核心素养背景下的初中数学单元整体学习内容统整与实践

摘要：在对单元整体学习内容进行统整时，教师要注重体现数学知识之间的内在逻辑联系以及学习内容与核心素养表现的关联。以“平方差公式几何意义的探索”一课为例，教师可从“深度挖掘学习内容，厘清数学核心素养培养起点；精准定位教学目标，指向数学核心素养培养终点；整体设计教学过程，突出数学核心素养培养关键点”三个方面入手，统整单元学习内容，培养学生的数学核心素养。

关键词：单元整体教学；平方差公式；几何意义；数学核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）对全面推进数学核心素养落地进行了重点要求，其中重视单元整体教学设计是有效途径之一。“平方差公式几何意义的探索”是入选2023年教育部精品课的数学实验课之一，是人教版初中数学教材八年级上册“平方差公式”内容的一部分。本课的教学强调用几何手段验证代数公式，建立数形联系，其中“几何意义”倾向于将代数式定义为几何对象，利用代数式的等量关系构建图形的等量关系来进行验证。在统整和实践“平方差公式几何意义的探索”单元整体学习内容时，教师可从“深度挖掘学习内容，厘清数学核心素养培养起点；精准定位教学目标，指向数学核心素养培养终点；整体设计教学过程，突出数学核心素养培养关键点”三个方面入手，培养学生的数学核心素养。

一、深度挖掘学习内容，厘清数学核心素养培养起点

教师的视野决定了课堂设计的深度和广度。教师需要在新课标的指导下深入地研究单元整体学习内容。教师对单元整体学习内容的解析可以从“横向”与“纵向”两个方面进行，其中，“横向”是指与其他学习领域之间的关联，“纵向”是指对学生以前学习内容的升华和对后续学习内容以及对学生数学核心素养培养价值的解析，由此可以确定课堂教学重点。平方差公式的几何意义是借助几何直观解决公式验证，而“几何直观需要借助几何课程的系统学习，更多的是后天习得的结果”，为此，数学核心素养的培养是一个漫长的过程，其中对学生后期学习能力的培养是至关重要的。

平方差公式是初中数学“数与代数”领域“数与式”中的重要内容，是整式乘法运算的延续和优化。学生经历大量多项式乘多项式运算之后，会发现满足某些结构特征的多项式乘法是可以用平方差公式简化计算的。同时，平方差公式也是后续因式分解、分式化简的核心内容，更是代数推理的手段和工具。

在中学阶段，数形结合是建立“数”与“形”之间联系的重要思想方法，平方差公式的几何意义是学生继学习绝对值的几何意义之后，再一次对数形结合思想的深刻感悟。由平方差公式到几何图形验证公式是从“数”到“形”的过程，通过构建数学问题的直观模型，突出几何直观的核心立意。由几何图形辅助得到平方差公式是从“形”到“数”的过程，具体通过实物剪裁、拼接，根据面积恒等式得到平方差公式。

基于以上分析，笔者确定教学重点为：平方差公式几何意义的探索过程。

二、精准定位教学目标，指向数学核心素养培养终点

新课标中的课程目标是学生初中阶段学习三年之后最终要达到的学习目标；教师参考用书中的目标是本章的单元目标，而教师根据每节学习内容确定的目标才是教学目标。新课程改革以来，过程性目标逐渐被广大教师所重视，关注知识生成与发展的过程，培养学生动手能力，让学生主动发现问题、提出问题已经被教师广泛认可。在教学中，教师可分析学生知识和思维的障碍之处，从而确定教学目标。

【教学目标】（1）了解公式的几何背景；（2）能用几何方法验证平方差公式。

【目标解析】达成教学目标（1）的标志是：知道通过面积可以验证平方差公式。达成教学目标（2）的标志是：以绝对值的几何意义唤起学生回忆，让学生经历尺规作图得到线段和差的过程，体会到数形结合是研究“数”与“形”的重要思想方法；经历正方形纸片的剪裁和拼接过程，能用不同的方法验证平方差公式，感悟平方差公式几何意义的本质是借助几何直观来深化学生对数形结合思想的理解。

【教学问题诊断分析】学生在经历从整式乘法到平方差公式的归纳过程后，能识别公式特征并进行合理计算。但是，对于平方差公式的几何意义，学生想不到的是怎样从图形角度验证公式，想不通的是为什么要从图形角度验证公式，这些归根到底是对数形结合思想的理解不够透彻。如何借助几何图形验证平方差公式是学生思维上的难点，即使有绝对值的几何意义作铺垫，学生也很难顺理成章地想到平方差公式的几何意义。为此，本节课的教学难点是：利用科学合理的几何方法验证平方差公式。

三、整体设计教学过程，突出数学核心素养培养关键点

教学过程是教师与学生积极合作、共同进步的过程，是学生接受数学知识、培养数学能力、拓展数学思维的过程，是培养数学核心素养的直接载体。精细的教学过程要能体现单元整体教学架构，创设能引发学生思考的问题情境，设计真实可靠的探究活动，让学生在学习过程中逐渐培养数学核心素养。

（一）整体架构，引入几何意义，渗透数形结合思想

【问题1】我们学过的哪些代数式是有几何意义的，你能举例说明吗？

【师生活动】教师提问，给学生充分的独立思考时间，学生在小组内交流想法，然后回答。

【追问】[3-2]的几何意义是什么？[a-1]的几何意义是什么？

【师生活动】 教师提问，学生思考并回答。

【设计意图】通过问题1，教师引导学生建立思维框架，梳理常见的代数式几何意义，通过对绝对值的几何意义的再回顾，厘清[a]的几何意义是“数轴上表示数a的点到原点的距离”，加深对几何意义的理解与思考，初步体会数形结合思想。

【问题2】如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，a），以OA和OB为边在第一象限内作正方形OACB，若正方形的面积为3，则点C的坐标为__________。

【师生活动】教师出示问题，学生独立回答。

【设计意图】学生从问题1中数轴上两点间的距离过渡到平面直角坐标系中正方形的面积问题，得到代数式a2的几何意义：可以看成边长为a的正方形面积。学生从中体会从一维到二维的变化，第二次体会数形结合思想。

【问题3】已知线段a，b（如图2）。请借助直尺和圆规按要求作图。（不写作法，保留作图痕迹）

（1）作出线段AB，使AB = a + b；

（2）作出矩形ABCD，使矩形ABCD的面积等于a（a + b）。

【师生活动】学生利用直尺和圆规作图，教师巡视，发现学生问题，指导学生作图。

【设计意图】学生通过尺规作图，体会到代数式a + b与线段和差的关系，代数式 （a + b）2与正方形面积的关系，第三次渗透数形结合思想，建立“数”与“形”的联系。

（二）创设情境，探究平方差公式的几何意义

【问题4】从前有个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植。第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应说：“好吧。”回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊。你知道张老汉是否吃亏了吗？请你画出正方形土地变化前后的草图，通过计算说明理由。

【师生活动】学生阅读问题，思考并绘制草图，通过建立数学模型，推理计算进行说明。

【设计意图】从实际问题出发，激发学生学习兴趣的同时，又能为说明平方差的几何意义作好铺垫。从代数式的角度思考“是否吃亏”问题（即大小关系问题），学生可以从图形简拼说明前后面积大小。

【问题5】若将问题4中的“一边减少5米，相邻的另一边增加5米”改为“一边减少b米，相邻的另一边增加b米”。

（1）请你借助手中的边长分别为a或b的正方形卡片（a > b）（如图3），通过剪裁、拼接等方式，从代数推理和几何意义两个角度猜想并求出（a + b）（a - b）的结果；

（2）在（1）的条件下，请你用其他方法验证平方差公式（a + b）（a - b） = a2 - b2。

【师生活动】学生先自己画出验证草图，再用提前准备好的卡片，结合问题4的提示进行简拼，验证公式，教师参与小组活动，与学生交流合作。

【设计意图】题（1）是将问题4中的特殊推广为一般，借助问题4的几何图形架构出（a + b）和（a - b）的几何模型，凸显几何直观；题（2）从公式等号左、右两边思考拼接的方法，一方面，学生可以通过将（a + b）和（a - b）作为长方形边长进行拼接；另一方面，通过a2 - b2进行拼接，学生可以将边长为b的正方形放到边长为a的正方形“一角”或者“内部”，再进行直接计算或者简拼并完成证明。这样，学生经历动手操作、几何直观计算验证的过程，从“数”和“形”两个角度理解公式，再次感悟平方差公式的几何意义。

【追问】事实上，我们今天的验证方法受到了给定大小不等的正方形的限制，是否还有其他证明方法呢？请看下面方法。

如图4，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点， CD⊥AB，垂足为D，若OA = OB = OC = a，OD = b，则AD = a + b，BD = a - b，根据∆ACD ∽ ∆CBD，所以CD2 = AD·BD=（a + b）（a - b）。

在Rt∆OCD中，∠ODC = 90°，CD2 = OC2 - OD2，所以（a + b）（a - b） = a2 - b2。

【设计意图】平方差公式几何意义的核心是数形结合，而“形”的选择与组织应该是宽泛的。教师可为学生介绍一种非正方形背景的验证方法，超越教材，开阔学生思维，让学生更加深刻地体会到数学是真实的。

（三）拓展应用，借助数形结合解决问题

【问题背景】在问题4的背景下，张老汉经过测量，发现原正方形土地边长为15米。

【问题解决】如图5，张老汉准备在田埂上找一个位置P，使点P到A，B的距离和最小，求此时的最短距离。

【问题拓展】根据以上启示，已知函数[y=152+x2+（10-x）2+52]，当自变量x为何值时，函数y有最小值？

【师生活动】学生独立思考，小组合作交流讨论，通过作图研究解决问题方案。

【设计意图】在问题4的背景下，教师强化题目条件，将正方形的边长修改为15，让学生确定几何图形形状。“问题解决”中从特殊位置出发，从“形”到“数”，利用“两点之间线段最短”和勾股定理相关内容进行计算研究，得出结论；问题拓展从“数”到“形”，引导学生将代数式[152+x2]和[（10-x）2+52]的几何意义——求设定为边长为15和x、边长为（10 - x）和5的直角三角形的斜边长，使学生再次感悟数形结合对解决问题的重要性，理解其本质就是借助“问题解决”中的“形”解决问题。

【作业设计】

1.请运用几何方法研究归纳：哪些一元二次方程可以用与上述类似的方法构造出符合一个正根的正方形？（用适当的卡片进行拼接，画出图形）

2.开放性作业：请同学们课后去搜集数形结合的习题以及从几何角度验证代数式的案例，在下一节数学活动课上进行交流。

【设计意图】开放性作业不仅有利于激发学生练习的兴趣，巩固课堂知识，还有利于促进学生对于数形结合的理解与应用。

在初中阶段，数形结合已经成为学生数学学习与问题解决的基本工具，也是培养学生几何直观的重要途径之一。事实上，数形结合具有不可替代性。当教师把知识纵向联系之后，单元教学的架构思路就自然而然地体现，按照该思路实施教学，学生的数学核心素养也能得到提升。

参考文献 ：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］鲍建生，章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之三：几何直观［J］.中国数学教育，2022（Z3）.

（责任编辑：杨强）