在几何图形教学中培养学生推理能力的策略

摘要：几何图形教学中蕴含着归纳推理和类比推理的素材。教学时，教师可以引导学生在认真观察图形的基础上，经历从个别到一般的思考过程，凭借观察所获得的经验和直觉，通过归纳的方式获得图形的特征，发展学生的推理能力，培养数学核心素养。

关键词：小学数学；圆的面积；数学核心素养；推理能力

《义务教育数学课程标准（2022版）》（以下通称“新课标”）指出，小学阶段的数学核心素养主要表现为：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识。在核心素养观念下，教师应探索如何培养学生的推理能力，发展学生的思维。根据新课标指出的“学生的学习是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式”这一基本理念，笔者着重思考以下两个问题：推理的本质是什么？怎样培养学生的推理能力？

一、以实际应用为背景创设推理情境

数学核心素养要求学生会用数学的思维思考现实世界。在数学核心素养的主要表现中，推理能力是一种非常重要的能力，推理可以分为合情推理和演绎推理两种。合情推理是从已经存在的事实中，根据自己的经验和直觉，用归纳或类比来进行推论的一种思维方法，通常分为归纳推理和类比推理两种。演绎推理是由已有的事实或已知的命题，并由法则推导出结论的一种思维方法。合情推理不一定是对的，但往往是有创意的。所以，在数学发展的进程中，往往是先从合情推理中得出猜想，然后再用演绎推理来验证结论，这两种方法相互补充，在数学的学习进程以及培养学生的数学思维方面都有着无可替代的作用。在小学阶段，学生在对数学问题进行观察与思考后，较多地运用合情推理解决问题。

推理意识的形成是学习思考的重要体现，它可以帮助学生养成说理、组织等思维方式，提升交际能力，为推理能力的形成奠定实践基础。而推理意识则是对逻辑推理过程和含义的初步认识。下面，笔者以北师大版小学数学教材六年级上册“圆的面积”为例，谈谈如何提升学生的推理能力，培养数学核心素养。

“圆的面积”是在学生认识了圆的特征、学会了圆周长的计算以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。学生已经学过三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形等图形的面积计算；知道利用剪、拼、移的方法，研究图形之间的关系，从而推导出公式，并渗透转化的数学思想。但是，像圆这样曲线图形的面积计算，学生还是第一次接触到，接受起来会有一定的难度。所以，本节课教师应引导学生处理好曲线平面图形与直线平面图形的关系，把曲线平面图形转化成直线平面图形，从而推导出圆的面积计算公式。这其中的设计理念是让学生通过详细的实践操作，与课件的直观展示相结合，通过提问、解决问题、合作探索、进行转换的实验，来提高学习兴趣，提升课堂教学的效率。设计思路是以求圆的面积公式为主线，充分利用课件的优点，使学生在原有的数学方法和数学思想的基础上，借助事先准备好的学具，经过几次例外的移拼，将改变了形状而面积不变的图形进行对比，把圆的面积转换为已学过的平面图形来计算面积，进而推导出圆的面积的计算公式。

本节课一开始，教师课件演示了“工人叔叔给圆形花坛铺草坪”的情境图，其目的有两个：一是对圆的面积概念的初步认识，让学生明确——这个圆形草坪所占平面的大小，叫作这个草坪的占地面积；二是从工人叔叔所提出的问题中引出圆形花坛面积的计算，让学生感悟要学习的内容与身边生活息息相关，从而为后面的学习创设推理情境。

二、以学习任务为依托创设推理空间

【学习任务1】采用格子计数法培养学生计算图形面积的能力

格子计数法是指把要求计算出面积的圆放置在方格纸上，由圆在方格纸上所占的小格数量来求出圆的面积。格子计数法主要是以直观的方式呈现，它在代数领域中运用了直观的教学方法，在几何图形的面积计算中，把复杂的曲线图形的面积计算以一种直观、简便的方式进行，可以提高学生的学习效率。在方格纸上，每个小方格的面积是一个单位。计算圆形的面积时，用圆形在方格纸上所占格数来表示。但在计算时，因为圆形是一种曲线形状，它的边缘并不能完全覆盖整个小格，因此，在应用格点计算时，需要把不完全的边所占的小格合理地连接起来，从而达到计算小格的目的。

【学习任务2】运用极限理论构建学生的空间感

在指导学生正确认识圆的面积的过程中，极限理论起着重要作用。在运用极限理论时，需要学生具备一定的空间构建能力，需要在其头脑中对思维对象进行无限放大、缩小或无限分段的想象。当利用极限理论来计算圆形的面积时，学生通过连接圆形的每个边点和圆形中心，得到了许多相同尺寸的扇形；将这个圆形无限地分割开来，被无限划分之后的每个扇形的边缘都会被近似地看作是一条直线，并且将被分割后的两个扇面拼接成一个大致的长方形。最后，没有分割的大长方形，其长度几乎等于圆的一半，而大的长方形的宽度则与圆的半径相等。将极限理论运用于圆面积计算公式的演进中，可以帮助学生建立起良好的空间观念，使学生的整体数学能力得到全面提升，促进数学核心素养的发展。

【学习任务3】转化思想，锻炼学生的推理能力和思维转换能力

在利用极限思维的基础上，学生应该具有转化的思维：把圆转化为多个扇形。在扇面的拼接过程中，把圆面积的计算转化为拼接成的大长方形的面积的计算，在掌握了长方形的面积的计算之后，就可以推导出圆面积的计算公式。在推理的过程中，把圆的面积的计算转化为长方形的面积的计算，还可以提升学生的推理能力和思维转化能力。

三、以学生活动为渠道习得推理方法

一是归纳推理。归纳推理指的是从个别到一般的推理方法。在“圆的面积”的推导中，在学生明确了圆的面积的意义基础上，教师可以让学生在纸上用圆规画一个圆把它剪下来。学生互相观察不同大小的圆及其对应的面积，尝试找出圆面积与某些几何量（如直径、半径）之间的关系。学生通过多次实践活动归纳出圆的面积与直径和半径的大小有关，这是推导面积公式前的重要一步。

二是类比推理。类比推理指的是当两个或两类对象间具有某些相同或相似的属性时，可推出它们在其他方面也具备相同或相似的属性。在教学“圆的面积”时，有的学生先把一个圆四等分，用半径做边长画一个正方形，这个正方形的面积可以用r2表示；在这个圆上可以画同样的四个正方形，它们的面积可以用4r2表示；再在圆内画一个最大的正方形，这个正方形由四个同样大小的三角形组成，每个三角形面积是[12]r2，四个三角形总面积就是2r2。由于圆在这两个正方形中间，所以学生猜测圆的面积大于2r2 而小于4r2。通过这样的猜想，学生的合情推理能力得到很大提升（如图1）。

三是极限思想和转化思想。接下来，教师让学生动手验证以上的猜想。学生根据学习提示展开活动，把圆分成若干等份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的小纸片拼一拼，看看能发现什么（如图2）。

有的学生把圆平均分成8份，用剪下来的图形拼成了一个近似的平行四边形，认为求出了平行四边形的面积就能求出圆的面积了。还有的学生把圆平均分成了16份、32份或48份，他们拼成的也都是近似的平行四边形。而且，当把圆平均分成了32份时，拼成的图形就接近长方形了。接着，教师用投影演示，把圆平均分成64份，128份再拼。这时，学生发现：当把圆等分的份数越多，每一份拼成的图形就会越接近于长方形，当等分的份数达到无限时，即把圆平均分成无数份时，拼成的图形就无限接近长方形了。这一过程展示了从有限到无限、从近似到精确的数学思想，这对于理解圆面积的本质具有重要意义。教师进一步总结：这些作品都是把圆平均分成若干个小扇形进行拼组，无论拼成的是近似的平行四边形还是近似的长方形，都是将圆转化为学过的图形求面积，把没学过的图形转化为已学过的图形，将曲线图形转化为近似的直线图形，这就是转化。

转化是数学学习中常用的数学思想方法。教师让学生找出拼成的图形和圆之间有什么关系，试着推导出圆的面积计算公式。这种转化的方法不仅简化了问题，也促进了学生空间想象能力和创新思维的发展。

几何直观与代数运算的结合，促使学生通过几何图形直观感知了圆的面积，同时利用代数表达式进行了精确的计算和推导。到这里，学生已经知道了圆的面积计算公式是：S = πr2，并且验证了之前猜测的圆的面积在2r2和4r2之间是对的，因为π可以取近似值3.14。接下来，教师让学生就用所学知识来解决之前圆形草坪的面积的问题：圆形草坪的直径是20米，每平方米草皮8元，铺满这个草坪需要多少元？圆的面积S = πr2，所以要求出这个圆形草坪的半径为20 ÷ 2 = 10米。接着，利用公式得出3.14 × 102 = 314平方米，求出了圆形草坪的面积。最后，得出314 × 8 = 2512（元）。

总之，这些推理方法的运用不仅帮助学生掌握了圆的面积的计算公式，更促进了其推理能力的发展，为其后续的数学学习奠定了坚实的基础。

参考文献：

［1］曹洪辉.激趣 育情 变活 求实 延伸：构建小学数学“五字”课堂落实学生核心素养的认识与实践［J］.小学数学教师，2021（4）.

［2］林玉芬.关注计算思维养成 培育数学核心素养：“异分母分数加减法”的教学思考与实践［J］.辽宁教育，2024（9）.

（责任编辑：杨强）