利用数学分析的思想方法解决中学数学问题的途径探究

摘要：本文通过研究数学分析的相关概念和思想方法，与中学数学相对应的部分进行对比，探究利用数学分析的思想方法解决高中数学问题的途径，有利于丰富目前的高中数学解题方法和技巧，同时可促进数学分析课程的教学改革。

关键词：数学分析；高中数学；解题技巧

AnExplorationoftheApproachtoSolvingHighSchoolMathematics

ProblemsUsingtheIdeologicalMethodsofMathematicalAnalysis

JinYingying1*GaoPeng2

1.DepartmentofGeneralRequiredCourses，GuangzhouPanyuPolytechnicGuangdongGuangzhou511487；

2.SchoolofCivilEngineering，GuangzhouPanyuPolytechnicGuangdongGuangzhou511487

Abstract：Thispaper&527124024a35495eb778af80316a7f40nbsp;conductsastudyontherelatedconceptsandideologicalmethodsofmathematicalanalysisandcomparesthemwiththecorrespondingpartsofhighschoolmathematics.Theexplorationintotheuseoftheideologicalmethodsofmathematicalanalysistosolvehighschoolmathematicsproblemscanenrichthecurrentmethodsandtechniquesforsolvingproblemsinhighschoolmathematicsandmayalsopromoteteachingreformsinthecours3b67ac18fd6f8b9d616cbc175b6f46edeofmathematicalanalysis.

Keywords：MathematicalAnalysis；HighSchoolMathematics；ProblemsolvingTechniques

数学分析为数学专业学生的最重要的专业课程之一。近年来，一些数学系师范生有一种片面的观点，认为他们在大学阶段学习的数学师范类主干课程与中学数学没有多大关系。事实上，中学数学是数学师范类主干课程的基础和开端，而数学师范类主干课程是中学数学的深化和扩展。对于数学系师范生来说，学习好数学分析这类数学师范类相关主干课程是至关重要的。数学师范类主干课程对于中学数学的教学有极大的帮助，而中学数学的教学也离不开数学师范类主干课程的辅助。数学分析通常指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。数学分析研究的主要方面是关于微积分学的研究，微积分学的理论基础是极限理论，而极限理论的理论基础是实数理论［1］。正是在讨论函数的各种极限运算的合理性的过程中，数学家们一步步建立起严密的数学分析理论体系。中学数学就是对应于我们在中学时期所进行的数学教育与探究。通过在数学活动中不断加深数学感，培养数学能力和数学思维。本文通过研究数学分析的相关概念和思想方法，探究对应的中学数学的概念和思想方法，从一元函数微分学、微分中值定理、条件极值、求曲线的渐近线、求立体图形的切线（切平面）与法线（法平面）方程这五方面的应用来探索利用数学分析方法解决中学数学问题的途径。

1一元函数微分学的应用

1.1利用求导判断函数单调性

在判断函数的单调性方面，中学数学中用在判断函数的单调性的定义法机械且繁杂，遇到复杂的计算很难由定义法来判断函数的单调性。数学分析中通过求导判断一元函数的单调性相对计算简便。

例1［4］：证明：f（x）=3x+1在（-∞，+∞）上严格递增。

证明：由f（x）=3x+1，故当x∈（-∞，+∞）时，f′（x）=3＞0；因为当x∈（-∞，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，所以f（x）=3x+1在（-∞，+∞）上严格递增。

1.2利用求导求函数的极值

在中学数学阶段，极值问题往往需要灵活运用一些基本不等式（如平均值不等式），并需要一定的解题技巧才能解出。而在数学分析本科阶段，通过一元函数微分学方法的使用，对函数进行求导可以轻易得到函数的极值性质。在此处可以看出使用一元函数微分学解法去解答部分中学数学题目显得更为快捷。

例2：求f（x）=x2+128x的极值。

解：当x≠0时，f′（x）=2x-128x2=2x3－128x2。

令f′（x）=0，即f′（x）=2x3－128x2=0，解得x=4，即f（x）=x2+128x的稳定点为x=4。

又因为f″（x）=2+256x3，即f″（4）=2+25643=6＞0。

由极值的第二充分条件，x=4为f（x）=x2+128x的极小值点，即极小值f（4）=42+1284=48。

所以f（x）=x2+128x的极小值为48。

2微分中值定理的应用

利用微分中值定理证明不等式与等式。对于一些中学数学相关不等式的证明，若通过中学数学所学的相关知识证明的话，通常需用到相应的基本不等式，而且证明思路也不是太明朗。我们可以使用数学分析里的拉格朗日中值定理可以快捷地证实此类题目。使用数学分析里的微分中值定理，此题的思路一目了然，证明过程简单。因此，在解题过程中千万不要沉迷于中学数学这个范围，有时跳出一定的知识面问题或许会豁然开朗。

例1：［4］证明不等式：b－ab＜lnba＜b－aa，其中0＜a＜b。

证明：设f（x）=lnx，则由拉格朗日中值定理得：

f（b）-f（a）=f′（$）（b-a）

则得：lnb-lna=1$（b-a），其中0＜a＜$＜b，即lnba=b－a$；

又因为0＜a＜$＜b，所以不等式：b－ab＜lnba＜b－aa成立。

例2：证明：arctanx+arccotx=π2，x∈R。

证明：因为x∈R，由拉格朗日中值定理得：

（arctanx+arccotx）′=11+x2－11+x2=0

所以（arctanx+arccotx）′=C（C为常数）。

又因为：

y=arctanx，定义域为（－∞，+∞），值域为－π2，π2；

y=arccotx，定义域为（－∞，+∞），值域为（0，π）。

令x=0，则arctan0+arccot0=π2=C，所以C=π2。

所以arctanx+arccotx=π2，x∈R成立。

初读此题，用中学数学知识解题的话，很难想出思路，甚至于即便知道（arctanx+arccotx）′=C（C为常数），也不知道如何继续证明下去。但是如果这里的恒等式证明用数学分析中的微分中值定理证明的话，此题会迎刃而解。由此看来，学习好数学分析这门专业课程有利于数学系师范生更好地进行中学数学的教育。

3条件极值的应用

求解用料最省的相关应用题时，使用中学知识可以用数形结合等方法来解。但是如果用数学分析的条件极值方法解答此类问题别有新意，能增添我们的数学发散思维，而且使用条件极值的相关方法来解答，节省了大部分计算量，显得简洁。

例：［4］要修造一个容量为V的长方形开口水箱，试问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？

解：设长方形开口水箱的长、宽、高分别为x、y、z（x＞0，y＞0，z＞0）。

则得长方形开口水箱的表面积S=2（xz+yz）+xy。

又可得长方形开口水箱的体积V=xyz，即xyz-V=0。

此题实际上即求解函数S=2（xz+yz）+xy在前提xyz-V=0与x＞0，y＞0，z＞0下的最小值。

则设所求问题的拉格朗日函数是：

L（x，y，z，λ）=2（xz+yz）+xy+λ（xyz-V）

对L分别求偏导数，并令其等于0，则得：

LX=2z+y+λyz=0Ly=2z+x+λxz=0

LZ=2（x+y）+λxy=0Lλ=xyz－V=0

由上面四个式子联立，解得：

x=y=2z=32V，λ=－432V

由此得长方形开口水箱在条件xyz-V=0与条件x＞0，y＞0，z＞0下确实存在最小值。

所以当高为3V4，长与宽都为高的2倍时，即长与宽都为23V4，其表面积最小，且表面积最小值为：

S=2（xz+yz）+xy=3（2V）23

4求曲线的渐近线的应用

求解曲线的渐近线表达式一向是中学数学的热门研究内容，高考历年多考察计算曲线的渐近线表达式。在中学数学的范围中，我们可以通过一系列的联立曲线方程组的计算来求得曲线的渐近线方程，但是这种运算的计算量实在过大。遇到某些求曲线的渐近线方程的题目，我们其实可以考虑数学分析中的极限思想来求解，这样可以大大地减轻我们求解时所做的运算量。

例：求双曲线x225-y216=1的渐近线方程。

解：双曲线x225-y216=1可化为y=±45x2－25。

该渐近线的斜率k为f（x）x=±45x2－25x→±45（x→∞），即得k=±45。

在Y轴上的截距b为f（x）-kx=±45x2－2545x→0（x→∞）。

所以该双曲线x225-y216=1的渐近线方程为y=±45x。

5求立体图形的切线（切平面）与法线（法平面）方程的应用

在中学数学的一些复杂立体图形的题目中，很多时候都要求我们计算这个立体图形的切线（切平面）与法线（法平面）方程。在中学数学阶段中，我们只有用几何法或者向量法来解决此类题目，但是几何法要求过高的空间想象能力，而向量法往往伴随着很大的计算量。如果我们遇到一些需要求立体图形的切线（切平面）与法线（法平面）方程，此时我们不妨如此题般考虑下能否用隐函数（组）定理求解，从而达到化简计算量的目的。

例：［4］计算球面x2+y2+z2=50与锥面x2+y2=z2所截出的曲线的点（3，4，5）处的切线和切平面方程。

解：设F（x，y，z）=x2+y2+z2-50，F（x，y，z）=x2+y2-z2。

它们在点（3，4，5）处的偏导数和雅克比行列式之值为：

Fx=6，Fy=8，Fz=10，

Gx=6，Gy=8，Gz=-10

与（F，G）（y，z）=-160，（F，G）（z，x）=120，（F，G）（x，y）=0

所以，曲线在点（3，4，5）处的切线方程为：

x－3－160=y－4120=z－50

即：

3（x－3）+4（y－4）=0

z=5

其法平面方程为-4（x-3）+3（y-4）+0（z-5）=0。

化简得4x-3y=0。

所以球面x2+y2+z2=50与锥面x2+y2=z2所截出的曲线的点（3，4，5）处的切线方程为：3（x－3）+4（y－4）=0

z=5；其法平面方程为：4x-3y=0。

结语

数学分析对于中学数学的理解与运用能力有极大的帮助，而中学数学的理解与运用能力的提高也离不开数学分析的辅助。数学分析等数学师范类主干课程是在中学数学的基础上进行更深刻的研究，是中学数学的深化。而中学数学则通过讲述基本数学概念来加强我们的数学素养，是数学分析等大学主干课程的基础。数学分析等数学师范类主干课程在内容上是中学数学的延续与扩充，在解法上是中学数学的深入与扩展，在思维上是中学数学的深入与探究。本文通过研究数学分析这类数学师范主干课程的相关概念和思想方法，与中学数学相对应的部分进行对比，探究利用数学分析的思想方法解决高中数学问题的途径，一方面有利于丰富目前的高中数学解题方法和技巧，另一方面，以提高数学师范生的毕业后的教学能力为导向，可促进数学分析课程的教学改革。

参考文献：

［1］包崇胡.数学分析思想在中学数学解题中的应用［J］.数理天地（高中版），2022（14）：4849.

［2］何经刚.浅谈提高学生数学分析能力的策略［J］.安徽教育科研，2022（14）：6667.

［3］何天荣.数学分析课程中导数单元的教学实施及反思改进——以丽江师范高等专科学校数学教育专业为例［J］.教师，2022（14）：3638.

［4］华东师范大学数学系编.数学分析（上、下册）［M］.3版.北京：高等教育出版社，2001.

［5］金迎迎，谢利红.从数学文化角度探讨空间解析几何的思政元素［J］.科教导刊电子版（上旬），2021（8）：213214.

［6］金迎迎，谢利红.数学软件在《空间解析几何》课程实践教学中的探索［J］.内蒙古煤炭经济，2021（13）：209211.

基金项目：广州市高等学校教育教学改革一般项目（生源多样化背景下基于蓝墨云班课的翻转课堂实践研究——以高等数学课程为例，项目编号：2022JXGG124）资助

*通讯作者：金迎迎（1982—），女，河南洛阳人，博士，副教授，研究方向：主要从事几何拓扑、拓扑代数的研究。