罗士琳与勾股数

清代中期，乾嘉学派对传统算学典籍文献进行了许多发掘与整理工作，其宗旨是“兴复古学、昌明中法”，目的是复兴和发展传统算学。继吴派、皖派之后，以阮元为代表的扬州学派崛起，有一批学者与阮元亦师亦友，或为弟子和门生，其中有数学家罗士琳、焦循等。

罗士琳（1784—1853），清代扬州府甘泉人，除了具备深厚的国学基础外，他也是一位中国数学史的研究学者。《清史稿·卷五百七·列传·卷二百九十四·畴人二》（编者注：“畴人”指的是算学家）曾有传：“罗士琳，字茗香，甘泉人。以监生循例贡太学，尝考取天文生……少治经，从其舅江都秦太史恩复受举业，已乃弃去，专力步算，博览畴人书，日夕研求数年。”他的舅父秦恩复是藏书家、校勘学家，扬州人，乾隆五十二年（1787年）进士。

令人称奇的是，罗士琳对勾股定理进行了系统的研究，并提出了推算勾股数的公式，现在被称为“罗士琳法则”：（1）任取正整数m和n（mgt;n），那么m、n的平方和，m、n的平方差，m、n之积的两倍是一组勾股数。

（2）如果k是大于1的奇数，那么 k，k的平方减1的差除以2，k的平方加1的和除以2是一组勾股数。

（3）如果k是大于2的偶数，那么 k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数。

（4）如果 a、b、c是一组勾股数，n是正整数，那么na、nb、nc也是一组勾股数。

我们分别对以上四个法则进行证明：

（1）已知：m和n（mgt;n）为任意两个正整数。

求证：m、n的平方和，m、n的平方差，m、n之积的两倍是一组勾股数。

证明：这三个数分别为m2+n2，m2-n2，2mn。

因为mgt;n，所以m2+n2gt;2mn，m2+n2gt;m2-n2，若三者为勾股数，则m2+n2为弦长。

计算（m2-n2）2+（2mn）2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2，由此得证。

（2）已知：k是大于1的奇数。

求证：k，k的平方减1的差除以2，k的平方加1的和除以2是一组勾股数。

证明：这三个数分别为k，

[k2-12]，[k2+12]。

因为k是大于1的奇数，所以k≥3，所以[k2+12]gt;[k2-12]，[k2+12]≥[3k+12]gt;

[32]kgt;k，若三者为勾股数，则[k2+12]为弦长。

计算[k2-122]+k2=[k4-2k2+14]+k2=[k4+2k2+14]=[k2+122]，由此得证。

（3）已知：k是大于2的偶数。

求证：k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数。

证明：这三个数分别为k，[k22]-1，[k22]+1，因为k是大于2的偶数，所以[k2]≥2，所以[k22]+1gt;[k22]-1，[k22]+1≥2·[k2]+1=k+1gt;k，若三者为勾股数，则[k22]+1为弦长。

计算[k22-12]+k2=[k24-12]+k2=[k416]-[12]k2+1+k2=[k416]+[12]k2+1=[k24+12]=[k22+12]，由此得证。

（4）已知：a、b、c是一组勾股数，n是正整数。

求证：na、nb、nc 也是一组勾股数。

证明：因为a、b、c 是一组勾股数，不妨设c最大，因为n是正整数，所以na，nb，nc中nc最大，根据勾股定理，则有c2=a2+b2，而（na）2+（nb）2=n2a2+n2b2=n2（a2+b2）=n2c2=（nc）2，由此得证。

（作者单位：江苏省南京市鼓楼实验中学）