数学抽象：“学科眼光”培育的根本性策略

【摘要】数学抽象是一种数学化的能力、素养，是数学“学科眼光”的培育指向、培育方式和培育旨归。数学抽象具有一般化、理想化、模型化的特征。作为教师，在数学教学过程中，不仅要注重引导学生经历数学抽象的过程，更要引导学生形成数学抽象的意识、能力、品质和素养。数学抽象是学生形成数学“学科眼光”的根本性策略。

【关键词】小学数学；数学抽象；“学科眼光”；根本策略

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，数学教学要“引导学生用数学的眼光观察、用数学的思想考量、用数学的语言表达”。从“数学观照”到“数学思考”再到“数学表达”，这是学生数学学习的基本过程、路径、策略。其中，“数学观照”是学生数学核心素养的根基。没有“数学观照”，学生的“数学思考”“数学表达”就难以发生。所谓的“数学观照”，笔者认为，即“从数学视角、基于数学立场、用数学方法和思想等来看事物、看世界的一个过程”。培育学生“数学观照力”，其实也就是要培育学生“数学的眼光”。“数学的眼光”是一种“学科眼光”。数学抽象是学生形成数学“学科眼光”的根本性策略。

一、抽象：数学“学科眼光”的培育指向

东北师范大学史宁中教授认为，学生的数学核心素养有三：即“抽象”“推理”和“建模”。笔者认为，所谓的“抽象”即是要培育学生“数学的眼光”；所谓的“推理”即是要培育学生“数学的大脑”；所谓的“建模”即是要培育学生“数学的语言”。“抽象”是“推理”“建模”的基础，“推理”是勾连“抽象”和“建模”的桥梁、纽带，而“建模”则是“抽象”“推理”的最终结果。数学抽象，追求学生数学思维的清晰性、合理性、有效性，追求学生数学认知的深刻性、严密性，追求学生数学问题解决的灵活性、综合性、创新性等。

抽象是学生数学“学科眼光”生成的重要策略。作为一种认识手段、认识策略，抽象是学生从对数学学习对象的感性认识飞跃到理性认识的一种方法。抽象的过程，就是引导学生经历“数学化”的过程。根据荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔的观点，“数学化”分为“横向数学化”和“纵向数学化”两个过程。“横向数学化（水平数学化）”就是引导学生从“生活世界”过渡到“数学符号”；而“纵向数学化（垂直数学化）”则是在“数学世界”中“数学符号”的生成、重塑和被使用。数学化的抽象，不仅要引导学生经历横向数学化过程，更要引导学生经历纵向数学化的过程。通过抽象，能让学生舍弃数学学习对象的非本质属性，提炼、概括出数学学习对象的数学本质属性。如“三角形的高”是一个抽象性、学生不容易理解到位的概念，教学“三角形的高”这一部分内容时，笔者不仅呈现了锐角三角形，而且呈现了直角三角形、钝角三角形，引导学生作三角形的高。在具象化、丰富性操作中，学生逐步归纳、概括出“高”的典型特征，即从顶点到底边的垂直线段的长度”。教学中，教师要引导学生从数学视角、用数学立场去观察学习对象、探究学习对象。要引导学生借助于多样化的学习策略，逐步将学习对象的“非本质属性”剥离，如三角形的形状、方位等。为此，教师在教学中可以引导学生应用比较的策略，让学生认识到学习对象的本质与非本质属性；可以应用一般化的策略，让学生从研究“一个事物”入手，进而过渡到“一类事物”的研究，也可以直接从“一类事物”的研究开始。在这个过程中，教师可以引导学生应用类比的策略、归纳的策略和演绎的策略。通过对学习对象的简约化、一般化、理想化的处理，让学生实现数学抽象。

数学抽象位居数学核心素养之首，位于数学基本思想之首，它是形成学生理性思维的基础。数学抽象是培育学生数学“学科眼光”的重要策略、路径。在教学中，数学抽象可以逐步地、缓缓地展开，也可以一次达成。数学抽象也是学习的一种过程形态或结果样态，数学抽象留下的是学习对象的“数量关系”和“空间形式”（恩格斯语）。在数学学科教学中，引导学生展开数学抽象，其实也就是引导学生经历“数学化”“公理化”“形式化”“符号化”的一个过程。

二、抽象：数学“学科眼光”的培育方式

抽象不仅是一种思想，更是一种方法。根据抽象对象的性质，可以分为“表征型抽象”“原理型抽象”“建构型抽象”。根据抽象的过程，可以分为“弱抽象”“强抽象”“等置抽象”“理想化抽象”等。数学抽象可以帮助学生更好地理解数学学科知识的本质、关联，可以帮助学生厘清数学学科知识的层次、建构数学学科知识系统，可以提升学生的数学抽象概括能力，发展学生的数学思维能力等。

在数学学科教学中，对事物特征的抽象就是一种表征型抽象；对事物内在因果性、规律性、关系性等的抽象就是一种原理性抽象；通过引导学生数学活动而进行的抽象就是建构性抽象……而数学学科中的“直线”“射线”“线段”等就是理想化抽象的结果。抽象，就是培育学生“学科的眼光”。培育学生的“学科眼光”，不仅要引导学生看，更要引导学生思考、想象。如教学小学数学“认识直线、射线和线段”这一部分内容时，教师不仅要应用学生生活世界中的毛线、手电筒射出的光线等物品引导学生直观感知，更要引导学生思考“什么是端点”“线段有几个端点”“射线有几个端点”“射线的一端可以无限延长是什么意思”等。在数学抽象的过程中，教师首先要引导学生充分感知，通过丰富的感知，帮助学生积累、积淀表象，表象是学生从认识对象过渡到数学概念的一个中间桥梁。其次在引导学生数学抽象的过程中，教师要充分发挥学生表象的中间桥梁作用。如教师在引导学生认识线段、直线和射线的过程中，在黑板上或者引导学生在作业纸上画出的线段、直线和射线等。作为教师，要在数学教学中精心设计、研发数学学科知识逐步抽象的过程。对于学生来说，数学抽象水平越高，其抽象思维力就越强。如在“认识直线、射线和线段”教学中，学生通过逐步抽象，会逐步认识到，线段只有长度，没有宽度和高度；射线的一端可以无限延长，不可以度量；直线的两端都可以无限延长，不可以度量；线段是直线、射线的一个部分，等等。最后，在引导学生抽象的过程中，教师要充分发挥数学语言的功能、作用。要通过引导学生积极主动地使用数学语言，一方面对表象进行数学化的加工；另一方面对抽象过程进行适度的、适当的调节，以便让抽象教学更科学、更有效。

数学抽象具有广泛性、模型性的特质、特性、特征。在引导学生抽象的过程中，教师要努力让学生从数学的视角去观察、思考，从而培育学生“学科眼光”，帮助学生迈过一道道抽象的“坎”，如上述案例中的“无限长”“无限延长”“没有端点”等的认知、理解，让学生突破数学抽象的困惑、障碍、问题等，给学生的数学抽象引导、启发、点拨，从而不断提升学生的数学抽象能力、数学抽象素养。

三、抽象：数学“学科眼光”的培育过程

培育学生的数学“学科眼光”，笔者认为，一般来说需要经历两个步骤：一是要让学生形成“数学意识”，即要让学生形成从数学学科视角去观察事物、对象、世界的倾向、心向等；二是要引导学生提出“数学化”的问题、“数学化”的任务。提出数学化的问题、设置数学化的任务，这一过程是“数学意识”外化、显性化的过程，它能强化学生的数学意识。

培育学生数学的眼光，关键是要让学生从生活世界中发现数学问题、数学素材、数学资源等。在教学中，教师要精心设计研发具有生活味的数学素材，让学生能够经历将生活素材数学化的过程。要致力于在培育学生“数学的眼光”的过程中，培育学生定量、精确、客观的数学的理性思维特质，让数学的理性思维推动学生数学眼光的形成。要致力于培育学生的质疑品质、批判精神，培育学生超前、抽象的认知取向。在教学中，教师要引导学生在“生活世界”与“数学世界”之间来回穿行。要引导学生从生活世界、生活事件、生活事物中看到其中蕴含着的数学内涵。同时，要引导学生从数学学科知识中观察到其中隐藏着的生活事件、生活事物、生活世界的影子。一方面，教师要引导学生从生活世界中建构数学学科知识；另一方面，教师要引导学生对数学学科知识进行生活意义的赋予。如教学小学数学“加法交换律”这一部分内容，从学生的生活世界中的实际问题入手，引导学生猜想、验证，并通过若干个具体的“加减交换律”算式的比较、概括，引导学生建构“a+b=b+a”抽象性的公式。这样的一个抽象过程，符合学生的数学认知从具体到抽象、从特殊到一般的过程。这个过程是一个生活经验与数学算式表征“双向互动”的过程。通过这样的“双向互动”，不仅引导学生形成抽象思维，而且引导学生“理解抽象”“应用抽象”。在引导学生抽象的过程中，当学生在“具象”与“抽象”之间形成鸿沟的时候，教师不妨引导学生返回抽象的本源，从具象中获得对抽象的理解支撑、支持。对学生抽象思维能力的培育过程是一个由此及彼、由表及里、由浅入深的逐步深化的过程。

数学抽象要经历简约化、符号化、普适化三个层次。在引导学生数学抽象的过程中，教师要引导学生掌握一些学习策略，如“对应策略”“排列策略”“比较策略”“分类策略”“刻画策略”等。“对应”是开启学生数学抽象的大门，“排序”是让学生抽象思维精密化、精致化、有序化的手段、策略，而“比较”“分类”则是学生拥有抽象思维的关键环节，“刻画”则是学生学会抽象的重要标识。学生的抽象化能力不是一朝一夕所能形成的，更不是一蹴而就形成的。学生的抽象能力的形成是一个缓慢的过程，“欲速则不达”。在引导学生数学抽象的过程中，教师不仅要鼓励学生“看”，更要鼓励学生“想”。要让学生穿梭在“现实世界”与“数学世界”之中，让学生从“现实世界”中看到数学内涵，同时也让学生从“数学世界”中想到现实性的案例。

四、抽象：数学“学科眼光”的培育旨归

抽象不仅仅是学生数学学习的一种方式、方法，同时也是学生数学学习能力的一种重要确证与表征。在小学数学学科教学中，教师不仅要引导学生掌握“抽象化”的思考方法，同时要追求培育学生形成抽象化的思维样态。对于学生的数学学习来说，抽象化的思维是他们高阶学习的条件、保障。一个善于展开抽象化思维的学生，才能展开高质量、高品质的数学学习。抽象化的学习能力、学习素养，是数学“学科眼光”的培育旨归。

伟大的革命导师列宁曾经这样说：“物质的抽象、自然规律的抽象、价值的抽象及其他等等，一句话，那一切科学的（正确的、郑重的、不是荒唐的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”抽象是人类社会发展、进步的一个阶梯。培育学生的抽象素养，是数学教学的应有之义、应然之举。在数学教学中，教师不能让学生的思维、认知停留在直观、形象、具象等的层面，不能让学生的认知停留在对个别事物的认知上面，而应当引导学生追求普遍性的认知。这种普遍性的认知，也就是“抽象”。数学抽象，是一种对数学学科知识的本质性、关联性的概括。数学抽象追求的是一种“放置于四海而皆准”的客观真理。用德国思想家黑格尔的话语来表达，就是从“个别”到“一般”的过程；而从中国古代哲学思想来看，抽象就是善于从“殊”中看到普遍存在着的“相”。数学抽象，就是要让学生形成对数学学科知识的本质性、关联性的认知，就是要让学生看到数学学科知识的普遍的数量关系、空间形式等。如教学小学数学“异分母分数加减法”，教师不仅要引导学生概括“异分母分数加减法”的法则，而且要将“整数加减法”“小数加减法”的法则引入其中，并引导学生比较，从而进一步引导学生对抽象的法则进行再抽象，归纳、概括出“数的加减法的一般性法则”，即“只有计数单位相同才能直接相加或相减”。这样的一个抽象性法则，不仅适应于“整数加减法”运算，而且适用于“小数加减法”“分数加减法”运算。当然，在数学学科教学中，要求学生善于进行数学抽象，也并非让学生展开纯粹的甚至是空洞的思辨。作为教师，要鼓励学生的数学抽象过程“深入浅出”，即鼓励学生在数学学科学习过程中能“用形象诠释抽象”。如鼓励学生善于举例、鼓励学生善于提问、鼓励学生善于优化。举例，就是将抽象的数学学科知识用具体的形象来承载；提问，就是鼓励学生针对自我抽象思维中的疑点、阻碍点等进行自我反思、质疑、批判、修正；优化，就是鼓励学生对自我数学学习活动精心设计、打磨。通过引导学生举例、提问、优化，有效地培育学生的数学的眼光、数学的大脑。

在数学抽象的过程中，教师要力图让学生的认知、思维具有严谨性、逻辑性等的品质、品格。在培育学生数学的眼光、引导学生学会抽象的过程中，教师不仅能要发展学生的认知策略，同时还要发展学生的元认知策略。所谓“元认知”，也就是“对认知的认知”。元认知能力，能让学生在数学抽象的过程中，对抽象过程的科学性、合理性等进行审视，以便不断优化自我的认知过程。这样的一种对认知优化的自觉，能有效地发展学生的抽象思维，能让学生的数学抽象更加科学、更加合理。

数学抽象具有一般化的特征、理想化的特征、模型化的特征。数学抽象其运行方式实质是人类心智的一种运算，能有效地培育学生数学“学科眼光”。因此，培育学生的数学抽象素养，归根结底就是要让学生养成良好的思维机制、思考习惯等。“会用数学的眼光观察世界”是学生数学抽象素养发展的主旨、内涵与目标。数学“学科眼光”是学生理性认识手段的必然选择，是学生数学抽象思维的一种最实用的方法，也是数学学科教育价值的核心体现。

【参考文献】

[1]徐周亚.新课标导向下小学生数学抽象能力培养策略研究[J].课程教学研究，2022（09）.

[2]顾恺旻.小学生数学抽象思维能力培养策略探索[J].启迪与智慧（上），2023（03）.