高中数学结构化单元教学课例研究

【摘要】新一轮课程改革注重核心素养导向的课程教学.课堂是落实核心素养导向教学的主要场所，教师是落实核心素养导向教学的行动主体，学生是落实核心素养导向教学的行为客体.需要借助行动研究来把握教与学的内在联系，提炼核心素养导向的教学方法与路径，结构化单元教学课例研究正是基于上述需求应运而生的.

【关键词】高中数学；结构化；单元教学；课例研究

1问题的提出

教育部于2020年进行了普通高中课程修订工作，本次修订的最大特点是制定了学科课程标准，凝炼了学科核心素养.基于学科核心素养的内涵要求，需要教师探索和创新教学方式.考虑到学生数学学科核心素养水平的发展具有阶段性、连续性和整合性的特点，需要教师在设计教学时从整体上关注教学内容逻辑结构，把握学生原有的认知结构.

2数学结构化单元教学内涵

数学是一门结构性很强的学科，从数学教学视角来看，数学结构构成大致如下.

李昌官认为：“数学结构性教学原则即从数学的知识结构和学生的数学认知结构出发设计和组织教学，以完善和发展学生原有认知结构为目的.”[1]张然然认为：“数学结构化教学是指教师从数学知识结构和学生原有的数学认知结构出发，通过问题驱动引导学生利用已有知识和方法，主动参与数学探究过程，建构数学概念、命题等.”[2]二者都强调了以数学知识结构和原有数学认知结构为出发点设计教学，强调结构引领教学的重要性.

《普通高中数学课程标准（2017年版2022年修订）》（以下简称课程标准）明确指出：“重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，促进学科核心素养的落实.”[3]而数学核心素养的成分难以在单个的知识点上表现出来，它往往隐藏在知识体系、知识结构之中[4].笔者认为，数学结构化教学与单元教学密不可分，数学结构化教学应关注知识体系，将数学内容置于单元整体结构中理解，实施数学结构化单元教学.结构化是实施数学单元教学的重要抓手，结构化不仅能厘清单元知识内部的关联，更是联结不同单元知识的“桥梁”，结构化的目的是通过教与学的过程实现数学思维的“可视化”，实现“看得见、摸得着、带得走（核心素养导向的教学）”的学科教学.单元教学是实现知识、方法结构化的重要载体，把具有相同或相似结构的知识以单元的形式关联，进行整体思考和设计，构建单元知识结构、探索研究单元问题的方法结构，促进学生认知结构发展.从单元和整体出发设计教学，比割裂地、零碎地设计教学更有利于数学核心素养的培养，是落实数学核心素养的有效途径.

3数学结构化单元教学实践路径

基于数学结构化单元教学的内涵要求，教学需从数学知识结构和学生的认知结构出发，把数学知识、技能、方法、经验等各要素按照层级结构组成一个融会贯通的整体，分析其逻辑关联，对数学教学进行系统规划.要做到这些，需要教师进行深度教研、合作教研，形成教研合力.近年来，国内一线教学中出现了一种凝聚集体智慧的教研活动——磨课，其形式上是一种教研活动，方法上是一种教学行动研究，实质是一种中式课例研究[5]，其研究的一般模式如下表.

对于数学结构化单元教学而言，课堂是落实教学活动的主要场所，教师是落实教学活动的行动主体，学生是落实教学活动的行为客体.“磨课”研究恰是教师对“课堂”的研究，是教师基于实践情境的反思性研究，其目的是教师“教好书”（学生能够发展）、教师专业在课堂实践中成长（教师能够发展），这恰好达成了促进教学行动主体和行为客体双重发展的目标.因此，“磨课”研究是数学结构化单元教学顺利实施的实践路径[6].

4高中数学结构化单元教学课例研究实践案例

笔者以人教A版（2019年版）普通高中教科书必修第一册第三章3.3节课后“探究与发现：函数y=x+1x的图象与性质”为例，进行结构化单元课例研究实践，利用信息技术手段辅助教学，探索由数学抽象知识可视化到数学思维可视化的一般方法路径.教学过程环节如下.

（一）教学课例研究的初次设计

1.情境引入

问题1：数学情境（一般观念）：本章函数内容学习的一般路径？

教师引导：函数的一般概念：背景—概念—性质—应用.

幂函数：背景—概念—图象与性质—应用.

问题2：现实背景问题中蕴含的函数模型都是已知的初等函数模型吗？

问题情境：如图1所示，在自家院子一侧靠墙（墙的长度为2米）用篱笆围成一个面积为0.5平方米的矩形花圃，设边长AB为x米，篱笆长为y米.

（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域.

（2）当这个矩形边长AB为多少时，所用篱笆最短？

答案预设：（1）y=x+1x（0＜x≤2）.

追问：函数y=x+1x有什么特点？你认为可以从哪些方面研究这个函数？按照怎样的路径研究？

答案预设：函数y=x+1x是由已知函数y=x与y=1x构造而成的.

教学说明：核心素养导向的数学单元教学是基于一般观念指导下的数学学习与探究活动，关注研究一类问题的基本套路与一般路径，注重构建单元知识的整体结构.

2.新知探究

探究过程1：直观感知.

问题3：函数图象的基本构成要素是什么？

答案预设：点.

追问1：从代数的角度如何刻画点？

答案预设：横坐标和纵坐标.

追问2：能否从点的角度利用已知函数y=x与y=1x的图象与性质直观感知函数y=x+1x的图象与性质？

教师引导：在函数y=x与y=1x的图象上，分别任取点B，C，用点B，C的运动变化规律来描述函数y=x+1x的图象上任意点D的运动变化状态.

追问3：从形的角度，可以用点B，C的运动变化规律来描述点D的运动变化状态吗？

答案预设：设点B，C，D在一条与x轴垂直的动直线上，点B，C与点D的位置关系不易确定.

追问4：从数的角度，可以用点B、C的运动变化规律来描述点D的运动变化状态吗？

答案预设：设点B（x，x），C（x，1x），则点D（x，x+1x）在函数y=x+1x的图象上，通过动态演示点D（x，x+1x）的轨迹变化直观感知函数y=x+1x的图象与性质.

问题4：结合前面学习函数的相关知识，我们可以根据点D的运动变化研究函数y=x+1x上的哪些性质？

教师引导：站在单元整体的高度上，用联系的眼光看问题.本章我们学习了函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，这些都是本节课的研究内容.

追问1：如图2所示，从左向右看，随着x的增大，你能探究出哪些性质？

答案预设：yD随xD的变化而变化，可以发现：

函数y=x+1x的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；值域为（-∞，-2］∪［2，+∞）；在（-∞，-1］和［1，+∞）上单调递增，在（-1，0）和（0，1）上单调递减.

追问2：进一步地，可以探究函数y=x+1x的奇偶性吗？

答案预设：作点B，C关于原点的对称点B′（-x，-x），C′（-x，-1x），构造点D′（-x，-x-1x），则点D′与点D关于原点对称，且在函数y=x+1x的图象上，所以函数y=x+1x是奇函数.

追问3：观察点D运动变化的区域，你有什么发现？

答案预设：当x＞0时，点D始终在直线y=x的上方和y轴右侧运动；当x＜0时，点D始终在直线y=x的下方和y轴左侧运动.所以函数y=x+1x的渐近线是y轴和y=x.

探究过程2：图象确认.

利用Geogebra软件画出函数y=x+1x的图象，对探究过程1进行直观确认.如图3所示.

教学说明：

通过信息技术辅助手段将数学思维直观展现，发展学生直观想象素养.引导学生探究研究基本初等函数函数的一般方法，归纳、总结学习一类数学对象的一般套路.

探究过程3：逻辑证明.

对定义域、值域、单调性、奇偶性、渐近线进行演绎证明，限于篇幅，此处过程省略.

教学说明：

经历严谨的演绎证明，发展学生数学抽象核心素养.遵循直观感知→图象确认→逻辑证明这一不断深入的数学认知逻辑过程，学生构建了基于信息技术辅助数学教学的一般路径，形成了完整的数学认知结构.在此基础上，通过整合前面所学函数单元内容，进一步充实数学内容结构和方法结构.

3.新知应用

例1：问题解决：（2）当这个矩形边长AB为多少时，所用篱笆最短？

例2：探究函数y=x+4x的图象与性质.

教学说明：

通过相似问题引导学生动手探究，达到巩固新知，尝试构建解决一类问题的方法结构，完善数学认知结构.

4.课堂小结

（二）磨课思考

课堂教学是一门艺术，课堂教学设计反映了教师对核心素养导向的课程标准理念的领悟，对教科书内容编排的理解，以及对学生学情的把握.教师对课堂教学艺术尽善尽美的追求永无止境.笔者结合课堂学生听课反馈，在本课例原有设计的基础上开展磨课研究，引发了以下思考.

1.教学过程的合理性认知

章建跃博P95GZETJmfHHyvgJxnQy8lHIdPlcJ/UmpOeLZpdQntU=士提出教学要做到“两个过程”的合理性，即数学知识发生发展过程的合理性和学生认知过程的合理性.本节课最大的特征是“探究”，前面设计的利用信息技术工具探究性质的过程，与其理解为“探究”过程，不如理解为“验证”过程更为合理，主观上学生能想到利用信息技术工具探究函数性质吗？客观上学生利用信息技术探究的条件（有无硬件？是否会使用软件？）具备吗？其实以上“探究”过程是存在于教师大脑里的主观认知，是教师强加给学生的过程，实质是教师带领学生的“验证”过程，而非学生关于本节知识的认知，悖离“学生认知过程合理性”理念.其结果是将知识灌输给学生，学生对知识的理解是知其然，不知其所以然，无法将新知融入到已有知识结构中去.从学生的认知视角出发，如何更好地体现“探究”属性、展现“探究”过程？这需要研究学生的数学认知结构，基于学生的数学认知起点，设计本节课的探究过程.

2.构建单元结构的逻辑方法

学生的数学认知结构是由数学知识结构内化而成的.随着数学知识的不断积累，知识间的逻辑关联越发凸显.因此，需要用联系的、整体的眼光来理解新知，将新知置于单元整体结构中考量，思考其在单元中所处的地位，与前面知识是如何承接的，对后续知识的学习有何启发. 南京市秦淮区教师发展研究中心渠东剑老师针对单元教学的情境设计提出了“一线串联通的问题情境”的观点，意指同一个问题情境应反复用于一个单元的知识学习之中，这对于学生理解数学内容本质起到了重要作用.借用这个观点，我们思考函数y=x+1x的由来背景是什么？联系前面学习的基本初等函数，其形成特点有一般规律可循吗？如果把这些问题想透彻、理清楚，对于揭示本节的内容本质能够起到至关重要的作用.本节内容是在学生学习了函数的概念与性质、幂函数后安排的一节探究课，具体要探究哪些内容？按照怎样的路径探究？只要认真思考本单元所学内容及其研究的一般路径、本节内容所处本单元中的位置，这个问题并不难回答.

本节课探究的主要内容是函数y=x+1x的图象与性质，探究顺序如何安排？这需要参考大单元教学中初等函数图象与性质探究的一般方法结构，更要考虑学生的数学认知结构. 教师需要关注学生的认知起点，遵循由已知到未知的探究思路，在把握认知结构的前提下合理设计探究过程，在探究的过程中理清本节内容知识本身的逻辑结构，尝试构建探究未知函数图象与性质的方法结构.

（三）教学课例再设计实践

为落实上述几点磨课思考，笔者对课例进行了有针对性的再设计，并进行课堂实践.

1.基于知识发展路径，合理引入新知

基于知识发生发展过程的合理性理解，从数学内容结构来看，新课的引入应重视新旧知识在内容上的逻辑连贯性，需要构建与新知密切联系的“先行组织者”.从数学方法结构来看，本节课是在一以贯之的函数大情境背景下对研究一类具体函数的一般方法与路径的强化，结合一次函数、二次函数、反比例函数和幂函数的学习路径，顺应学生的认知经验，本节课在引入环节应引导学生思考函数y=x+1x的由来背景.

问题1：初中我们学习了一次函数、二次函数、反比例函数，上节课我们学习了幂函数，请大家思考它们与幂函数有什么联系呢？

教师引导：一次函数、二次函数、反比例函数都是由幂函数与常数经过加减乘除等运算构造而成的.

追问1：更进一步地，如果将两个幂函数进行加减乘除，可以得到新函数吗？比如将y=x和y=1x进行加、减、乘、除，可以得到哪些函数呢？

教师引导：如图5所示.

追问2：对于函数y=x+1x，你认为可以从哪些方面研究这个函数？按照怎样的路径研究？

教师引导：紧扣单元内容结构，类比幂函数的研究内容和研究的一般路径，我们得出本节课的研究内容和研究路径.

研究内容：定义域、值域、奇偶性、单调性、其他性质.

研究路径：背景—概念—图象与性质—应用.

教学说明：

通过选取熟悉的、相关联的数学情境引入，体现知识内容之间的内在关联，遵循知识发展的逻辑结构，凸显研究方法的一致性与延续性，强化研究一类具体函数的方法路径.

2.顺应认知逻辑路径，亲历新知探究

基于学生认知发展过程的合理性理解，教师应站在学生视角“身临其境”地体验知识生成过程，这需要教师从微观视角研究学生的数学认知结构，把握学生的认知起点设计教学.基于此，笔者设计了课前导学环节，借助学案把脉学生认知起点，课中关注单元知识内容编排结构和数形结合思想方法主线结构，顺应学生认知结构设计本节知识探究过程，合理设问、适时提问、及时追问，搭建认知思维“台阶”.

问题2：按照研究路径，我们如何探究函数的图象与性质呢？（展示预习学案，见图6）

教师引导：归纳同学们预习学案所画图象，我们获得本节课的认知起点.

（1）图象的获取方法有描点作图法和利用性质描绘图象的方法.

（2）利用性质描绘图象基本上都结合了幂函数y=x和y=1x的图象与性质进行分析.

（3）由于认知水平的差异，同学们描点的精细程度、性质应用的深入程度有所不同，导致获取的图象之间有差异，其实同学们获取的都是函数的大致图象.

追问1：图象有差异，能否用有差异的图象探究函数性质吗？

教师引导：显然，这是不严谨的.既然无法通过“形”来探究性质，我们还可以怎么做呢？我们不妨转到“数”这条路径上进行探究.

追问2：从“数”的角度看，什么是已知的？

教师引导：由前面分析可知，函数y=x+1x的解析式结构是已知的，可否通过对其解析式进行研究获取部分性质？显然，这是符合我们认知规律的.下面我们来探究函数的定义域、值域、奇偶性（与前面同）.

问题3：由于函数是奇函数，接下来可以怎样研究图象？

预设答案：可以先研究x＞0时的函数图象.

追问1：你能利用函数y=x和y=1x的图象变化趋势，结合定义域、值域说明函数y=x+1x在（0，+∞）上的图象变化趋势吗？

教师引导：当x→0时，y=x+1x→1x→+∞，其图象与y=1x的图象越来越靠近，所以y轴是其渐近线.当x→+∞时，y=x+1x→x→+∞，其图象与y=x的图象越来越靠近，所以y=x也是其渐近线.

追问2：你能画出函数在（0，+∞）上的图象吗？

答案预设：如图7所示.

追问3：结合奇偶性，你能画出整个定义域上的函数图象吗？

答案预设：如图8所示.

追问4：观察图象可以获得函数的单调性吗？由图象得到的单调性严谨吗？你能严格证明吗？

问题4：请尝试借助信息技术辅助工具设计一个用y=x和y=1x的图象叠加演示y=x+1x的图象的方案.观察你画的图象与信息技术生成的图象一致吗？

教师引导：具体演示如图3.

例题：略（同前面所述）.

教学说明：

通过对学生认知起点的把握，按照定义域→值域→奇偶性→渐近线→图象→单调性的认知顺序实施教学，符合结构化单元教学的逻辑合理性的要求，完善了单元数学知识结构和数学认知结构.

3.回归单元方法路径，重构新知结构

数学教学应关注单元内容内在的逻辑结构，提炼数学内容发生、发展的一般方法与路径，凸显数学方法结构.

（1）数学内容结构构建.

（2）数学方法结构归纳.

①通过已知函数的运算构造新函数是学习、研究函数的一种重要方法；

②对新函数图象与性质的研究应建立在已有认知结构的基础上，其研究的一般思路是由已知到未知，研究的一般方法是性质与图象的交互探究、数与形的双向奔赴.

教学说明：

站在单元整体的高度上，重构数学内容结构，凸显方法的普适性，构建函数单元学习的一般方法路径.

5实践思考

基于结构化单元教学，要求教师专于课标理念研究、钻研与挖掘教科书、探求“教”的结构化路径，善于研究学生认知，站在学生的视角把握学生认知思维特点，探求“学”的结构化路径.教师应站在整体和结构的高度把握和处理教材，关注同一主线知识发展的逻辑顺序，关注不同主线知识之间的逻辑关联，关注不同知识所蕴含的通性通法、数学思想以及核心素养.教学过程中善于合理设置课堂问题，提出“先行组织者”，采用追问的形式，暴露学生的思维误区，确定认知起点，以原有认知结构为基础构建新课知识结构，发展学生的数学认知结构.教学要善于从整体入手，促成知识、方法的迁移，完善数学认知结构.

参考文献

[1]李昌官.试论数学教学的结构性原则[J].课程·教材·教法，2002（05）：35-37.

[2]张然然，陈静安，杨彩如.结构化教学视域下数学师范生教学能力的培养[J].广东第二师范学院学报，2023（05）：41-53.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年修订2020年修订[M].北京：人民教育出版社，2020：4.

[4]喻平.数学单元结构教学的四种模式[J].数学通报，2020（05）：1-8.

[5]杨玉东.从中式课例研究看上海数学教师的专业学习[J].中国教育学刊，2019（11）：6-11.

[6]刘守文.结构化统领的高中数学单元教学探索[J].教学与管理，2024（08）：39-42.

作者简介

刘守文（1983—），男，安徽合肥人，硕士，中学数学高级教师，合肥市高中数学学科带头人；主要从事中学数学教学研究；发表论文10余篇.

王世朋（1982—），男，安徽合肥人，硕士，中学高级教师；合肥市高中数学学科带头人，人教社教材专家，合肥市高中数学侯曙明、蒲荣飞教育名师工作室核心成员，合肥市高中数学优质课比赛一等奖，合肥市中小学教学竞赛一等奖；主要研究中学数学教学、信息化辅助教学；主持和参与省市课题5项；发表论文 20余篇．

基金项目

安徽省教育科学研究项目“‘结构化’统领的高中数学单元教学案例研究”（JK23084）.