IA·IC+IC·IB，IA·IB以及IA·BC.

解析 由于I为△ABC的内心，故

aIA+bIB+cIC=0.

由aIA+bIA+bAB+cIA+cAC=0，得

IA=-1a+b+c（bAB+cAC）.

同理IB=-1a+b+c（aBA+cBC）

=-1a+b+c［-（a+c）AB+cAC］.

所以IA·IB=（1a+b+c）2（bAB+cAC）·［-（a+c）AB+cAC］

=（1a+b+c）2［c2AC2

-（a+c）bAB2+

（bc-ac-c2）AB·AC］

=-（a+c-b）（b+c-a）c2（a+b+c）.

所以IA·IB+IA·IC+IC·IB

=-（a+c-b）（b+c-a）c2（a+b+c）-（a+b-c）（b+c-a）b2（a+b+c）-（a+c-b）（b+a-c）a2（a+b+c）

=a2（b+c）+b2（a+c）+c2（b+a）-6abc-a3-b3-c32（a+b+c），

IA·BC=-1a+b+c（bAB+cAC）·（AC-AB）

=-1a+b+c（-bAB2+cAC2+（b-c）AB·AC）

=-1a+b+c［-bc2+cb2+12（b-c）（b2+c2-a2）］

=12（c-b）（b+c-a）.

2.4 与三角形垂心有关的向量内积问题

例4 已知斜△ABC中，与三内角A，B，C相对的三边长依次为a，b，c，若H为△ABC的垂心，试求HA·HB以及HA·BC.

解析 由HA·BC=0，得HA·HB=HA·HC.

当A为锐角时，在△ABH中由正弦定理，得

HAsin（π/2-A）=ABsin（A+B）=csinC.

即HA=ccosAsinC.

当A为钝角时，在△ABH中由正弦定理，得

HAsin（A-π/2）=ABsinC=csinC.

即HA=-ccosAsinC.

总之HA2=c2cos2Asin2C.

由H为△ABC的垂心得到

tanA·HA+tanB·HB+tanC·HC=0.

两边同时点乘HA，得

tanA·HA2+tanB·HA·HB+tanC·HA·HC=0.

即（tanB+tanC）HA·HB=-tanA·HA2.

即HA·HB=-tanA·HA2tanB+tanC

=-cosAcosBcosCsin2Cc2

=（a2+b2-c2）（a2+c2-b2）（c2+b2-a2）2（a4+b4+c4-2a2b2-2a2c2-2b2c2），

或者由OH=OA+OB+OC，得到

AH=OB+OC.

设△ABC外接圆的半径为R，

AH2=OB2+OC2+2OB·OC

=2R2+2（R2-12a2）=4R2-a2，

BH=OA+OC，BH·AH=（OA+OC）·（OB+OC）

=OC2+OC·OA+OB·OA+OC·OB

=R2+R2-12a2+R2-12b2+R2-12c2

=4R2-12（a2+b2+c2）

=4a2b2c22（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）-12（a2+b2+c2）.

2.5 三角形外心与垂心综合问题

例5 已知△ABC中，与三内角A，B，C相对的三边长依次为a，b，c，若H为△ABC的垂心，O为△ABC的外心，试求OH2.

解析 设△ABC外接圆的半径为R，

OH2=（OA+OB+OC）2

=OA2+OB2+OC2+2OA·OB+2OB·OC+2OA·OC

=3R2+2（R2-12a2+R2-12b2+R2-12c2）

=9R2-（a2+b2+c2）

=94（asinA）2-（a2+b2+c2）

=94·a21-［（b2+c2-a2）/（2bc）］2-（b2+c2+a2）

=9a2b2c22（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）-（a2+b2+c2）.

2.6 三角形外心与内心综合问题

例6 已知△ABC中，与三内角A，B，C相对的三边长依次为a，b，c，若I为△ABC的内心，O为△ABC的外心，试求OI2.

解析 若I为△ABC的内心，则

aIA+bIB+cIC=0.

由aIO+aOA+bIO+bOB+cIO+cOC=0，

得（a+b+c）OI=aOA+bOB+cOC.

平方，得

（a+b+c）2OI2=a2OA2+b2OB2+c2OC2+2abOA·OB+2acOA·OC+2bcOC·OB

=（a2+b2+c2）R2+2ab（R2-12c2）+2bc（R2-12a2）+2ac（R2-12b2）

=（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac）R2-abc（a+b+c）

=（a+b+c）2R2-abc（a+b+c）.

所以OI2=R2-abca+b+c

=a2b2c22（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）-abca+b+c

=abc［abc-（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）］（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）.

2.7 三角形“四心”综合内积问题

例7 已知△ABC中，与三内角A，B，C相对的三边长依次为a，b，c，若I为△ABC的内心，O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心，G为△ABC的重心，试求OG·OH和OH·OI.

解析 由OH=OA+OB+OC以及OG=13（OA+

OB+OC），

得到

OG·OH=13OH2=-13（a2+b2+c2）+

3a2b2c22（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）.

设△ABC外接圆的半径为R，

若I为△ABC的内心，则

aIA+bIB+cIC=0.

由aIO+aOA+bIO+bOB+cIO+cOC=0，

得（a+b+c）OI=aOA+bOB+cOC.

所以（a+b+c）OI·OH

=（aOA+bOB+cOC）·（OA+OB+OC）

=aOA2+bOB2+cOC2+（a+b）OA·OB+（a+c）·OA·OC+（b+c）OC·OB

=（a+b+c）R2+（a+b）（R2-12c2）+（a+c）·

（R2-12b2）+（b+c）（R2-12a2）

=3（a+b+c）R2-12［（a+b）c2+（a+c）b2+（c+b）a2］

=3a2b2c2（a+b+c）2（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）

-12［a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）］.

故OI·OH=3a2b2c22（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）-12（a+b+c）［a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）］.

3 结束语

数学教材凝聚了诸多数学教育专家的集体智慧，是体现和落实课程标准基本理念和目标要求的科学范本，是组织数学教学的主要依据.要深入研究教材，充分挖掘教材的例题与习题内涵，利用一题多解或一题多变等形式开展研究性学习，夯实数学基础，提升数学学科素养，提高高中学生在数学方面的自主学习能力和后续学习能力.上面针对三角形“四心”的多种形式的向量内积计算问题作了拓展探究，这对开阔学生的视野、培养学生的探究能力比较有参考价值.读者还可以针对三角形“四心”内积的不等关系作进一步探讨.

参考文献：

［1］林国夫.三角形“四心”的向量特征及应用[J].数学通报，2010（12）：39-42.

［责任编辑：李 璟］