给“二级结论”在高中数学中的运用提个醒

【摘要】在高中数学学习中，“二级结论”有着广泛的运用．但如果处理不当，运用“二级结论”可能会遭到“反噬”.在实际教学中首先应重视“通性通法”的运用；其次，如果要利用“二级结论”，必须先弄清楚来龙去脉，再加以有针对性地运用.

【关键词】二级结论；注意点；通性通法

在高中数学学习中，有众多的“二级结论”，它是指我们在教育教学中，由教材中现有的数学概念、数学定义、数学规律以及原始公式等形式进行归纳提炼，或运用数学推导，得到的在一定条件下成立的结论.二级结论可以是文字描述，也可以是具体的数学表达式.在解题过程中，若能正确地利用二级结论加以应用或迁移，对于突破解题障碍、寻找解题思路和提高解题能力能够起到事半功倍的作用.但如果处理不当，运用二级结论可能会遭到“反噬”.笔者将运用二级结论进行问题解决时的若干个注意点陈述如下.

1运用常见的“二级结论”解题时，应注意应用的前提和条件

高中数学内容中的二级结论很多，涉及到大部分的章节.如果我们能够灵活地运用它，就能节省时间，提高解题的效率.但是要特别注意每个二级结论的推导过程，记清楚它的适用前提和条件，避免由于错用而造成不应有的损失，谨防“失之毫厘，谬以千里”.

案例1人教版新教材选择性必修第一册 98页的习题2.5第8题：

求圆心在直线x－y－4=0上，并且经过两个圆x2+y2+6x－4=0与x2+y2+6y－28=0交点的圆的方程.

此题如果采取联立方程组解决的方法，其解题过程会稍显繁琐.因此绝大多数学生利用教师先前介绍的圆系理论解决的方法，即：

设x2+y2+6y－28+λ（x2+y2+6x－4）=0，可得（1+λ）x2+6λx+（1+λ）y2+6y－28－4λ=0.（1）

把圆心（－3λ1+λ，－31+λ）代入所给的直线方程，可解得λ=－17，再代入（1）式即可得到所求的圆的方程为x2+y2－x+7y－32=0.

但课后有学生在教材参考书上碰到了如下问题并用以上相同的方法进行了解决：

求圆心在直线x－y－3=0上，并且经过两个圆x2+y2－1=0与x2+y2－6x+8=0交点的圆的方程.

设x2+y2－1+λ（x2+y2－6x+8）=0，可得（1+λ）x2－6λx+（1+λ）y2－1+8λ=0.（2）

把圆心（3λ1+λ，0）代入所给的直线方程，可是λ的值解不出来，难道上面的结论不对吗？

于是笔者向这位学生介绍了以上有关的二级结论能够运用的两个前提条件：首先这两个已知圆必须有两个交点；其次其中有一个已知圆不能被表示.他这才恍然大悟.

评注“真理再向前跨出一步往往会变成谬误”，也就是说，真理也有它的适用范围.在高中数学学习中，运用一些高中数学教材中所没有的、在高等数学中出现的或者未经检验的二级结论时，应该三思而后行，注意其运用的前提条件，否则就会误入歧途、得不偿失！

2运用常见的“二级结论”解题时，应注意检验结论的充要性

从解决问题的角度来说，二级结论是把程序性知识固化为结果性知识.所以二级结论应用于问题求解时缺点也很明显，它在某种程度上使得学生思维僵化，形成一种套用模式，导致有时会忽略掉数学问题的条件与结论之间的充要性.

案例2已知函数f（x）=1－2a2x+a（a∈R是奇函数，试求a的值.

笔者在实际教学中发现有相当多的学生得到答案为1，就询问了其中的一个学生.

生1：已知函数y=f（x）是奇函数，所以就有f（0）=0，代入即得a=1.

师：你觉得你的这种解法没有问题吗？

生1：奇函数就有f（0）=0！这是我们经常用的小结论，这应该是毋庸置疑的.

这时候就有另外的同学表示反对.

生2：题目的意思是函数y=f（x）在其定义域上是奇函数，但x=0未必在其定义域中！所以应该分类讨论.即：

（1）函数y=f（x）在x=0处有意义，由生1的解题结论可知a=1；

（2）函数y=f（x）在x=0处无意义，则20+a=0，解得a=－1.

所以我认为答案应该是a=1或a=－1.

师：大家认为生2的解法正确吗？

笔者看见绝大部分学生都表示赞成，剩下的学生没有表示意见，于是就分小组讨论，不一会儿，就有学生举手要发表意见.

生3：我们小组认为：题目条件能得到a=1或a=－1，但a=1或a=－1并不能保证函数y=f（x）是奇函数，所以需要代入进行检验，我们检验过了，这两个答案是正确的.

笔者对生3进行了表扬，并指出：运用二级结论解题时应注意其充要性.

评注我们发现：部分老师为了应对考试所采取的题海战术，主要方法就是让学生熟悉并记住各种类型习题的解法，以便考试时遇到同类型题目时“对号入座”.这实质上是通过大量的机械记忆，把处理较高认知水平的“运用”降低为较低水平的“记忆”，从而失去了对这些二级结论真正的理解与掌握[1].这种现象从以上案例中可见一斑：运用二级结论解题而忽视其充要性的检验.

3运用常见的“二级结论”解题时，应注意“与时俱进”

在实际教学过程中，有些二级结论的运用与学生的学情有着密切的关系，确切而言：随着学生学习内容的增加，有些原本可以在解决问题时运用的二级结论，在后期运用时却产生了问题，这时候需要引起警惕.

案例3人教版新教材选择性必修第二册37页的例9：

已知等比数列an的公比q≠－1，其前n项的和为Sn.证明：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求出这个数列的公比.

对于这一问题，在实际授课时，笔者通过先让学生证明在相同条件下，S7，S14－S7，S21－S14成等比数列.再让学生将其结论一般化.

教学中很快有两位学生用两种方法“解决”了这一问题，并将其一般化.并且绝大多数学生认为可以根据前面两位学生的解法类似地解决这一问题，即只要在他们的解法上做相应的改动就可以了.

笔者在进行总结时，特别说明以上的一般化结论在解决相关问题时可以使用.但在课外时间，几位平时对数学非常感兴趣并且参加数学竞赛辅导的学生提出了以下问题：

在复数范围内，已知等比数列an中，首项a1=1，公比q=cos27π+isin27π，但S7=S14－S7=S21－S14=0，故此时S7，S14－S7，S21－S14也不是等比数列，所以上面的一般化结论也是有问题的.

笔者对以上学生进行了表扬，并一起为以上的例9加了一个前置条件：在实数范围内.

评注在实际教学中，由于绝大多数学生还没有学过复数的内容，因此以上案例的结论对他们目前学习中接触到的相关问题都是可以使用的，但以上少部分的学生除外.基于数学是一门严谨的、连贯的、逻辑性相当强的学科，在数学课堂中应当培养学生养成思路严谨、逻辑严密的思维习惯.所以我们要参照以上案例，根据学生的学情，“与时俱进”地指出所涉及到的二级结论的运用范围.

4运用常见的“二级结论”解题时，应注意不能忽视“四基四能”的培养

显然有些问题运用相关的二级结论去解决，走了捷径，简化了计算，过程显得简洁明了.但是通过长期实践之后我们发现：一方面，部分二级结论明显思维起点过高，增加了学生的负担；另一方面，对于学生的“四基四能”的培养与提高而言，这些“简易解法”所带来的效果值得商榷.

案例4 （2022年新高考Ⅰ卷）设a=0.1e0.1，b=19，c=－ln0.9，则（）.

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.c＜a＜bD.a＜c＜b

解析利用不等式“e＜（1+1n）n+1（其中n∈N*）”，取n=9得，

e＜（1+19）10110＜ln109e110＜109110e110＜19，故a＜b；

利用不等式“当0＜x＜1时，ex＞x+1与lnx＞12（x－1x）”，则

a－c=0.1e0.1+ln0.9＞0.1（1+0.1）+12（0.9－10.9）=1225＞0，c＜a.故答案选C.

评注其实观察其对应的数字，联想到0.9=1－0.1，以0.1为媒介可以将其中的数字化异为同．

故a=0.1e0.1，b=0.11－0.1，c=－ln1－0.1，设x=0.1，a=xex，b=x1－x，c=－ln1－x，

故有f（x）=xex－11－x（0＜x＜0.2），m（x）=xex+ln1－x，x∈（0，0.2）.通过导数知识不难得到答案.就解决过程而言，这种解法可能没有上面利用二级结论解题速度快，但其解法思维起点更低，符合学生的学情与思维发展脉络，也更具一般性与普及性，对学生“四基四能”的培养与提高也相对更有效.

显然，二级结论在一定范围内具有普适性和良好的可操作性，应用于相关问题求解时也可以使学生的思维过程简化，节约思考的时间.但综上所述，运用相关二级结论解题的弊端也不容小觑，况且如果遇到一些模型不清楚或者遇到接近原始数学问题的习题的时候，若没有现成的二级结论，这时学生很可能会出现束手无策的局面.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“评价内容包括：情境设计是否体现数学学科核心素养，数学问题的产生是否自然，解决问题的方法是否为通性通法.”[2]而章建跃博士认为，“通性通法”是解题教学追求的最终目标.所以在教学中既要适当运用相关的二级结论，更要引导学生注重可能略显“笨拙”的通法，从而能够夯实、提高学生分析问题和解决问题的能力，促进各种核心素养的养成.

参考文献

[1]王邦平，朱淑玲，朱星昨，等.谈高中物理的模型与题型、规律和二级结论[J].中国考试：高考版，2007（09）：50-53.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020修订[M].北京：人民教育出版社，2020.

作者简介

黄加卫（1971—），男，中学高级教师；研究方向为高中数学教学；发表论文200余篇.