东、西方数学的碰撞

景丽敏

【摘要】在人教B版的数学教材中，必修3的第一章向我们介绍了中国古代数学中的算法案例。这几个案例让我们认识到在计算机科学迅速发展的今天，东方的“算学”越来越多的呈现在世人的面前。与此同时，人们不得不承认进入计算机时代，东方的“算学”恰好是符合时代要求的。他是这个时代最适合的，也是最现代的数学。自此，东方数学渐渐的走出了西方数学（现代数学）的阴影，走到了人们的面前。本文试图以刘徽割圆术和阿基米德的抛物弓形求积法为例来比较分析东西方数学的异同点。全文分为三部分，首先介绍刘徽割圆术，然后介绍阿基米德及物弓形求积法，最后将以二者为例对东、西方的数学做以对比和分析。

【关键词】算学 刘徽 割圆术 阿基米德 抛物弓形求积法 算法

【中图分类号】G52 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）03-0138-01

本文将分别介绍我国伟大数学家刘徽的割圆术和古希腊的“数学之神”阿基米德的抛物弓形求积法。以二者为例来比较分析东、西方数学的区别和联系。下面将先对刘徽割圆术做个简单的介绍。

1.刘徽割圆术

如图一，设BC为圆内接正n变形的一个边。平分BC弧于A，则BA，AC均为圆内接正2n边形的一边。半径OA与BC接于Q。在原内接正多边形任一边BC之外，尚有余出的一段AQ，AQ称为“余经”。在直角三角形OQC中OC为直径，CQ为圆内接正n边形边长的一半。故可据勾股定理求出OQ，OQ=■。于是，余经AQ亦可求。AQ=OA-OQ。在直角三角形AQC中，又可按勾股定理求出AC，AC=■，AC就是圆内接正2n边形的边长。每次把边数加倍，仿此推算，利用这种循环的算法，刘徽求出了圆内接正96边形的边长。又因为OA×BC等于四边形OBAC面积的2倍。而圆内接正2n边形的面积等于■·DA·BC。

由此可见，据圆内接正n边形的边长和圆的半径，即可求出圆内接正2n边形的边长和面积。这个割圆过程能连续不断地连续做下去。又BC×AQ即为以BC为底，AQ为高形成的长方形面积，有一部分在BC弧外。然而，当无限等分圆周使内接正多边形与圆相合时，余经消失，弧外部分的面积便为零。设S为圆面积，Sn表示圆内接正n边形面积，S2n为圆内接正2n边形的面积。则

n·BC×AQ=2（S2n-Sn）

Sn+2（S2n-Sn）=S2n+（S2n-Sn）>S

即 S2n

式中（S2n-Sn）称为“差幂”。当n很大时，差幂就很小，因而S2n很接近S。当n无穷大时，（S2n？邺Sn）就是无穷小（趋近于零）。所以S2n接近于S。刘徽从圆内接正六边形算起，相继推算出正192边形的面积S192=314.■方寸。由于圆半径等于单位长，为了计算方便，可以舍去S192中分数部分就不难推算出圆周率π=3.14。刘徽得到π的值是3.1416.

2. 阿基米德抛物弓形求积法

如图（二），设QPq是弓形，并设PV是直径，它平分弓形中所有平行与底边Qq的弦。因而V是Qq的中点，从直观上显然可以看出，并在前面的命题中证明：P处的切线平行于Qq，其次作QR及qS平行于PV。于是三角形QPq是平行四边形QRSq的一半。所以三角形QPq大于抛物弓形的一半。所以三角形QPq大于抛物弓形的一半。

作为这个定理的一个推论，阿基米德证明抛物弓形可用一个多边形任意接近。若在PQ所割出的弓形里（其中P1，V1是该弓形的直径）作一三角形后，可用简单的几何证明：三角形PP1Q的面积=（1/8）三角形PQq的面积。因此，三角形PP1Q和作在Pq上的三角形PP′1Q（它也有三角形PP1Q那样的性质）合在一起是三角形PQq的1/4；而且根据上一段的结果，这两个较小三角形填满所在的抛物弓形的一半以上。在新弦Q P1，P1P，P P′1和P′1q上作三角形的过程可以继续下去。就是说，现在可以说，抛物线弓形可用这样的多边形面积来逼近。他是在原来的三角形PQq上加添一系列三角形而得到的。

即可以用面积：

△PQq+（1/4）△PQq+（1/6）△PQq+…+ （★）

中取有限项来逼近；换言之，弓形（★）式中取有限项之和的差可以弄的比任何预先指定的量小。设

A1=△PQq，A2=■△PQq，A3=■△PQq，…，An=■△PQq

所以直到n级的三角形面积和为：

In=A1+A2+A3+…An

=A1（1+■+■+…+■）

=A1·■=■A■-■·■A■=■A■-■A■

所以有：A1+A2+A3+…An+■An=■A1 （☆☆）

由此，取有限项之和得出结论，几何证明成立。

3.比较分析

3.1分化背景的对比

阿基米德就是在古希腊数学的第三个时期是亚历山大前期数学代表人物之一。在阿基米德之前的欧几里得（Euclid），他的《几何原本》使用公理化方法建立起演绎体系的最初典范。而阿基米德则在继承前人的基础上将计算技巧和逻辑分析结合起来，注意理论与实际的联系，通过实践直观他洞察到事物的本质。然后运用逻辑方法使经验上升为理论，在用理论去指导实践工作。他开始了哲学的数学向科学的数学的转化，是数学更倾向于使用的方向发展，同时也体现出当时数学的特点——严格的逻辑关系证明。

3.2方法的比较

刘徽的割圆术采用的是无穷小分割，在每一次分割都要经过复杂的开方运算才能得出结果。在刘徽那个原始的计算这就需要刘徽有高超的计算机巧。但是刘徽知道他每计算出一个π值都是近似的，也就是用多边形面积去逼近圆的面积。利用“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”的原理，无限次的增加正多边形的边数，而这一系列正多边形面积的极限就是圆的面积。刘徽的方法不但表现了极限思想，并将π值精确到了3.1416。同时他为后人推算精确π值提供了一种方法。有了这种方法，祖冲之才将π推算到了3.1415926到3.1415927之间。

3.3影响的对比

从以上的分析中，我们可以看出，阿基米德即继承了希腊古典时代数学以几何为主体的严密的系统，又接受了亚历山大社会注重实用的倾向。他的研究工作明显地表现了时代的特征——发现结果与证明结果并重。而刘徽的割圆术主要体现在计算上。这也正是中国传统的数学最显著的特点。刘徽的方法虽没有严格的证明，但是他的算法思想和极限思想却走在中国乃至于世界的先列。

总之，刘徽的割圆术和阿基米德的抛物弓形求积法各自在不同的文化背景中产生。他们的思想內容和表达式上正体现了东、西数学的特点。而利用无穷小分割则是他们的不约而同之法。而此法与极限思想又是后来微积分学发展的前提和基础。

参考文献：

[1]吴文俊.中国数学家人文论坛.《东方数学的使命》