人工智能技术在中学数学中的实践应用

【摘要】随着信息技术的飞速发展，数学的研究范畴与应用边界得到了显著的拓宽.在此背景下，信息技术与数学课程的深度融合成为推动中学数学学科发展的驱动力之一.人工智能作为信息技术领域中的一个重要分支，在数学实践中展现出了独特的优越性.本文探讨人工智能技术在分类模型、预测模型、关联模型、优化模型及聚类模型等多种数学建模问题中的应用，为培养信息技术时代中学生的数学素养与创新能力提供新的思路.

【关键词】中学数学；信息技术；人工智能；数学建模；数学素养

随着信息技术的飞速发展，尤其是人工智能的蓬勃兴起，人类分析数据的能力实现了质的飞跃.同时，大数据时代对于源自网络、文本、音频、图像等多维、多类型信息的数字化处理的需求也日益增长，这一趋势显著地拓宽了数学的研究范畴与应用边界[1].《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，在数学教学设计的课程与实施中应合理运用现代信息技术.《普通高中数学课程标准（2020年修订）》强调将信息技术与数学课程内容进行整合，通过计算机软件、互联网、教育平台等工具提高学生解决实际问题的能力.基于数学核心素养的确立，越来越多的信息技术被融合到中学数学体系中[2]，涵盖了诸如概率统计[3]、函数分析[4]及几何课程[5]等多个核心领域，不仅丰富了中学数学教学内容，还提升了学生的学习兴趣与理解能力.

人工智能作为信息技术领域中的一个重要分支，其根基深植于计算机科学、控制论、信息论、神经生理学、心理学、哲学、语言学等不同学科的深度融合之中.人工智能致力于探索如何通过计算机技术模拟并再现人类的智能行为，不仅擅长处理传统计算难以胜任的非数值计算任务，还具备卓越的知识管理、自动逻辑推理以及辅助决策等能力.人工智能的研究范畴非常广泛，包括模式识别、自动推理、计算机视觉、机器学习、自然语言处理等领域.在中学数学教学实践过程中融入人工智能技术，可以激发学生对数学的兴趣，加深对数学理论知识的理解，进而提高逻辑思维、数据分析及解决问题的能力.

1人工智能与数学建模

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们通常在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言来表述并建立数学模型，这个过程称为数学建模.一般来说，数学建模的过程通常包括图1中的6个步骤.

（1）明确问题：分析问题的背景和相关条件，明确其特征和建模目的.

（2）合理假设：对问题进行必要的简化和假设，限定模型的使用范围.

（3）构建模型：建立变量之间的关系，通常使用数学表达式、图形、表格等工具表述.

（4）求解模型：选择合适的数学方法或计算机技术对模型进行求解，常用的方法包括解析法、数值法、仿真法等.这个过程涵盖了选择算法、设置参数值、对模型进行求解等步骤，通常需要通过不断地调整参数来寻求最优解.

（5）分析检验：将模型所得结果与实际数据进行比较，以验证模型的准确性和可靠性.如果模型与实际吻合不佳，则需要重新审查假设条件、模型结构和求解方法等方面的问题，并进行必要的修正.

（6）模型解释及应用：用现实世界的语言对模型进行解释，使数学模型具有实际价值.

数学建模的应用场景非常广泛，几乎涵盖了所有需要量化分析的领域.而现代计算机科学提供了很多数值计算软件和仿真工具，极大地提高了数学建模的效率.中学数学建模强调立足于实际问题，在采集数据、建立模型、验证模型的实际操作中，灵活运用数学知识和方法，提升解决问题的能力[6].如图2所示，数学建模可以概括为优化问题、预测问题、评价问题、聚类问题等类型，其中每类问题都有不同的模型和算法.在模型构建时，需根据问题描述选择适合的数学模型和算法，并优化参数，必要时可尝试多种模型进行检验，从中确定最优的解决方案.

相较于传统的数学建模方式，人工智能技术在数学建模中展现出了显著的优越性[7-8]，主要体现在以下几个方面：

（1）数据驱动的无假设建模：人工智能技术摒弃了传统建模中对模型结构的预先假设，其建模过程更依赖于数据的内在规律和特征，实现了真正意义上的数据驱动.这种方式不仅简化了建模流程，还提高了模型的适应性和准确性.

（2）提升解的质量：传统建模方法往往容易陷入局部最优解，难以达到全局最优.人工智能技术凭借其强大的优化能力，提高了搜索效率，并跳出这些局部极值，从而显著改善解的质量和稳定性.

（3）复杂数据的处理能力：现实中的数据往往包含结构化、半结构化和非结构化等类型，传统方法难以有效处理.人工智能技术具有处理大规模、复杂数据的能力，可以从各类数据中提取有价值的信息.

（4）融合多种预处理和建模方法：通过集成先进的数据分析工具，人工智能技术支持数据收集、清洗、转换、降维等操作，还可以整合各种建模方法和策略，不仅可以提升建模的效率，还可以通过互补优势提高建模的准确度.

2人工智能在中学数学中的应用场景与案例

信息技术与中学数学融合的一个重要手段就是运用教学软件来辅助教学[9].胡雨婷等将Maple软件的图像动画演示功能应用到数学教学中[10]，刘革辉等研究了Mathematica在中学数学中的应用[11].SPSSPRO[12]是一个在线统计分析平台，凭借其用户友好的界面和丰富的功能，正逐步受到科研工作者、数据分析师及学校师生的关注.首先，SPSSPRO提供多种基础的统计分析方法，包括频数分析、描述分析、正态性检验、分类汇总、方差分析、卡方检验、相关分析、信度分析等.其次，在数据预处理方面，SPSSPRO提供异常值检测与处理（确保数据的准确性和合理性）、数据采样（如随机抽样、分层抽样）、数据变换（如标准化处理）、缺失值处理（通过插补、删除等方法减少数据损失）、数据编码（将定性数据转换为定量数据）、特征选择（从原始变量中筛选出对模型贡献最大的特征，以提高分析效率）以及数据降维（简化数据结构）等.SPSSPRO具有强大的数学建模功能，不仅覆盖了传统的统计分析，还融合了多种人工智能技术，为各应用领域提供全面的数学建模解决方案.

2.1分类模型

分类是从一组已知类别的数据中发现类别和其他特征之间的依赖关系，主要用来预测新数据的类别.现实生活中，许多问题都可以抽象为一个分类问题，商业、金融、保险、医疗卫生、公共管理、科学研究等领域都可以看到分类的广泛应用.目前应用较广的分类方法有决策树、神经网络、支持向量机和贝叶斯等.

决策树将复杂的分类难题拆解为一系列较为简单的分类任务，它以树形结构呈现，依据层级分为根节点、内部节点和叶节点.每个节点关联一个样本集合：根节点代表整个数据集，内部节点则对应着数据的一个子集，而叶节点则指向一个类别标签.在决策树中，根节点与内部节点均承载着对样本特征的测试任务，这些测试基于特征值的不同将样本集逐步细分为更小的子集，每个分支都代表了一个子集的划分，且由该次测试的特征值明确标识.最终，叶节点作为分类的终点，携带了对应样本集的类别信息.从叶节点的视角审视，决策树实质上是将数据空间细致划分为多个子空间，每个子空间内的所有样本均被统一归类为该子空间对应叶节点的类别.因此，决策树的构造过程实际上就是对数据空间不断细分的过程，而每个叶节点对应着从根节点到该叶节点的路径上的一系列测试条件的“与”运算.

案例1：某学校通过线上方式向全校学生发放调查问卷，以引导学生合理参与机器人社团活动.为了构建一个既基于学生兴趣、特长，又兼顾学业成绩的决策模型，可以遵循以下步骤来设计：

（1）确定决策目标：是否参加学校机器人社团活动作为决策树的叶节点，即类别标签.

（2）识别关键特征：根据调查问卷，识别出三个关键特征：兴趣、特长、成绩.

（3）构建决策树：以调查问卷作为训练样本，利用决策树算法建立分类模型，其结构如图3所示.

（4）决策树应用：根据这个模型，首先对兴趣进行测试，如果无兴趣，则选择不参加社团活动；如果对社团活动有浓厚兴趣或者兴趣一般，则需要进一步判断.如果兴趣浓厚，则需要考虑成绩因素.如果成绩良好以上，则选择参加社团活动；如果成绩较差，则选择不参加社团活动.如果兴趣一般，则需要考虑特长因素.如果学生的某项特长与社团活动相关，则选择参加社团活动；如果特长与社团活动无直接关联，则选择不参加社团活动.

2.2预测模型

预测模型的核心任务在于识别并量化自变量与因变量（即需预测的变量）之间的依赖关系.例如，通过构建预测模型，可以洞察房价与面积、楼层、楼龄等特征之间的关系.当有顾客咨询新的房产时，只需将相关的数据输入该模型，即可迅速估算出房屋的报价.虽然最终目的都是用来预测，预测模型的因变量是数值类型，而分类模型的因变量是类别.

传统的回归分析始于对数据分布特性的预设假设，依据这些假设构建特定的数学模型.然后，利用实际观测到的数据，通过统计方法求解出模型中的参数值，使模型准确地反映数据间的真实关系.人工智能技术具备更强大的预测能力，其预测基础仅建立在因变量与一系列相关变量之间的内在联系之上，而不需要对数据分布预先做出假设.预测模型的准确度常用以下指标来衡量.

MSE（均方误差）：预测值与实际值之差的平方的平均值，该值越小，表示模型的准确度越高.

RMSE（均方根误差）：将MSE的结果调整回与原始数据相同的量级，使得误差值更易于解释，该值越小，表示模型的预测准确度越高.

MAE（平均绝对误差）：预测值与实际值之差的绝对值的平均值，该值越小，表示模型的准确度越高.

R2：预测值与实际值之间的相关性的平方，该值越接近于1，说明模型的预测值与实际值之间的相关性越强，即模型的准确度越高.

案例2：已知表1中的房地产历史数据，通过综合考虑面积、楼层及楼龄等多重因素，估算出房价.为了提升预测模型的准确性与可靠性，一般应用多种模型进行综合评估，过程如下：

（1）确定自变量和因变量：根据问题描述，自变量为面积、楼层、楼龄，因变量为房价.

（2）选择预测模型：选择线性回归模型、决策树回归、K-近邻、神经网络分别构建预测模型.

（3）结果评估：表2给出了四种模型的评估结果，其中决策树模型在所有指标上的准确度最高，因此，建议选择决策树模型应用于房价预测.

2.3关联分析模型

关联分析致力于探索两个或多个对象之间可能存在的关联模式[13]，从而揭示了数据背后的隐藏规律.关联分析最初应用于对顾客购买商品的挖掘，聚焦于那些频繁共现于同一购物篮中的商品组合.当某些商品在顾客交易事务中的共同出现次数达到预设的统计学阈值时，就意味着这些商品之间存在着某种隐性的关联.在货品管理方面，关联分析可以帮助商家预测哪些商品可能会成为热销组合，从而提前备货，减少缺货风险，还可以设计促销套餐，如“买一送一”或“组合优惠”，以激发顾客的购买欲望，提升整体销售业绩.从广义的视角来看，这种关联涵盖了并发、因果、时序等多种复杂关系.在数学建模中，关联分析通过发现数据项之间的关联性，为预测分析提供了重要信息和依据[14]，常与其他预测方法结合使用，以提高预测的准确性和有效性.

假设A，B是数据项的集合，关联规则AB，表示当A出现在一次事务中时，B出现在同一事务中的可能性较高.常用的量化标准包括支持度、置信度等，用来定义关联规则在统计上的意义.规则AB的支持度定义为A，B同时出现的可能性，也就是统计学中的概率. 规则AB的置信度定义为包含A的事务同时也包含B的可能性，也就是在A出现的条件下B也出现的概率.以表3为例，规则“牛奶可乐”的支持度为40%，置信度为66.7%.

案例3： 学校想了解学生参加兴趣班的情况，拟利用关联规则挖掘兴趣班之间的潜在关联.具体步骤如下：

（1）数据收集与整理.

首先，设计并发放调查问卷，包含学生参加的所有兴趣班选项（如编程、音乐、绘画、体能、球类、舞蹈、科学实验、乐器等）.

（2）数据预处理.

将问卷数据转换为二进制（0/1）形式，其中1表示学生参加了该兴趣班，0表示未参加.将每个学生的选课情况视为一个事务，所有学生的选课情况构成事务数据库.

（3）应用关联规则算法.

根据研究目的和数据特性，设定合适的支持度和置信度阈值，筛选出有意义的关联规则.

（4）关联规则解释和应用.

对关联规则进行解读，分析为何这些兴趣班之间会存在关联.例如，“学生参加了编程兴趣班Symbol^C@

学生参加了科学实验兴趣班”，该规则的支持度为20%，置信度为80%.这说明在所有学生中，有20%的学生同时参加了编程和科学实验兴趣班；而在已经参加编程兴趣班的学生中，有80%的学生也参加了科学实验兴趣班.基于以上分析结果，学校可以向学生推荐相关的兴趣班组合，或者考虑在课程设置和教学资源上做出调整，以更好地满足学生的兴趣和需求.

2.4优化模型

在优化问题中，目标函数常包含多个局部最优解，这使得在求最优解时容易局限于某个局部极值，难以得到全局最优解.为增强算法的全局搜索能力，常采用随机搜索算法进行优化，包括进化计算、群体智能等策略.

进化计算是一种来源于自然界生物进化机制的自组织、自适应随机搜索方法.它涵盖了遗传算法、进化规划、进化策略及进化编程等多个分支，通过模拟生物进化过程中的遗传、变异、选择和适应等机制求解复杂问题.遗传算法作为进化计算的核心之一，借鉴了“自然选择”的生物进化原则及孟德尔的遗传学说.如图4所示，它从一个初始种群开始，利用选择、交叉、变异等遗传操作，不断迭代进化种群，提升解的适应度.在选择过程中，适应度高的个体更有可能被选中参与下一代的繁殖；交叉操作则促进不同个体间优良基因的组合；变异则以极低的概率随机改变某些基因，以增加种群多样性.重复这个过程直至算法收敛为止.遗传算法特别适用于处理传统数学方法难以直接解决的复杂优化问题，例如物流运输路径优化[15]、电动汽车能量管理优化[16]等.图4遗传算法的基本步骤

群体智能算法则模拟自然界中昆虫、兽群、鸟群等群体的协作行为，通过群体智慧在解空间中搜索最优解.目前，已有多种群体智能算法得到广泛研究和应用，如蚁群算法、粒子群算法、菌群算法、蛙跳算法、人工蜂群算法等.此外，近年来还涌现了蜻蜓算法、萤火虫算法、布谷鸟算法、蝙蝠算法、磷虾群算法等一批仿生算法，为求解各类优化问题提供了更多选择[17-18].各种群体智能算法的原理参见表4.

2.5聚类模型

聚类分析旨在探索数据集中对象的自然分组，它不依赖于预定义的类别标签，而是依据对象间的相似度自动将数据分组.在这个过程中，聚类算法会寻找数据的内在结构和模式，将相似的对象聚集在一起，形成不同的群组，同时确保这些群组之间具有足够的差异性.聚类分析广泛应用于多个领域，帮助人们从复杂的数据中识别出隐藏的结构，进而为决策制定、趋势预测、模式识别等提供有力支持[19].《义务教育数学课程标准（2022年版）》中的数据分类实际上为基于数据相似度的聚类分析[20].

聚类分析有多种算法可供选择，每种算法都有其独特的优势和适用场景.例如，划分聚类算法以其简单、高效著称；而层次聚类算法则能够提供更为灵活的聚类结构，可根据需要调整聚类的层次和数量.

案例4：某学校计划对初一学生进行身高、体重、肺活量等基础体质测试，并根据测试结果提供针对性的健康指导和教学建议.这个问题可以通过聚类实现，步骤如下：

（1）数据收集与整理：记录每位学生的测试数据，由于身高、体重、肺活量等指标的度量单位不同，为了消除量纲差异对聚类结果的影响，需要先对数据进行归一化处理.

（2）聚类算法选择：根据数据的特性和分析需求，选择合适的聚类算法.

（3）执行聚类分析：根据数据间的相似度将学生分组，形成若干个聚类.

（4）聚类结果评估与解释：根据聚类结果，分析每个聚类的特征，如身高、体重、肺活量的平均值，具体结果参见表5.依据各组特征的平均值，可以将这三组依次标记为“及格”“一般”和“优秀”.

（5）个性化指导：根据学生的体质等级，制定健康指导和教学建议.例如，为等级为及格的学生制定增强体质的计划，为等级为优秀的学生提供更高层次的锻炼建议.

3结束语

《教育信息化2.0行动计划》指出，“推动信息技术和智能技术深度融入教育全过程，改进教学、优化管理、提升绩效”.信息技术与中学数学课程内容的融合具有巨大的潜力，目前尚有许多未被充分挖掘的领域.人工智能的核心在于模型和算法，可为其他科技领域提供强大的技术支持.在中学数学的学习中，应特别关注并充分利用人工智能技术的优势，借助先进的数据分析工具，使复杂的数学过程直观化、简单化和智能化.

参考文献

[1]贾璞，宋乃庆.大数据时代中学生数据素养：内涵，价值与构成维度[J].电化教育研究，2020，41（12）：28-34，58.

［2］宋倩茹，高守宝，王晶莹.新中国成立70年中学理科课程中信息技术应用的模式演变研究：基于数学、物理、化学和生物课程标准的文本分析[J].数字教育，20206（01）：59-65.

［3］骆世璇，孙小军，陈建明，等.信息技术与中学概率统计教学融合的历程与思考［J］.教学与管理，2024（12）：88-94.

［4］徐亚楠，孙丹丹.信息技术在中学几何教学中的融合现状［J］.数学之友，2024（01）：18-20，24.

［5］董晓婧，吴贵春，龙周萍.信息技术与数学课程整合探析：以“一元二次函数图像”为例［J］.中国教育技术装备，2023（17）：26-30.

［6］苏圣奎，陈清华.基于创新人才培养的中学数学建模课程体系构建［J］.人民教育，2021（07）：55-58.

［7］陈梅香，晏瑜敏，林荔娜，等.“人工智能+”时代下中学数学课堂教学效益提升策略研究［J］.创新创业理论研究与实践，2021，4（09）：10-11，14.

［8］张凯琪. 人工智能算法在数学建模中的优化研究［J］.电声技术，2021，45（12）：76-78.

［9］赵丹丹. 教学软件在中学数学教学中的应用研究［D］.延安：延安大学，2022.

［10］胡雨婷，高雪，范婧丽，等.浅析Maple软件在中学数学教学中的应用［J］.内江科技，2022，43（11）：62-63.

［11］刘革辉，王平.Mathematica软件在中学数学教学中的应用实践［J］.电脑知识与技术（学术交流），2007（11）：1426，1447.

［12］Scientific Platform Serving for Statistics Professional 2021. SPSSPRO. （Version 1.0.11）［EB/OL］.https：//www.spsspro.com.

［13］霍桂利.关联规则挖掘相关技术综述［J］.山西煤炭管理干部学院学报，2010，23（03）：181-182.

［14］张崇林，虞丽娟，吴卫兵.关联规则数据挖掘技术在体质测试分析中的应用［J］.上海体育学院学报，2012，36（02）：42-44.

［15］梁建梭，唐慧羽，王录通.数学建模优化物流运输路径可行解的改进算法及应用［J］.中国储运，2024（03）：138-139.

［16］黄阿娜，习璐.基于遗传算法的电动汽车能量数学建模及优化方法［J］.自动化与仪器仪表，2024（01）：79-84.

［17］李云娟，樊雪双.基于数学建模的PSO-DE算法在机器人智能拣货过程中的应用研究［J］.自动化与仪器仪表，2024，3：197-200，205.

［18］孟小燕，赵希武.基于蚁群算法的计算引擎均衡部署数学建模［J］.计算机仿真，2022，39（11）：472-476.

［19］王锦升，蒋志豪，房鹏程，等.基于数据挖掘对城市公交站点优化的数学建模［J］.数学建模及其应用，2019，8（04）：38-47.

［20］李建，秦德生.如何理解新课标初中阶段的“数据分类”［J］.中学数学杂志，2024（04）：14-15.

作者简介

陈安（1970—），男，山东东平人，研究员，致力于科技政策和智库研究.

陈宁（1974—），女，福建永泰人，副研究员，致力于人工智能和大数据技术研究.