从2024年一道高考题解法探究过程论高考创新试题的应对策略

【摘要】高考中的创新试题真正要考查的是考生的基本数学素养和数学思维，在高考复习备考中紧紧依托教材进行拓展延伸，在深入理解知识本质的过程中建构知识，引导学生开展创造性学习，这才是最根本的应对策略.

【关键词】新课标；高考创新题；应对策略

2024年数学高考已尘埃落定，今年新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷试卷结构做了重要调整，在题量减少的情况下，试题突出创新导向，加强创新能力考查，设计全新的试题情境、呈现方式和设问方式，加强了解答题部分对基本能力的考查，提升压轴题的思维量，突出理性思维和数学探究，考查学生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力.其中新课标Ⅰ卷第19题以数列为知识背景，创新设问方式，设置数学新定义，题目非常新颖，没有固定的模式，是今年高考数学的“聚焦点”[1].笔者对此题的解法进行探究，并从试题解法的探究过程看这类题的解题策略，供读者参考.

1试题及分析

（2024年高考数学新课标Ⅰ卷第19题）设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aji<j后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m+2是i，j－可分数列．

（1）写出所有的i，j，1≤i<j≤6，使数列a1，a2，…，a6是i，j－可分数列；

（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m+2是2，13－可分数列；

（3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和ji<j，记数列a1，a2，…，a4m+2是i，j－可分数列的概率为Pm，证明：Pm>18．

此题以等差数列为知识背景，创新设问方式，设置数学新定义，搭建思维平台，引导考生积极思考，在思维过程中领悟数学方法，自主选择路径和策略分析问题、解决问题.充分体现了“多想少算”的设计理念，充分重视对思维能力、探究能力和解决问题能力的考查.

2解法探究

解（1）由于从等差数列中取出的项成等差数列的充要条件是所取项的序号成等差数列，所以只需讨论数列1，2，…，4m+2是i，j－可分数列即可，本文的讨论均在此假设下进行.

第1小问相当于从1，2，3，4，5，6中取出两个数i和ji<j，使得剩下的四个数是等差数列，那么剩下的四个数只可能是1，2，3，4，或2，3，4，5，或3，4，5，6.所以所有可能的i，j有1，2，1，6，5，6.

（2）当m=3时，由于从数列1，2，…，4m+2中取出2和13后，剩余的4m个数可以排列成下面的形状：

1，4，7，10；5，8，11，14；3，6，9，12.共3组.

当m≥4时，还有

15，16，17，18；…；4m－1，4m，4m+1，4m+2.共m－3组.

故数列1，2，…，4m+2是2，13－可分数列.

（3）解法1：设集合A={4k+1k=0，1，2，…，m}={1，5，9，13，…，4m+1}，

B={4k+2k=0，1，2，…，m}={2，6，10，14，…，4m+2}.

下面证明，对1≤i<j≤4m+2，如果下面条件1和条件2同时成立，

则数列1，2，…，4m+2一定是i，j－可分数列.

条件1：i∈A，j∈B或i∈B，j∈A；

条件2：j－i≠3.

分两种情况证明这个结论.

情况1：如果i∈A，j∈B，且j－i≠3.

此时设i=4k1+1，j=4k2+2，k1，k2∈{0，1，2，…，m}，

则由i<j可知4k1+1<4k2+2，即k2－k1>－14，故k2≥k1.

此时，从数列1，2，…，4m+2中取出i=4k1+1和j=4k2+2后，剩余的4m个数只需要从小到大依次排列，即可得到m个都有四项的等差数列.

情况2：如果i∈B，j∈A，且j－i≠3.

此时设i=4k1+2，j=4k2+1，k1，k2∈{0，1，2，…，m}.

由i<j可知4k1+2<4k2+1，即k2－k1>14，故k2>k1.

由于j－i≠3，故4k2+1－4k1+2≠3，从而k2－k1≠1，这就意味着k2－k1≥2.

此时，把正整数1，2，…，4m+2按如下方式排列：

1，2，3，4；5，6，7，8；…；4k1－3，4k1－2，4k1－1，4k1.共k1组；

4k1+1，3k1+k2+1，2k1+2k2+1，k1+3k2+1；

4k1+2，3k1+k2+2，2k1+2k2+2，k1+3k2+2；

4k1+3，3k1+k2+3，2k1+2k2+3，k1+3k2+3；

4k1+4，3k1+k2+4，2k1+2k2+4，k1+3k2+4；

……

3k1+k2，2k1+2k2，k1+3k2，4k2.共k2－k1组；

4k2+3，4k2+4，4k2+5，4k2+6;4k2+7，4k2+8，4k2+9，4k2+10；…；4m－1，4m，4m+1，4m+2.共m－k2组.

（如果某一部分的个数为0，则忽略之）

可见，取出i=4k1+2和j=4k2+1后，剩余的4m个数可排成m个都有四项的等差数列，故此时数列1，2，…，4m+2是i，j－可分数列.

这就证明了：对1≤i<j≤4m+2，如果条件1和条件2同时成立，则数列1，2，…，4m+2一定是i，j－可分数列.

然后考虑这样的i，j的个数.

首先，由于A∩B=，A和B各有m+1个元素，故满足条件1的i，j总共有m+12个.

如果j－i=3，假设i∈A，j∈B，则可设i=4k1+1，j=4k2+2，代入得4k2+2－4k1+1=3.

但这导致k2－k1=12，矛盾，所以i∈B，j∈A.

设i=4k1+2，j=4k2+1，k1，k2∈{0，1，2，…，m}，则4k2+1－4k1+2=3，即k2－k1=1.

所以可能的k1，k2恰好就是0，1，1，2，…，m－1，m，对应的i，j分别是2，5，6，9，…，4m－2，4m+1，总共m个.

所以这m+12个满足条件1的i，j中，不满足条件2的恰好有m个.

这就得到同时满足条件1和条件2的i，j的个数为m+12－m.

故Pm≥m+12－mC24m+2=m2+m+12m+14m+1>m2+m+142m+14m+2=m+12222m+12m+1=18.

证毕.

解法2：设1，2，…，4m+2是i，j－可分数列的i，j有bm个，则b1=3.

下面考虑bm+1与bm的关系：

设1，2，…，4m+2是i，j－可分数列的i，j组成的集合为Am.

由于从1，2，…，4m+2，4m+3，4m+4，4m+5，4m+6的前4m+2个数中任意抽掉两个数，不影响4m+3，4m+4，4m+5，4m+6成等差数列，所以AmAm+1，于是bm≤bm+1.

再考虑Am+1中比Am多出来的元素.

情况1：若抽取j=4m+6，i=4m+5－4t（t=0，1，2，…，m，m+1），剩下的4m+4个数只需要从小到大依次排列，即成m+1个都有四项的等差数列，这样的i，j有m+2个.

情况2：若抽取j=4m+5，i=4m+6－4ss=2，3，…，m+1.

把从4m+5－4s到4m+6的整数按如下方式排列：

4m+6，4m+6－s，4m+6－2s，4m+6－3s，4m+6－4s；

4m+5，4m+5－s，4m+5－2s，4m+5－3s，4m+5－4s；

4m+4，4m+4－s，4m+4－2s，4m+4－3s；

4m+3，4m+3－s，4m+3－2s，4m+3－3s；

……

4m+7－s，4m+7－2s，4m+7－3s，4m+7－4s.

共有s行，前两行有5个数，s≥3时后面每行有4个数.

可见抽取j=4m+5，i=4m+6－4ss=2，3，…，m+1后，剩下的4s个数排成了s个都有四项的等差数列.而从1到4m+4－4s（当m≥s时）的4m+4－4s个整数只需从小到大就可以排成m+1－s个都有四项的等差数列.这说明把前4m+6个正整数抽取了j=4m+5，i=4m+6－4ss=2，3，…，m+1后，剩余的4m+4个数可以排m+1个都有四项的等差数列.这样的i，j有m个.

于是bm+1≥bm+m+2+m，即bm+1－bm≥2m+1.

故bm=bm－bm－1+bm－1－bm－2+…+b2－b1+b1≥2m+2m－1+…+2×2+3

=m2+m+1.

于是Pm=bmC24m+2≥m2+m+12m+14m+1>m2+m+142m+14m+2=m+12222m+12m+1=18.

证毕.

3从试2E0ZxBSADImR9VgQwahjbg==题解法的探究过程看这类题的解题策略

这类题很新颖，没有固定的模式，表面上涉及的知识点可以是高中数学的任何一个或几个板块，但核心是考查考生的数学素养和思维能力.就这道题来讲，表面上是考数列和概率，但解题过程的重心和难点都不在这两部分，而是在构造法和集合的划分，它们是典型的解竞赛题的常用方法，没有优秀的数学素养和很强的思维能力是驾驭不了的.因此，这类题的解法没有套路，没有模型，不能照搬现成的解法，只靠刷题是练不出来的.但是，它毕竟还是数学题，解法的发现自然也会遵循数学题的解题规律，所以掌握一些解题策略还是很有帮助的.下面就从这道题解法的发现过程来总结一些解这类题的策略.

第1问的解法有两种，第一种是注意到从6个数中取出两个数有15种情况，把这15种情况考虑完即可；第二种方法是发现剩余的4个数一定有差为1的两个数，故从小到大排成数列公差只能是1，很容易就得出只有3种情况.

第2问只要把剩余的4m个数排成m个等差数列即可.解法的发现过程就是尝试各种排列方式，很快就得到了想要的结果.

第3问解法的发现是比较困难的，在这一过程不断变换策略，总算取得了突破.

策略1：特例入手.

首先研究了m=2的情况，很快发现数列1，2，…，10的i，j有1，2，1，6，5，6，1，10，5，10，9，10，此时概率已大于18.再考虑m=3的情况，发现数列1，2，3，…，14的i，j有1，2，1，6，5，6，1，10，5，10，9，10，1，14，5，14，9，14，13，14，由第2问知还有2，13，此时概率为1191，小于18，说明还有没发现的.经几次尝试，发现6，13也正确，因为剩余的12个数可以排列成1，2，3，4；5，7，9，11；8，10，12，14.此时概率已大于18.进一步研究m=4的情况，找出了1，2，1，6，5，6，1，10，5，10，9，10，1，14，5，14，9，14，13，14，1，18，5，18，9，18，13，18，2，13，6，13，共16个，而概率要大于18至少要20个，还差4个.再找下去太费时间，而且还不一定能得到结果，所以决定不找了，转变策略.

策略2：归纳总结.

分析m=1，2，3，4时找到的i，j，发现了两个规律：（1）m取较大值时的i，j包含了m取较小值时的i，j.这点其实早就想到了，m取较大值时的数列就是在m取较小值时的数列的后面增加了一些数，而新增加的数本来就可以排列成都有4项的等差数列，所以m取较小值时的i，j自然也是m取较大值时的i，j；（2）i，j中的两个数一奇一偶.其中前奇后偶的最多，而且这种情况下去掉这两个数以后余下的4m个数分成了一段或两段或三段，每段都是4的倍数个连续整数，这样的i，j很容易找完.前偶后奇的找到的很少，原因是每找一个都要花大力气去考虑余下的数怎么排列，所以本题的难点就在这里.根据发现的两个规律，想到了两个突破方向.第一个是直接研究余下的数排列成等差数列中的规律，第二个是化整为零，利用递推思想研究m+1相应的i，j个数比m相应的i，j个数增加的数量.

策略3：合情推理.

从特殊到一般是合情推理的一种重要形式，也是一种非常重要而有效的数学思想方法.根据这一思想，接下来就是利用已有的特例，研究i为偶数j为奇数时余下的数排列成等差数列中的一般规律.当m=3时，去掉2和13，余下的数可以如下排列：1，4，7，10；5，8，11，14；3，6，9，12.去掉6和13，余下的数可以如下排列：1，2，3，4；5，7，9，11；8，10，12，14.当m=4时，去掉6和13，余下的数排列成：1，2，3，4；5，7，9，11；8，10，12，14；15，16，17，18.

可以看出，当i的前面或j的后面多于4个数时，可以把前后的数从小到大依次排成若干个都有4项的等差数列，再排中间余下的数即可.那么余下的数又有什么排列规律呢？按照上面的排列方式，要看出规律很难.所以想到了改变排列方式，按照数的大小顺序把得到的数列从上往下排，并且把去掉的数加在相应的位置，得到如下的排列：

1，4，7，10，13；1，2，3，4；1，2，3，4；

2，5，8，11，14；5，7，9，11，13；5，7，9，11，13；

3，6，9，12.6，8，10，12，14.6，8，10，12，14;

15，16，17，18.

可以看出，从i所在的行起到j所在的行止，先从上往下看再从左往右看，这些数是从小到大依次排列的.为了验证这一点，再取m=5，先考虑（6，19），发现排不出来，再考虑（6，21），发现可以如下排列：

1，2，3，4；

5，9，13，17，21；

6，10，14，18，22；

7，11，15，19；

8，12，16，20.

可见前面发现的规律应该修改为：i前面的数多于4个时，可以先从小到大排成若干个都有4项的等差数列.到最接近i时，余下的数先排最小的一个，再确定适当的公差，使j在这一行的第5个；下一行的第一个数为i（比上一行的第一个数小1），公差不变，也是5个；再下面的几行（如果有的话）都只排4个，且依次由上一行的数减1得到，把i和j之间的整数排完为止，根据公差与i和j所在的位置，计算出了需要排的行数为j在奇数中的排位数减去i在偶数中的排位数之差，但这个差不能是3；后面的数从小到大依次排列即可.发现这一规律以后，就得到了解法1.

策略4：递推思想.

由于有了前面的发现，所以想到了递推的方法，这种方法在解数列题中有很好的效果，它实际上是把一个大问题分割成了若干小问题，然后各个击破，这样就极大地减小了难度.本题中，考虑到m取较大值时的i，j包含了m取较小值时的i，j，所以只要弄清楚m+1相应的i，j个数比m相应的i，j个数增加的数量即可.而增加的i，j中i和j至少有一个取自增加的4个数.注意到j=4m+6时，只要取i=4m+5－4t（t=0，1，2，…，m，m+1），则余下的4m+4个数只需要从小到大依次排列，即成m+1个都有四项的等差数列，这样的i，j有m+2个.但这个数量是不够的，怎么找新的i，j成了难题.

策略5：前问挖潜.

注意到第2小问的结论中提供的信息：当m=3时，数列1，2，3，…，13，14是2，13－可分数列，这个结论仅仅就是提供一个特例吗？恐怕不止于此.在高考题中，前面问题中的结论对后面问题的解法有很大帮助的情况并不少见，其目的是考查学生根据一丝有用的信息发现更重要的结论的能力，这是一种对数学的直觉和敏感，这种能力强的人学习潜力很大.对于本题，经过分析，很快有了发现，那就是13正是倒数第二个数，结合前面已发现的6，13，已经有一定的方向了.接着又发现m=4时有2，17，6，17，10，17.到这里，特例已经够多了，并且猜想对于m+1相应的这类i，j有2，4m+5，6，4m+5，…，4m－2，4m+5，共m个.接下来就是寻找数的排列规律.

策略6：逆向思维.

经过对得到的特例分析，把i和j放在适当的位置后，发现总是在后两行，这样就要先确定前面的数怎么排，困难较大.于是逆向思维，想到等差数列倒过来排也是等差数列，而从大到小排的好处是i和j总在前两排，这样排起来就方便多了.于是，把m=4时的2，17，6，17，10，17这几个特例排成了如下的形状：

18，14，10，6，2;18，15，12，9，6;18，16，14，12，10;

17，13，9，5，1;17，14，11，8，5;17，15，13，11，9；

16，12，8，4；16，13，10，7；8，7，6，5；

15，11，7，3；4，3，2，1.4，3，2，1.

经过观察，很容易就发现了规律：前两行都有5个数，后面每行都有4个数，i在第一行的最后一个，17在第二行的第一个，把i和j之间的数排完需要的行数刚好是每行的公差（由等差数列的特征知这个规律是必然的），这部分排完后余下的数从大到小（或从小到大）依次排即可.经进一步分析，发现每行的公差与这类i，j的排列2，4m+5，6，4m+5，…，4m－2，4m+5中i所在那组的序号有关，也就是m+1减去i那组的序号之差等于公差.接下来就按照这一规律把一般情况排列出来，发现完全正确，这样就有了解法2.

上面用到的这些策略在解数学题中都很常见且非常重要，轻松自如地运用这些策略将能极大地提高解决新问题的能力，而高考中的创新题真正要考的也正是考生的基本数学素养和数学思维[2].从这方面来讲，平时教学和学习的重心应该放在提高数学素养和训练思维能力上，而不是用在刷题上，这才是最根本的应对策略.

参考文献

[1]教育部教育考试院. 优化试卷结构设计突出思维能力考查：2024年高考数学全国卷试题评析[J].中国考试，2024（07）：79-85.

[2]张君.高三压轴题讲评，讲好思维的“卡壳”处：以2020届成都三诊理科数学第20题解法探究为例[J].教学考试，2020（47）：50-53.

作者简介

张君（1978—），男，四川宣汉人，中学高级教师;主要从事高中数学教学研究;发表论文30余篇，主持一项四川省教育科研重点课题.

李武学（1966—），男，四川沐川人，中学高级教师；主要从事高中数学教学研究．

陈婷婷（1987—），女，四川宜宾人，中学一级教师；主要从事高中数学教学研究．

基金项目

2023年度四川省教育科研项目重点课题“拔尖创新人才早期培养视域下普通高中‘强基课程’建设研究”（SCJG23A051）.