关注情境资源，优化教学设计

【摘要】课堂教学中往往设置情境进行教学，旨在让学生能够主动发现问题、分析问题和思考问题，全面调动学生的高阶思维互动.结合等差数列的前n项和，阐述不同教材的情境设置，实现优化教学设计，推进数学教学和情境教学的充分融合.

【关键词】情境；高斯算法；等差数列

情境教学是数学教学中激发学生学习欲望，促进学生积极学习的有效手段.情境的创设能引导学生对数学问题深刻认知，实现全面推动数学教学与数学情境的充分融合，从而使学生能够对所认知的数学问题和数学知识真正把握，全面提升数学核心素养.

在教学中教师若能关注对应知识点的情境资源，则能实现数学教学的全面优化.比如，趣味性情境与问题，能够引导学生观察与思考，让学生在多彩的学习活动中积累直观的经验，悟出数学知识点；思辨性情境与问题，能让学生在数学学习中，结合观察、分析、体验、经历和内化等过程逐渐形成思考问题、分析问题和解决问题的思维方法，让学生不断完善认知结构；实际性情境与问题，则是通过与实际生活、科学问题和数学问题建立情境与问题，让学生发现解决问题的途径；螺旋式情境与问题，通过推理和演绎，加深对数学知识内涵的理解；多元化情境与问题，如借助素养教学、情境教学、生活教学、变式教学，多角度去认识数学问题，实现触类旁通的效果.

1高斯的故事

高斯是18至19世纪德国著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.在高斯10岁时，数学老师布特纳为了让学生们忙碌起来，同时也想测试一下他们的计算能力，便给他们出了一道题目：把从1到100的所有整数加起来，看谁能最快给出答案. 其他同学听到这个题目后，都开始埋头苦算，一个个数字加起来，而高斯却几乎立刻给出了答案：5050.老师非常惊讶，以为高斯是乱猜的，便要求他解释计算过程. 高斯解释道，他并没有逐个相加，而是观察到了数的规律.他发现，首尾两个数相加的和是相同的，即1+100=101，2+99=101，…，50+51=101.这样的数对有50对，所以总和就是101乘以50，即5050. 这个简单却巧妙的解法让老师大为赞叹，也展现了高斯对数字间关系的敏锐洞察力和数学天赋.从此，高斯在数学领域的非凡才能逐渐为世人所知，并最终成为了一位伟大的数学家.

2不同教材的情境资源

多种教材版本在引入等差数列的前n项和公式时，常常利用这则故事或者类似这个故事来引入情境教学，使学生能够充分认识等差数列前n项和公式的来源.

情况1北师大版选择必修第二册的设计思路.

问题与情境如图1，有200根相同的圆木料，要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能的少，那么将剩余多少根圆木料[1]？

根据题意，各层圆木料数比上一层多一根， 故其构成等差数列：1，2，3，….设共堆放了n层，能构成正三角形垛的圆木料数为Sn，因此Sn=1+2+3+…+n，这是一个等差数列的求和问题.那应该如何计算该等差数列的前n项和呢？

高斯算法：由高斯的算法得到启发，计算1，2，3，…，n的前n项和：

Sn=1+2+3+…+n，

Sn=n+n-1+n-2+…+2+1，

则把上面两式相加得2Sn=1+n+1+n+1+n+…+（1+n），右式有n个式子，则可以知道

1+2+…+n=n（n+1）2.

抽象概括：等差数列an中，若首项为a1，公差为d，Sn是等差数列an的前n项和，即Sn=a1+a2+a3+…+an， 因此结合等差数列an的通项公式Sn=a1+a1+d+a1+2d+…+a1+（n-1）d］.（1）

由高斯算法得到启示，把项的次序反过来，Sn=an+an-d+an-2d+…+an-（n-1）d］.（2）

（1）+（2）得Sn=n（a1+an）2.

情境教学的意图：（1）充分结合高斯算法推导等差数列an的前n项和公式；（2）引申出“倒序相加法”；（3）类比1+2+…+100=5050到1+2+…+n=n（n+1）2，再进一步深化到

a1+a2+a3+…+an=Sn=n（a1+an）2.即让学生学习的道路犹如爬山一样，逐渐递进.

情况2中职版（高等教育出版社）拓展模块一（下册）的设计思路.

问题与情境某街道举办国庆70周年成就展，在展厅前用鲜花摆放了一个等腰梯形花坛.如图2所示，花坛由前到后共有12排，最前一排摆放了10 盆鲜花，往后每排依次增加2盆.写出由前到后每排摆放的鲜花盆数构成的数列，并计算这个花坛一共用了多少盆鲜花？

分析：第2排的花盆数为12，第3排的花盆数为14，…，第12排的花盆数为32.因此，由前到后每排的花盆数构成的数列为10，12，14，…，32. 本题的实质是要计算等差数列10，12，14，…，32各项的和.

思路：设想将等腰梯形倒过来，与原来的等腰梯形合并在一起，如图3所示，可以发现每一排的花盆数都是42，则可知10+32=12+30=14+28=…=32+10，由于共有12排花盆，所以这个花坛的花盆总数为12×10+322=252.

建构模型：设数列an的前n项和为Sn，则有

Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.（3）

上式也可以写为，

Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1.（4）

由（3）+（4）得2Sn=a1+an+a2+an-1+…+an+a1，得前n项和公式

Sn=n（a1+an）2.

情境教学的意图：如何获得等差数列求和公式，其解决的思路是“倒序相加法”.

情况3苏教版选择性必修第一册的设计思路.

问题与情境先考察图4，这是某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数呢？

思路：假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管（图5），因此每层的钢管数都等于4+9，共有6层，从而原来的一堆钢管总数为6×4+92=39.

建构模型：对于等差数列an，可否用上面的方法来求出等差数列an的前n项和Sn.

下面的解决方法同情况2.

该情境教学的设计运用：同样是利用生活中的情境“堆放钢管问题”进行“倒序相加”，实现从特殊到一般的解决该问题的思路与方法.

情况4沪教版选择性必修第一册.

问题与情境据说200多年前，著名数学家高斯的算术老师在课堂上曾经提出了下面的问题：

求1+2+3+…+100的值.

少年高斯用下面的方法迅速算出了正确的答案：1+2+3+…+100=？

100+99+98+…+1=？

上述两式相加得：101+101+101+…+101=2×？则可以得到101×1002=5050.

总结：高斯的算法解决了求等差数列1，2，3，…，n，…前100项的求和问题.

不失时机地引入中国历史上的数学家的成就：事实上，古代的中国人和希腊人也是这样求等差数列之和的.例如，宋朝数学家杨辉提出了一个问题：“今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束，问共几束？答：36 束.”他的计算方法可以用图6表示.

建构模型：对于等差数列an，可否用上面的方法来求出等差数列an的前n项和Sn.

下面的解决方法同情况1.

该情境教学的设计运用：从创设数学史的情境与问题出发，同样通过“倒序相加法”，由特殊到一般，求出等差数列an的前n项和Sn.该情境中注意让学生充分了解为数学作出贡献与发展的数学科学家的足迹，教师将数学史融合到教学中，可以对学生进行爱国主义教育，激发学生学习的热情.

分析意图：（1）在四种情境教学中，它们的共性是按“问题情境—构建问题—解决问题—数学运用”的思路进行，让学生能够认识等差数列求和公式的由来.

（2）情况1中，由特殊情况到一般情况，且设置情境来认知问题，符合学生的一般认知规律，也给学生留下很多的思索空间.

（3）情况2中，由特殊情况衍生到“倒序相加”的思想方法，亦是一种很好的认知思路，当然可能类比为等腰梯形，学生可能不太容易想到，笔者觉得这里有商榷的空间.

（4）在情况3中，是将钢管问题作为情境问题引入“倒序相加”的思想方法，但是倒放钢管应该和现实的生活有所脱节，笔者觉得这个解决问题的方法要更加契合实际才能更符合问题的认知思路.

（5）在情况4中，由高斯解决的数学问题类比到中国古代数学家杨辉提出的垛草问题，然后解决的思路亦是“倒序相加法”，这个垛草问题用“倒序相加法”解决，笔者认为该情境教学更加符合我们对数学的认知，也让数学知识更加鲜活起来，同时还对学生进行了数学史和爱国主义的教育.

当然上述四种情况的情境教学，都为如何实现“配对”到“倒序”的转化，各个版本的教材都是将生活中的情境引入，且创设合理的问题，使得学生能够参a65fbb6c3857aa54e6a9f737d659afb0与到数学知识的形成、产生、发展和运用过程，能够让学生直观感受和理解，增强学生的创造力.

3教材的加工

数学教学结合情境教学，能够激发学生学习数学的欲望，提高探知数学问题的兴趣.同时情境教学能够推动学生进行思考和分析，达到进一步完善认知结构、增强知识储备、提升解决问题的能力.学生通过情境问题进行学习活动，亦能加强构建数学知识与实际生活的联系，逐步掌握学习和思考的方法，从根本上提高学习力.

作为教师来说，在教学过程中可以通过对教材再进行精细加工，让教学的思路更加流畅、清晰、自然，实现更完备的教学效果[2].

加工1：紧紧抓住整体思想.

高斯计算1+2+3+…+100的本质是进行“配对”，而“配对”的关键是“整体思想”，即

a1+an=a2+an-1=….

所以Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.（5）

Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1.（6）

2Sn=na1+an，求得等差数列前n项和Sn=na1+an2.

加工2：类比思想.

对于如情况3的堆放钢管问题，可类比梯形面积公式S=（a+b）×h2，然后让学生思考如何求出堆放钢管的总数，探索出等差数列前n项求和公式.

加工3：数学史和数学情境问题的结合.

在情况4中，先引入高斯解决1+2+3+…+100的问题，笔者认为可直接以宋朝数学家杨辉提出的问题来作为情境引入，再利用“倒序相加法”求出等差数列前n项和Sn.

4改进型的等差数列求和公式的教学过程

创设情境，新课导入：中国古代算书《张丘建算经》有一道题：今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？

情境教学理论：数学知识一般与一定的知识背景相联系，即与“情境”相联系，特别是引入中国古代数学家的数学问题，则更加能够引导学生利用自己的原有认知结构，来同化和索引出现在所学的新知识，实现对新知识的完全建构 [3].

分组布置任务：第一组：用电脑计算器功能计算从1加到100等于多少？

第二组：使用开放网络查询德国数学家高斯的故事，看高斯如何计算从1加到100，等于多少？方法是否简便？小组分别汇报解决的方法.

第一组的方法：

则可以计算1+2+3+…+98+99+100=1+100×1002=5050.

点评：第一组的方法是通过首尾配对法顺利求出1到100的和，从简单的问题开始，让学生能够在自主探索中不断学习，实现问题从简单到复杂的飞跃.

第二组的方法：

该小组采用倒序相加法，实现从1到100的求和.

点评：对于“倒序相加法”，一般教师要通过引导学生思索与索引，才能让学生得到启发，唤醒学生对该问题的认知.

对“倒序相加法”的认识：下面是倒序相加法的演示.

教师：现在有个数列，其首项a1=1，a2=2，…，a5=5，则项数n=5；

用一些圆表示这个数列，如图7.

教师：为了方便计算这些圆的数量，我们可以寻找一个与之相同的数列，然后把这个数列对应的图形进行倒置（如图8），然后将图7和图8进行对拼，这样就会呈现一个长方形，每行有6个圆，共5行，则圆有6×5=30个，而我们最初是求一组的圆，所以是30÷2=15.因此我们就很好地理解了“倒序相加法”，也就可以顺理成章地认识和掌握等差数列求和公式为（首项+末项）×项数2．

教师：《张丘建算经》一例：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”“并初、末日织布数，半之，余以织讫日数，即得.”

请同学们把它翻译为现在的数学题，可归结为怎样的数学问题？

学生甲：这是一个等差数列，a1=5，an=1，n=30，求等差数列的前30项和S30.

教师：不错，可应用我们现在所学的等差数列的求和公式Sn=na1+an2解决.

合理应用教学中的数学情境，是要以适应自己所教学生的实际情况来进行教学，是如何“用教材”，而不是如何“教教材”，且不能拘泥于教材所给的情境教学.作为教师，应该要创造性地应用教材进行教学，提升教材情境教学的精彩点，才能提升课堂教学效率和课堂教学效果，带动学生学习数学的情趣.精心选择适当的教学方法和教学思路，才能加深对数学问题的理解.

参考文献

[1]栾云骏.例谈创设数学问题情境的路径[J] .中学数学，2024（02）：32-33．

[2]吴茹，李恒宇. 基于深度学习的微专题教学研究[J] .中学数学月刊，2024（05）：22-24．

[3]刘静雅. 基于5E教学模式的数学教学探究[J] .理科考试研究，2024（05）：26-28．

作者简介

周文国（1971—），男，江苏张家港人，高级教师，苏州市名教师；主要研究数学课程与数学教学.