一道调考填空题的探究与启示

【摘要】从一道调考题出发，对知识背景进行溯源，帮助学生找到解题的切入点.在探究问题的过程中，感悟到高考备考需要站位有高度、内容有广度、过程有梯度、培养有深度的一些观念，希望对广大一线教师有所帮助.

【关键词】高考数学；马尔科夫链；复习备考

1问题的发现与提出

武汉2024年2月调考高中数学填空的压轴题如下：

“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图1所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 .

作为填空压轴题，难度不言而喻.学生们反映对此题完全“摸不着头脑”，即不知道这道题要考查的意图？破题的切入点在哪里？笔者通过研究高考题、调研题，以及对教材的挖掘，发现此题和最近几年的高考题均与马尔科夫链密切相关，故做了以下一些整理，希望对广大一线教师的复习与备考有一些启发.

2问题的关联与溯源

2.1马尔科夫链的介绍

在计算机学习算法中，马尔科夫链是个很重要的数学模型.因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，且下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.用数学语言表达：随机变量X1，X2，…，Xn为一个数列，这些变量的取值构成的集合，被称为“状态空间”，其中Xn的值表示在时间n的状态，Xn+1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，即

P（Xn+1）=P（Xn+1|X1，X2，X3，…Xn）=P（Xn+1|Xn）.

这种特定类型的“无记忆性”称作马尔科夫性质.

2.1.1赌徒输光问题

高中生要理解马尔科夫链，可以从著名的数学问题——赌徒输光来展开.恰巧2023年杭州二模21题就是以赌徒输光问题为背景，我们不妨先来看看此题：

马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是…，Xt-2，Xt-1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P（Xt+1）=P（Xt+1|…，Xt-2，Xt-1，Xt）=P（Xt+1|Xt）.

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为A（A∈N*，A<B），赌博过程如数轴（图2）所示.

当赌徒手中有n元（0≤n≤B，n∈N）时，最终输光的概率为P（n），请回答下列问题：

（1）请直接写出P（0）与P（B）的数值.

（2）证明{P（n）}是一个等差数列，并写出公差d.

（3）当A=100时，分别计算B=200，B=1000时，P（A）的数值，并结合实际，解释当B→∞时，P（A）的统计含义.

解析（1）我们先来考虑两个极端情况：当赌徒开始的本金为0元时，即一开始就输光了，所以他输光的概率P（0）=1；当赌徒开始的本金为B元时，即一开始就已经赢到目标钱数的状态，赌博结束，所以他输光的概率P（B）=0.

（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元下一场赢的事件，则

P（M）=P（N）P（M|N）+P（N-）P（M|N-），

即P（n）=12P（n+1）+12P（n-1），所以P（n）-P（n-1）=P（n+1）-P（n），所以{P（n）}是一个等差数列.

设P（n）-P（n-1）=d，则P（n-1）-P（n-2）=d，…，P（1）-P（0）=d，累加得P（n）-P（0）=nd，故P（B）-P（0）=Bd，得d=-1B.

（3）由P（n）-P（0）=nd，得P（A）-P（0）=Ad，即P（A）=1-AB.

当B=200，P（A）=50%；当B=1000，P（A）=90%；当B→∞，P（A）→1，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会有100%的概率输光.

近几年一部热门电影《孤注一掷》中，张艺兴饰演的程序员就用马尔科夫链数学模型推演过赌徒必然输光的问题，加上诈骗分子利用赌徒的翻本心理，诱导赌徒借高利贷继续赌，结果只能是马尔科夫链的叠加，借的越多输得越惨.

2.1.2一维随机游走模型

赌徒问题又可以抽象为这样的一个数学问题：

（1）简化为点在数轴上移动；

（2）每次移动都有一定的概率；

（3）下一时刻的位置状态只与上一次的位置状态有关系，可写出概率递推公式；

（4）它最后会停下来，达到一个给定的最终状态.

这个数学问题其实就是一维的随机游走模型，而且两侧有吸收壁.什么是一维随机游走模型呢？该模型是指在一维空间中，即一条直线上，有一个可以任意移动的质点，质点位置只能位于整点处，它能以一定的概率向左或向右移动一个单位长度，每个单位时间移动一次.一维随机游走模型可分为以下三类：

（1）无吸收壁的一维随机游走.

无吸收壁的一维随机游走就是上述一维随机游走的原始定义，没有边界，永远移动，我们会重点研究质点处在某一位置的概率.假设时刻t=0时，点位于x=i（i∈N*）处，下一个时刻，它将以概率α向左移动一个单位，或以概率β向右移动一个单位，其中α∈（0，1），α+β=1.若记状态Xt=i表示：在时刻t该点位于位置x=i（i∈N*），那么由全概率公式可得：

P（Xt+1=i）=P（Xt=i+1）·P（Xt+1=i|Xt=i+1）+P（Xt=i-1）·P（Xt+1=i|Xt=i-1），其中，P（Xt+1=i|Xt=i+1）=α，P（Xt+1=i|Xt=i-1）=β，代入上式可得：P（Xt+1=i）=α·P（Xt=i+1）+β·P（Xt=i-1），若再用Pi表示点在i处的概率，则有

Pi=α·Pi+1+β·Pi-1.①

一维随机游走模型是马尔科夫链的一个特例，无吸收壁的一维随机游走可得概率递推公式①，重点关注的是质点在某一位置的概率.

（2）双侧吸收壁的一维随机游走.

一维随机游走的基础上，如果在位置x=0和x=m处均添加吸收壁，当质点运动到吸收壁位置时会被吸收停止运动，就是上文介绍的赌徒必输问题（m的值对应目标金额B的值）.有了吸收壁，一维空间变得不够自由，原来的无吸收壁的递推公式也不成立了.我们此时研究质点位置概率的意义并不大，转而会对点从x=i处不停随机运动最后被吸收壁吸收的概率感兴趣.

假设初始位置x=i，0<i≤m（i，m∈N），记质点从x=i到吸收壁x=m的概率为Pi，质点将以概率α或β（α∈（0，1），α+β=1）向左或向右移动一个单位.由全概率公式

P（从i到m）=P（向左一步）·P（从i到m|向左一步）+P（向右一步）·P（从i到m|向右一步）代入数据，得递推关系

Pi=α·Pi-1+β·Pi+1.②

以上递推关系是质点每次游走只有向左或向右两种可能的情况，如果质点在每一次游走的可能有如下三种情况：向左平移一个单位的概率为α，向右平移一个单位的概率为β，原地不动的概率为γ，同理可得这样一个递推关系

Pi=α·Pi-1+γ·Pi+β·Pi+1.③

（3）单侧吸收壁的一维随机游走.

在一维随机游走的基础上，从位置x=0处、x=m处仅选择一处添加吸收壁，就是数学中另一个有趣的酒鬼失足问题：一个醉鬼行走在一头是悬崖（设悬崖处于x=0的位置）的道路上，他的初始位置为x=i，向左或向右走一步的概率都是0.5（毕竟喝醉了，随机行动），问他失足掉入悬崖的概率是多少？现实中，醉汉不一定走直线，他的移动可以抽象为在二维空间（用xOy平面直角坐标系研究）上随机游走，那么酒鬼失足问题就是一个简单的二维随机游走问题了.醉汉问题最早于1905年7月由Karl Pearson在《自然》杂志上提出：假如有个醉汉醉得十分严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？大家感兴趣的话可以查阅相关资料研究.

2.2教材中的马尔科夫链

高中数学教材2020年人教A版选择性必修第三册91页第10题：甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率［1］ .

分析n次传球后球在甲的手中，只跟上一次球在不在甲的手中有关，与前面n-2次球在谁的手中无关，属于马尔科夫链问题.

解析记An表示事件“经过n次传球后，球在甲的手中”，设n次传球后球在甲手中的概率为pn（n=1，2，3，…，n），则有p1=0，An=An-1·An+An-1·An，所以pn+1=P（An·An+1+An·An+1）=P（An·An+1）+P（An·An+1）

=P（An）·P（An+1|An）+P（An）·P（An+1|An）=（1-pn）·12+pn·0=12（1-pn），

即pn+1=-12pn+12，n=1，2，3，…，所以pn+1-13=-12（pn-13），且p1-13=-13

所以数列pn-13表示以-13为首项，-12为公比的等比数列，

所以pn-13=-13×（-12）n-1，所以pn=-13×（-12）n-1+13=13［1-（-1）n·12n-1］，

即n次传球后球在甲手中的概率是13［1-（-1）n·12n-1］.

另外，2007年8月第一版的人教A版教材选修4-9“风险与决策”中的第四讲是马尔科夫型决策简介，大家也可以进行查阅与学习.

2.3高考真题、调考题中的马尔科夫链

2019年全国Ⅰ卷21题的药物试验问题、2020年全国Ⅰ卷19题羽毛球比赛问题、2023年新高考Ⅰ卷21题的投篮问题、2023年杭州二模21题的赌徒输光问题、2023年茂名二模的摸球问题等都是马尔科夫链.为何这一类题越来越多的出现了呢？因为新教材引入了全概率公式，而一维马尔科夫链模型可以简单的概括为“全概率公式+数列递推”问题，并且它是人工智能学习的一种非常重要的算法，所以不难理解这一类问题会经常出现在高考真题与热门调考题中了.

3问题的探究与解析

3.1探究

经过对问题的关联与溯源，我们发现只要一个随机过程具有下一状态的概率分布只能由上一状态决定的“无记忆”的性质，它就可以转化为一个马尔科夫链问题，我们就可以利用全概率公式找到状态之间的递推关系，结合数列知识，进一步可以得到随机过程中有关概率的通项公式，从而解决问题.

3.2解析

视角1粒子下一次的位置在几号仓只与上一次小颗粒的位置在几号仓有关，属于马尔科夫链问题，故可先考虑粒子运动到1号仓的可能性，再考虑它从1号仓出去的可能性.

解析1设粒子运动n次后在第1号仓、第2号仓、第3号仓的概率分别为an，bn，cn，n∈N，则有an=13bn-1，bn=13an-1+12cn-1cn=13bn-1，，可推出an+1=518an-1，n≥3.

又a0=1，a1=0，a2=19，得∑+∞i=0ai=1+0+19+0+19×518+…=1+191-518=1513，

所以从1号仓到达容器外的概率为23×1513=1013.

视角2粒子从几号仓出去被捕获，相当于有吸收壁的问题，故可关注粒子出发的位置到最后被特定出口捕获的概率.

解析2设粒子从i号仓出发最终从1号口出去的概率为Pi，则有P1=23+13P2，

P2=13P1+0+13P3P3=12P2，，解得P1=1013.

视角3从粒子总量的角度出发，比较直观.（学生的一种解答）

解析3假设1号仓中开始有总量为1的粒子群进入，并设从1号仓三个通道口出去的粒子数均为x，从2号仓三个通道口出去的粒子数均为y，从3号仓三个通道口出去的粒子数均为z，当试验结束时，有1-3x+y=0，x+z-3y=0，y-2z=0，解得x=513，y=213，z=113.

所以从1号仓出去的粒子为513×2=1013.

4由问题探究到备考的启示

4.1备考站位要有高度

党的二十大报告中强调，要“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才”.拔尖创新人才是新知识的创造者、新领域的开拓者、新技术的发明者，这就不难理解为什么现在的高考真题、调考题经常出现一些“出乎意料”又在“情理之中”的创新题.新定义、高等数学背景等包装的创新题，只是外表多了一个千奇百怪的容器，容器内装的东西才是值得探索的内核.这个内核是什么呢？是“数学核心素养”，确切地说是可以适应高等数学学习的核心素养.教师要明确无论是高中课本知识还是拓展的知识，只是命题的载体，高考考查的核心是运用知识解决问题的能力，其背后体现出的是学生数学思维水平、数学核心素养水平的高低.

4.2内容选择要有广度

2019年全国Ⅰ卷21题的药物试验题、2022年新高考Ⅰ卷20题的疾病与卫生习惯问题、2022年北京铅球比赛、2020年全国Ⅰ卷19题羽毛球比赛问题，以及本文研究的问题都是物理“布朗运动”与数学概率的交叉问题.种种迹象表明国家选拔的人才是学科交叉型人才、复合型人才，所以高考试题注重考查学生运用知识解决问题的能力.本文从马尔科夫链的概念介绍到闻名有趣的数学问题探究，再到抽象本质的数学研究，利于学生多角度的体验、思考同一类问题，总结出解题的规律，发展数学思维.教师可以通过文献阅读、研究调考题等方式大量输入，那么在教学资源选择的时候，就可以从容地找到与生活实际相关、与其他学科融合的情境，并对数学知识进行广泛联系与拓展，帮助学生全方位、多角度地学习与理解.最终达到学生在考试中不怕“生题”，敢于尝试的教学效果.

4.3教学过程要有梯度

能力的培养从来不是一蹴而就的.拿游泳为例，无论是学习哪种泳姿（蛙泳或自由泳），教学第一步都是让学员学会在水中放松身体，拥有漂浮在水面上的能力；第二步是分解练习，教学员分别训练手部动作、脚步动作、换气动作等；下一步让学员练习腿部加换气的配合；最后一步才是加上手部动作的完整配合练习.本文对问题的探究注重难点分解，从易于理解的马尔科夫链概念引入，到有趣的“赌徒问题”探究，再抽象为一维随机游走模型的研究（有无吸收壁问题的讨论），以及推广到二维随机游走的模型，由具体到抽象，理解上由易到难，从而使得问题的解析水到渠成.一道难题的教学需要如此，一类难题的教学更应如此.对于学生理解、掌握有困难的一些知识，或者思维量大、综合性强的一类题目，教师应该深入探索，在高中三年的教学过程中分散难点，有计划、分阶段渗透教学，循序渐进，才能达到培养思维的目的，取得良好的教学效果.

4.4思维培养要有深度

本文的填空题，学生为什么感觉“难入手”，原因在于平常没有将这一类题研究“透”.如果教师以课本传球习题为源，按照上文的梯度顺序，引领学生发现这些问题都是具有下一状态的概率只由上一状态决定的随机过程，抽象成一维随机游走的模型，提炼出“无记忆”的马尔科夫性质，相信深入的探究与挖掘后，数学学科素养落地的同时，学生们对此道调考题自然而然能从视角1或视角2展开思考.

笔者因此受到启发：平常教学中要以知识为元，思考为轴突，建立旧知与新知的联系，像神经元传输信息一样建立起知识网络；总结通性通法，探寻基本解题规律，帮助学生掌握解题的一般套路，形成一定的解题逻辑.学生在学习数学的过程中，形成的解题套路、思考方向就是数学思维得到培养的体现.目前命题的方向是反机械刷题，反套路，其实就是命题者通过一些知识背景使解题的规律隐性化.而考生作为解题者，与命题者的思考恰好是一个相反的过程，所以我们要在平常的教学过程中，培养学生将隐性的解题规律显性化的能力，从而达到化繁为简，化陌生为熟悉的效果.

参考文献

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书·数学·选择性必修A版：第三册[M].北京：人民教育出版社，2020.

作者简介

杨宇（1990—），男，江西东乡人，硕士，中教一级；曾荣获市级优秀援藏教师、区先进班集体、区百优班主任、区优秀青年教师等称号；曾取得“一师一优课，一课一名师”省级优课、全国中小学信息技术创新与实践活动教学优质成果奖；主要研究高中教学与考试方向；发表论文5篇.