立足教材资源开发设计探究性长作业

【摘要】探究性长作业是数学作业的一种重要类型.文章通过深度挖掘多版本教材中的资源，提出了概念应用类、公式证明类、例题延展类、习题变式类、探究活动类的探究性长作业实施方法和示例，为探究性长作业“资源库”的建设提供参考.

【关键词】教材；资源；探究性长作业；示例

1引言

2023年教育部办公厅印发的《基础教育课程教学改革深化行动方案》中提出：“引导教师提高教学设计和作业设计水平，鼓励科学设计探究性作业和实践性作业，探索设计跨学科综合性作业.”普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）（以下简称《标准（2017）》）在教材编写建议中指出：“应开发一些具有应用性、开放性、探究性的问题，解决这样的问题有助于学生数学学科核心素养的提升.”[1]综合以上阐述，可以感受到国家层面对作业设计的高度重视，这为作业设计的研究与实践指明了变革与发展的方向.

探究性作业指训练学生解决结构不良问题、探究新问题从而提高知识创新能力为目标的作业类型[2].探究性长作业指的是一类需要花费较长时间（通常为数天、一周甚至更长）才能完成的探究性作业.此类作业在提升学生数学学科核心素养方面发挥着重要作用，因此如何有效设计探究性长作业成为当前值得研究的课题.2019年出版的各版高中数学教材均是在《标准（2017）》的指导下精心编写的，凝聚了教材编写专家的智慧结晶，并各自展现了特色和风格，对于作业设计具有很高的研究价值和借鉴意义.本文立足教材中的资源，聚焦于平面解析几何这一主题，通过教材中的概念理解、公式推导、例题延展、习题变式、探究活动开展五个方面，以苏教版高中数学教科书为主要参考，就高中数学探究性长作业的设计分享个人的思考，旨在为高中数学探究性长作业“资源库”的建设提供一些参考.

2立足教材的高中数学探究性长作业类型

2.1追求概念深度理解，设计概念应用类探究性长作业

刘绍学先生说过：“数学是自然的，数学是清楚的.”数学概念的起源与发展都是自然的，如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味[3].李邦河院士也讲过：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”

在概念教学中，应重视概念的自然衍生和深入剖析，而“一个定义，三项注意”式的概念课教学现象仍屡见不鲜.以椭圆概念的引入为例，2019年各版高中数学教材都是以细绳情境作为切入点直观引出椭圆的定义.然而，深入研读苏教版教材，会发现编者不仅在细绳实验前融入了生活实例，如用点光源照射一个放在地面上的球体，其在地面上影子的外轮廓线可以是椭圆.此外在本章章首语部分还引入了平面截圆锥形成椭圆的几何情境，以及在习题“探究·拓展”部分，设置了用折纸构造椭圆和利用达·芬奇椭圆仪绘制椭圆的实践方法.这些丰富多样的情境设置，旨在从不同角度加深学生对椭圆定义的理解.教材编者精心选择的这些富有启发性的情境，亟需教师进行整合性研究与探讨.为此，在椭圆的几何性质学习后可以设计一项探究性长作业，鼓励学生利用课余时间，通过自主探索、合作交流，对上述情境进行深入探究，并将研究成果整理成小论文.

案例1 基于定义的椭圆生成问题研究.

作业示例 课本中通过细绳实验，直观引出了椭圆的定义，生活中还有很多椭圆的直观形象和绘制椭圆图象的操作方法，你能结合椭圆的定义对这些问题进行解释吗？通过查阅文献资料、动手实践等方式，对下述现象进行探究，结合定义说明理由，并整理成一篇小论文.

问题1 用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截面与圆锥面的交线是一个圆.改变平面与圆锥轴的夹角，截面与圆锥面的交线可以是椭圆，如图1.查阅资料了解著名的Dandelin双球模型，并解释以上现象.（苏教版《普通高中教科书·数学》（以下简称高中《数学》）选择性必修第一册第80页）

问题2 用点光源照射一个放在地面上的球，调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是椭圆，如图2.你能根据问题1的发现解释问题2吗？（苏教版高中《数学》选择性必修第一册第81页）

问题3 在化学课上，你一定曾注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆形的.阅读人教B版高中《数学》选择性必修第一册第134页的拓展阅读部分，了解其原理.

问题4 准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆周过点F（如图3），然后将纸片展开，就得到一条折痕l.这样继续折下去，得到若干折痕.观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？为什么？（苏教版高中《数学》选择性必修第一册第87页）

问题5 把矩形的各边n等分，如图4连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆上，为什么？（苏教版高中《数学》选择性必修第一册第94页）

问题6 阅读苏教版高中《数学》选择性必修第一册第93页的“探究·拓展”部分，了解达·芬奇椭圆仪的制作方法，并解释其可以用来绘制椭圆的原理.

问题7 你还能发现其它生成椭圆的方法，并结合定义进行解释吗？

设计意图 以上问题均源自教材，利用Dandelin双球模型可以解释问题1至问题3，问题1和2是属于圆锥截面类型，问题3是属于圆柱截面类型.问题4利用中垂线（折痕）的性质，可证得曲线是以点F和圆心为焦点的椭圆.问题5和6通过解析法可以证得轨迹方程为椭圆方程.问题7鼓励学生自主发现问题，并结合定义解决问题.长周期探究性作业为学生深入思考、探究创新、合理表达提供了充足时间，是培养学生数学核心素养不可或缺的重要作业形式.

2.2深挖公式推导证明，设计公式证明类探究性长作业

深度学习是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程[4].深度学习的内容特点是基于问题的多维知识整合，在进行教学内容分析和设计时，需要教师全面地分析教材、深入地挖掘教材、灵活地整合教材[5].

在新授课的定理与公式推导证明过程中，鉴于课时紧张的实际情况，教师往往会直接展示教材中的证明方法，而未能充分地用好教材.从教材内容的编排角度看，针对定理与公式的证明过程，编者往往精选一种或两种证明方法进行阐述，以保持教材的简明扼要、重点突出，但常在定理推导之后精心设置启发性思考题，比如苏教版高中《数学》选择性必修一1.5.2节“点到直线的距离”中，利用等面积法推导出平面上点到直线的距离公式后，立即引出思考：“你还能通过其他途径求点P到直线l的距离吗？”此外，在苏教版教材的后续习题的“探究·拓展”部分以及章末的“问题与探究”中，均提供了丰富的素材，可用于进一步探索点到直线距离公式的不同证法.通过整理这些素材，并结合其他版本教材中的相关内容，教师可以整合形成探究性作业，从而驱动学生深度学习.

案例2 点到直线的距离公式的证明.

作业示例 教材（苏教版高中《数学》选择性必修一）上利用等面积法证明了平面上点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为d=Ax0+By0+CA2+B2.参考下面的素材，你能从其他途径来证明点P到直线l的距离公式吗？请尝试推导证明.

素材1 已知直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）和直线l外一点P0（x0，y0），过点P0且与直线l垂直的直线l′的方程为B（x-x0）-A（y-y0）=0，直线l与l′的交点为P1（x1，y1），则点P0到直线l的距离为

d=|P0P1|=（x1-x0）2+（y1-y0）2.（*）

因为点P1是直线l与l′的交点，所以Ax1+By1+C=0，①B（x1-x0）-A（y1-y0）=0.②

策略1：由①②联立，解出x1，y1，然后代入（*）式，求出d.

策略2：由于d=（x1-x0）2+（y1-y0）2，而①式等价于

A（x1-x0）+B（y1-y0）=-Ax0-By0-C.③将x1-x0，y1-y0看作整体，由②③解出

x1-x0，y1-y0，然后代入（*）式，求出d.

策略3：注意到②③和d=（x1-x0）2+（y1-y0）2的特点，将②式的两边平方与③式的两边平方相加，求出d.（苏教版高中《数学》选择性必修第一册第43页“探究·拓展”第24题，策略3有所修改）

素材2 对于直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0），向量（-B，A）是直线l的一个方向向量，向量（A，B）是直线l的一个法向量.阅读苏教版高中《数学》选择性必修第一册第44—45页，尝试用向量的方法推导：点P0（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离公式.

素材3 由原点O向直线l作垂线ON，垂足为N.设ON=p，ON与x轴正方向所成的角为θ（0≤θ＜2π）.（1）求证：直线l的方程为xcos θ+ysin θ-p=0；（2）利用上面的方程推导点P0（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式.（苏教版高中《数学》选择性必修第一册第49页“探究·拓展”第20题）

素材4 点到直线的距离是该点到直线上任意一点距离的最小值.如果把一个给定点到线段上任意一点的距离的最小值定义为该点到该线段的距离，试求点P0（x0，y0）到直线

l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离公式.（沪教版高中《数学》选择性必修第一册第32页“拓展与思考”第4题的改编）

设计意图 《标准（2017）》对点到直线距离公式的明确要求是探索并掌握平面上点到直线的距离公式，因而教学时要重视公式推导与证明的过程.苏教版教材中通过构造直角三角形，利用等面积法，从几何的角度简化了公式的证明.相比之下，素材1提供了一种自然的代数法视角，它是学生易于想到的解题途径，且其内含的三个策略分别对应运算素养的三级水平，即策略一对应常规运算，策略二对应简化运算，策略三对应整体运算[6].素材1不仅是提升学生运算素养的有效资源，更可直接设计为课后作业，提升学生处理复杂运算的信心.向量作为连接代数和几何的“桥梁”，素材2可借助投影向量或共线向量，为公式的证明开辟了另一番天地.素材3利用直线的法线式方程进行探究.素材4从最小值的视角出发，可通过函数法或柯西不等式来推导距离公式，凸显了不同数学模块之间紧密相连、相互渗透的特点，实现了知识的有效整合与迁移.

2.3 注重例题整合延展，设计例题延展类探究性长作业

例题是数学教科书的重要组成部分，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源，是数学教科书中概念、命题与习题之间的桥梁和纽带.教科书中的例题具有示范引领、揭示方法、介绍新知、巩固新知、思维训练和文化育人的功能[7].课本中例题的编选及其解法的选择，都注重了典型性、代表性和示范性，以达到举一反三的目的[8].

教材中例题的使用不能停留在直接使用，更不能直接不用，应充分思考选编例题的意图，主动剖析例题的功能，深度挖掘例题的外延，以达到“用教材教”而不是“教教材”.同时，可以将同一本教材中例题与课后习题进行整合，也可以将不同教材中的例题进行关联，实现对例题的整合延展，形成探究性长作业，从而促进学生对例题的深度理解.

案例3 椭圆与圆的关联.

作业示例 由苏教版高中《数学》选择性必修一第84页的例3知：将圆x2+y2=4上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，则可求得所得曲线的方程为x24+y2=1，由方程知该曲线是一个椭圆.参考课本例3求解的方法，试探究下面的系列题目.

题目1 将椭圆x24+y216=1上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.（苏教版高中《数学》选择性必修第一册第87页“思考·运用”第12题）

题目2 对于椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），在竖直方向和水平方向分别做怎样的伸缩，可以得到圆x2+y2=1？反过来，对于圆x2+y2=1，在竖直方向和水平方向分别做怎样的伸缩，可以得到椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）？（北师大版高中《数学》选择性必修第一册第60页“问题与思考”的题3改编）

题目3 依据圆和椭圆的关系，能否由圆所具有的相关结论提出一些关于椭圆的猜想？例如，由“直径所对的圆周角为直角，在数量特征上体现为圆上任意一点与任意不经过该点的圆的直径的两个端点的连线的斜率（若斜率存在）乘积为常数-1”，猜想：“椭圆上的任意一点（不包括长轴两个端点）与长轴的两个端点的连线的斜率（若斜率存在）乘积为常数”.写出一个猜想并论述猜想的正确性.（北师大版高中《数学》选择性必修第一册第60页“问题与思考”的题4）

题目4 椭圆可以视为对圆上的点向同一条直径施行伸缩变换而成.运用椭圆与圆之间的这种关系，你能根据圆的面积公式来猜想椭圆的面积公式吗？查阅文献，进一步了解仿射不变性与仿射不变量.（苏教版高中《数学》选择性必修第一册第93页“探究·拓展”第16题的改编）

设计意图 数学家希尔伯特指出“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系”.苏教版课本中的例3利用坐标变换将圆转化成椭圆，利用相关点法就可以得到答案，在教学中教师有时会更多的关注方法的讲解，如会继续补充一些“相关点法”的题目，例如题目1，而忽视了对例题本质的挖掘.一般化是研究问题的基本方法，题目2将特殊问题一般化，旨在激发学生的深度思考，探索例题背后的核心本质.题目3启发学生思考由圆中的不变性猜想出椭圆中的不变性.题目4由圆的面积为πa2=πa×a，将圆水平方向长度不变，竖直方向由a压缩成b，可猜想椭圆的面积为πab.通过查阅文献，了解仿射变换，学生能更好地认识到椭圆与圆的外显和内在关联.

2.4落实习题变式研究，设计习题变式类探究性长作业

《标准（2017）》在教材编写建议中指出，习题是课堂教学内容的巩固和深化，也应当为学生发展数学学科核心素养提供平台[1].人教社A版高中数学教材在主编寄语中提到，书中的习题是精心挑选的，看似不难但寓意深刻，要高度重视.

在作业编制时，教师往往更倾向于从数学学科网站（如组卷网）中选题，往往不用课本中的习题，这无形中忽视了课本习题的功能，有时因为选题的盲目性甚至会增加学生的学习负担.怎样开发利用好课本习题是值得研究的问题，落实习题变式研究，并将其设计成探究性长作业是解决这一问题的有效方法.类比、推广、一般化、逆向思考是研究问题的一般方法，借助这些研究方法，可以生成系列可研究问题，从而实现从会“一道题”到会“一类题”、从“看树木”到“看森林”的转变，实现减负增效.

案例4 课本习题在作业中的进一步探究.

作业示例 苏教版高中《数学》选择性必修一第100页的习题3.2（1）的第5题：在△ABC中，B（-6，0），C（6，0），直线AB，AC的斜率乘积为94，求顶点A的轨迹.

这是课本上的一道习题，请进一步探究以下问题.

①逆向思考：在△ABC中，B（-6，0），C（6，0），若顶点A在曲线x236-y281=1上运动，问直线AB，AC的斜率乘积是否为一定值？

②类比思考：若将原题中直线AB，AC的斜率乘积改为-94，那么顶点A的轨迹是什么？你能写出该问题的逆命题，并判断其真假吗？

③推广思考：在△ABC中，顶点A在曲线M：x236-y281=1上运动，B，C是曲线M上关于原点对称的两点，问直线AB，AC的斜率乘积是否为一定值？

④一般思考：若将问题③中的曲线M一般化，即M：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），且其他条件不变，你能得到什么结论？椭圆中是否有类似的结论？

设计意图 康托尔说过：“在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.”问题①～④通过层层深入的问题，不仅引发学生深度思考，而且启发学生如何提出问题.课本中选这道习题的缘由是基于圆锥曲线的第三定义，即平面内的动点到两定点A1（a，0）和A2（-a，0）的斜率乘积等于e2-1的点的轨迹为椭圆（0＜e＜1）或双曲线（e＞1），通过以上的探究性长作业，学生自然容易理解和接纳圆锥曲线的第三定义.解析几何因其计算量大、思维含量高，通常设置为考试的压轴题，令很多同学望而却步.如果平时的作业能设计一些变式类探究性长作业，在原问题的基础上通过逆向、类比、推广、一般化等思维方法，经历大胆猜想、小心求证的探究过程，必然能增强复杂运算的信心，促进运算素养的提升.

2.5聚焦探究活动开展，设计探究活动类探究性长作业

《标准（2017）》指出数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程[1].数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，应以课题研究的形式开展.

数学建模活动与数学探究活动作为新课程的四大模块之一，是高中数学课程的重要内容，也是增强学生学科核心素养的重要抓手.《课程标准（2017）》指出数学探究活动的开展包括选题、开题、做题、结题四个环节.高中数学新教材（参考国家中小学智慧教育平台）中提供了一些数学探究活动的资源，如苏教版中的“问题与探究”，人教A版中的“探究与发现”，人教B版和北师大版中的“数学探究活动”等，将这些资源进行分类整合，可直接转化成探究性长作业的素材.

案例5 四版新教材中解析几何部分的数学探究活动资源.

设计意图 《标准（2017）》指出数学教育帮助提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界[1].数学探究活动的四环节是提升学生核心素养和关键能力的重要途径：在选题环节可增强学生用数学的眼光观察数学问题，提升发现和提出问题的能力；在做题环节可增强学生用数学的思维思考数学问题，提升分析和解决问题的能力；在开题和结题环节通过报告的撰写和汇报，提升用数学的语言表达问题的能力.从表1可以看出，教科书中直接适用于数学探究活动的素材是少量的，需要将不同版本的教科书中的素材进行整合，同时应积极鼓励学生自主提出富有探究价值的数学问题，从而充实数学探究活动“资源库”.

3结束语

“双减”下的数学作业观应是大作业观、长作业观、协同作业观和文化数学观，发挥作业育人的价值[9].数学探究性长作业需要深入透彻地理解学习材料，同时运用批判性思维进行细致分析与深刻洞察，进而通过精准的语言阐述个人见解.探究性长作业的开展，可以有效引导学生思维向更深层次发展，同时让学生亲身参与并体验这些思维活动，能够显著提升其数学核心素养水平.

数学教材为“教”与“学”活动提供了学习主题、基本线索和具体内容，是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养重要的教学资源[1].立足数学教材中的资源进行统整和开发，应遵循思想性、科学性、针对性、开放性的原则[10].探究性作业是传统数学作业中最欠缺的一个部分，设计概念应用类、公式证明类、例题延展类、习题变式类、探究活动类的探究性长作业是对教材的创造性使用，也是对探究性作业设计的积极探索.鉴于探究性长作业多指向核心素养的较高层次要求，因此在探究性长作业内容的选取上，还需充分考虑学生的个体差异，实施因材施教、因能施教的原则，以确保探究性长作业的有效性和针对性.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订[M].北京：人民教育出版社，2020.5.

［2］喻平.核心素养指向的数学作业设计[J].数学通报，2022，61（05）：1-7，12.

［3］刘绍学.普通高中课程标准实验教科书·数学必修1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2004，5.

[4]郭华.深度学习及其意义[J].课程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.

[5]安富海.促进深度学习的课堂教学策略研究[J].课程·教材·教法，2014，34（11）：57-62.

［6］王强.落实常规重视简化关注整体：例谈数学运算核心素养的培养[J].数学通报，2023，62（03）：19-24.

［7］吴立宝，王富英，秦华.数学教科书例题功能的分析[J].数学通报，2013，52（03）：18-20，23.

［8］冯俊.发挥课本例题习题功效，培养学生数学思维品质[D].南京：南京师范大学，2007：15.

[9]刘权华.“双减”背景下数学教学应有的作业观[J].教学与管理，2021（31）：64-66.

[10]缪培培.教材统整：让数学更加引人入胜：苏教版与美国Harcourt版小学数学教材统整的实践与思考[J].教育观察，2019，8（33）：37-38.

作者简介

王强（1989—），男，江苏泰州人，硕士，中教一级，常州市骨干教师，江苏省卓越教师创新培育计划（2023高中数学）培育对象；研究方向为数学教育.李大伟（1990—），男，江苏盐城人，硕士，中教一级，常州市教坛新秀；研究方向为数学教育.

基金项目

江苏省2023年度教师发展研究重点课题“基于GeoGebra的高中数学探究活动教学研究”（jsfz-d29）；江苏省教育科学“十四五”规划2021年度课题“高统整视角下普通高中大单元作业设计研究”（D/2021/02/179）.