用“语文”学数学

【摘要】数学往往需要用语言文字来表述，“语文”学科的知识素养和能力直接影响数学的学习，特别是用好“语文”的字义、句义和“语文”的眼光、逻辑以及阅读与写作能力等对数学学习有非常大的推动作用.

【关键词】语文字义；语文句义；语文眼光；语文逻辑；语文阅读；数学学习

语文被誉为百科之父，对各学科的学习具有重要的指导作用，数学是通过文字语言、符号语言、图形语言来表述的，其中的文字语言就与语文息息相关.语文中的逻辑推理与数学思维也是紧密相连的.前苏联数学教育家斯托利亚尔说：“数学教学也就是数学语言的教学.”吴军博士在他的《谷歌方法论》中提到，学好数学要做好三件事情：首先是阅读理解，其次是建立比较完整的数学知识体系，第三是善用逻辑.所有这些都表明用语文学数学是非常必要、非常重要的学习方式.

1用“语文”的字义去学数学概念

有些学生对概念（定义）、定理（公理、原理）、性质根本不重视，导致对学科知识的生成、发展不能深度理解，不能真正形成知识.很多学生出错的根源就是因为概念不清而学不好数学.

数学中很多概念的名称都是合乎情理的命名，如空集、充分条件、必要条件、中位数、众数、仰角、俯角、反函数等，所以数学的概念有语言学科的特点，抓住这些特点，可以帮助学生理解概念、发展概念.

先说反函数的概念，其数学语言表述为：设函数y=f（x），x∈D满足：对于值域f（D）上的任意一个y，D中有且只有一个x，使得f（x）=y，则按此对应法则得到一个定义在f（D）上的函数，称这个函数为f（x）的反函数.这样的表述符合数学的精准性和科学性，但是不利于大多数学生学习、理解.从“语文”的字义角度审视“反函数”的名字，实际上就是“反过来也是函数”，即对于函数y=f（x），x∈D，若对于f（x）的值域中的任意一个值，通过y=f（x）这个对应法则（更多时候这是一个关于变量x，y的方程型等式）可以在D中找到唯一的值x与y对应（若y=f（x）是方程，即通过此方程反解出的x（x∈D）是唯一的），这样就满足函数的概念了，所以将x看成因变量，y看成自变量就可称x=f－1（y）为函数y=f（x），x∈D的反函数，而我们习惯以x作自变量，y作因变量，所以函数y=f（x），x∈D的反函数记作y=f－1（x），此式中的x是函数y=f（x），x∈D中的y，y是函数y=f（x），x∈D中的x，故y=f－1（x）的定义域为f（D），值域是D.

通过“反函数”可以看出，用“语文”的字义重新改述为符合学生认知水平的语言后，原本晦涩难懂的知识就变得轻松了，而且还加强了对反函数与原函数定义域、值域关系的理解.

再举一个“中位数”的例子.从“语文”字义理解，中位数就是中间位置的数，虽然不严密，但可以辅助理解概念，然后再结合数学学科知识去达到“准确化”，于是可以将“中位数”的教与学作如下“准确化”.

中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.从概念理解“中位数”就是中间位置的数，怎么样才算“中间”？需要把这组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后就出现了“中间”.

进而结合数学知识可以将中位数的概念深刻理解为：中位数表示一组数据的中间水平，它的本质就是数据排列好了以后中间的那个数.如果有偶数个数据，那么中位数就是中间两个数据的平均数；如果有奇数个数据，则中间那个数据就是中位数.中位数概念中的“中位”体现“位置特征”即中间位置的“数”，但这个“数”有可能不是样本数据中的数.这样理解后就破除了学生的易错点：中位数可能是给出的一组数据中的数，也可能不是.

例1样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，20的中位数是 .

分析 根据中位数的本质意义将数据16，24，14，10，20，30，12，14，20按照从小到大的顺序排列为10，12，14，14，16，20，20，24，30，得到中位数是16.

如果求样本数据16，24，14，10，20，12，14，20的中位数则为15.

2用“语文”的句义学数学

在数学试题中，有时不会直接给出明显的“数学条件”，而是通过文字叙述来表达某种关系，这时我们就要根据“语文”的句义将这种关系转化为“数学条件”，才能顺利解题.

例2（2024年高考数学新课标Ⅰ卷第18题）已知函数f（x）=lnx2－x+ax+b（x－1）3.

（1）若b=0且f′（x）≥0，求a的最小值；

（2）证明：曲线y=f（x）是中心对称图形；

（3）若f（x）＞－2当且仅当1<x<2，求b的取值范围.

分析（1）（2）略；

（3）要解决好本小题，必须先用好条件“若f（x）＞－2当且仅当1<x<2”.就是这个关口，很多考生不能过，导致后续无法进行.用“语文”的句义转换即是不等式f（x）＞－2的解集为（1，2），则f（1）=－2，这样就可以确定参数a的值为－2，顺利通过这个关口，为后续解决f（x）＞－2当且仅当1<x<2，即lnx2－x－2x+b（x－1）3＞-2对1<x<2恒成立打下坚实基础.

例3首项为-24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是（）.

A.d＞83B.d＞3

C.83≤d<3D.83<d≤3

分析当年好多考生没理解好“从第10项开始为正”，误以为就只是第10项为正，结果做错了.因为题中数列是等差数列，按照“语文”的句义，“从第10项开始为正”是两层关系，一是第10项为正，二是第9项不为正（注意不应该理解为第9项为负）.

解设题中等差数列为an，则a1=－24，a10＞0，a9≤0，所以－24+9d＞0，－24+8d≤0，解得83<d≤3，答案为D.

3用“语文”的眼光学数学

数学中有“判定定理”“性质定理”等，学生往往不能理解其深刻含义，更难把它们用好用活.从“语文”的眼光看“判定定理”就应该是用来判定某种关系是否成立的重要而常用的依据.如直线与平面平行的判定定理，我们可以这样来深刻理解：该定理的用途是判定直线与平面平行，因为取名叫“判定定理”，所以绝大部分判定直线与平面平行的问题应该要用“判定定理”，即：要判定直线a与平面α平行，思路就首先应该是看平面α外的直线a是否与平面α内的某一条直线b平行，若能找出这条直线b与a平行就可确定a∥α.通过深刻理解，我们就认识到怎么去判定直线与平面平行，怎么去寻求解题思路，破解了判定直线与平面平行的难点.

又以平面与平面垂直的“性质定理”为例，那就是已知两个平面垂直，然后能得出什么结论：若α⊥β，aα，α∩β=b，a⊥b，则a⊥β.深刻理解：已知两个平面垂直，那就要想到用平面与平面垂直的性质定理，这是解决问题的重要思路，有时条件“不够”，创造条件都要去用“性质定理”.

例4已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证l⊥γ.

分析题目中出现了α⊥γ，β⊥γ，即面面垂直，那就要想到用性质定理，可是题目中没有性质定理条件中的直线，好像条件“不够”，那就创造条件“作交线的垂线”：设α∩γ=m，β∩γ=n，在平面γ内作两条分别垂直于m，n的直线，这样难点就攻破了.

证明 如图1，设α∩γ=m，β∩γ=n，在平面γ内取一点A（Am，An），分别作AB⊥m于B，AC⊥n于C，由α⊥γ，β⊥γ，根据面面垂直的性质定理得AB⊥α，AC⊥β，而α∩β=l即lα，lβ，所以AB⊥l，AC⊥l，于是l⊥平面ABC，即l⊥γ.

4用“语文”的逻辑学数学

“语文”的表达方式有叙述、描写、说明、议论、抒情5种，这5种表达方式其实也暗含着逻辑.以语言文字为载体的数学问题常常是通过已知条件或知识进行逻辑推理而解决的，这时就要用到语言文字中的逻辑关系.

例5（2019年全国高考数学Ⅱ卷试题）

图2古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比为5－12≈0.618，称为黄金分割比例，如图2，著名的断臂维纳斯便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例且腿长为105 cm，头顶至脖子下端长度为26 cm，则其身高可能是（）.

A.165 cmB.175 cm

C.185 cmD.190 cm

分析此题通过所给条件计算可选出答案，但很费时间.如果从“语文”的逻辑来阅读试题，可以得到肚脐到足底的距离应该大于腿长，即0.618x＞105（x为身高），所以x＞169.9，且x接近于169.9，马上就可选出答案为B，这充分体现了“逻辑”的作用.

点评此题结合断臂维纳斯的背景，取题新颖.主要考查了有关黄金分割的计算.题目较长，对学生的阅读理解能力和计算能力都有要求.根据题目已给条件无法求出身高的准确值，只能估算出身高范围，这就是“语文”的逻辑，再用排除法就可选出正确答案.

例6（2020年全国高考数学试题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可以视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）.

A.5－14B.5－12

C.5+14D.5+12

此题同样是利用“逻辑”简化过程、节约时间.由图3可知其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值最接近1∶1，而5≈2.2，把2.2代入四个选项分别算出0.3，0.6，0.8和1.6，只有0.8最接近1，所以选C.

5用“语文”的阅读能力学数学

人教A版（2019）教材配有“文献阅读与数学写作”栏目，可以有效地调动学生学习的积极性与主动性，培养学生的数学文化素养，有利于学生对核心概念的整体理解与把握[1].

数学中的“阅读与写作”，要将“文献”“读”懂然后理解，这就需要用语文的语义将阅读材料转化为数学问题；而数学写作也离不开语言文字的表述，要想将所写内容表述清楚、准确，离不开语言文字.完整的数学试题解答相当于一篇完整的“说明文”或“议论文”，用语要规范、科学且符合数学逻辑习惯，这些都需要具备扎实的语文知识和深厚的语文功底.

例7（2019年新课标Ⅰ卷第21题）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api－1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=－1），b=P（X=0），c=P（X=1）．假设α=0.5，β=0.8．

（i）证明：{pi+1－pi}（i=0，1，2，…，7）为等比数列；

（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

分析 本题语言文字多，阅读量大，理解题意的难度也大.用“语文”的阅读能力厘清关键点为：

pi（i=0，1，2，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，并不是“甲药的累计得分为i”的概率.

解（1）X的所有可能取值为－1，0，1．

P（X=－1）=（1－α）β，P（X=0）=αβ+（1－α）（1－β），P（X=1）=α（1－β），X的分布列为：

（2）（i）证明：因为α=0.5，β=0.8，所以由（1）得，a=0.4，b=0.5，c=0.1．

因此pi=0.4pi－1+0.5pi+0.1pi+1（i=1，2，…，7），故0.1（pi+1－pi）=0.4（pi－pi－1），即（pi+1－pi）=4（pi－pi－1），又p1－p0=p1≠0，所以{pi+1－pi}（i=0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p1的等比数列.

（ii）由（i）可得，

p8=（p8－p7）+（p7－p6）+…+（p1－p0）+p0=p1（1－48）1－4=48－13P1，

因为p8=1，所以p1=348－1，

于是P4=（p4－p3）+（p3－p2）+（p2－p1）+（p1－p0）+p0=44－13p1=1257．

P4表示最终认为甲药更有效的概率．

由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为P4=1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．

数学不仅仅是数学符号和图形等表达的学科，它与语言文字密切相关，在数学解题时要做到“前言”搭“后语”，用“语文”的知识、观念和习惯改善数学的学习.苏步青教授说：“如果说数学是自然科学的基础，那么语文则是这个基础的基础.”他在担任复旦大学校长时曾说过：“假如许可复旦大学单独招生，我的意见是第一堂课就考语文，考后就批卷子.不合格的，以下的功课就不要考了.语文你都不行，别的是学不通的.”作为一个知名的数学家，他却坦言：“语文是基础，是成才的第一要素，没有一定的语文素养根本学不好数理化等其他科目.”由此足见用“语文”学数学的重要性.

参考文献

[1]何睦.新教材中“文献阅读与数学写作”栏目的教学价值与思考[J].数学通讯，2023（04）：2.

作者简介

张昌金（1968—），男，四川资阳人，中小学高级教师，四川省特级教师，四川省骨干教师，成都市优秀教师，内江市优秀教师；研究方向为高中数学教学与研究；发表文章26篇.