“三全育人”背景下概率统计课程的教学案例

摘要：随着社会的进步和科技的发展，“概率论与数理统计”是一门强调实践应用的大学数学类公共基础课程，其教学研究值得我们不断思考。本文立足“三全育人”工作格局，以概率统计中经典内容贝叶斯公式为例，在课堂教学设计过程中，引导学生以问题驱动的形式思考和分析问题。融入思政元素，践行“三全育人”理念，提高学生应用概率论与数理统计知识解决实际问题的能力，实现德育目标，达到知识传授与价值塑造的双层目标。

关键词：概率统计；三全育人；贝叶斯公式

Abstract：Withtheprogressofsocietyandthedevelopmentoftechnology，thecourse"ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics"，asahighlyappliedpublicbasiccourseinuniversitymathematics，deservesourcontinuousreflectiononitsteachingresearch.Thisarticleisbasedontheworkpatternof"comprehensiveeducation"，takingtheclassiccontentof"probabilityandstatistics"asanexample，andguidingstudentstothinkandanalyzeproblemsinaproblemdrivenmannerintheprocessofclassroomteachingdesign.Integratingideologicalandpoliticalelements，practicingtheconceptof"comprehensiveeducation"，improvingstudents'ability&nb58912c60cc2735be0c5739cfc7da1e81d5ecae810eea07990c6adf116c9a204bsp;toapplyprobabilitytheoryandeducationalstatisticsknowledgetosolvepracticalproblems，achievingmoraleducationgoals，andachievingadualgoalofknowledgetransmissionandvalueshaping.

Keywords：ProbabilityTheoryandMathematicalideologicalandpolitical；Threefulleducation；Bayesformula

习近平总书记在2016年12月全国高校思想政治工作会议上的讲话中指出：“要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人，努力开创我国高等教育事业发展新局面。”［12］。2020年4月，《教育部等八部门关于加快构建高校思想政治工作体系的意见》印发，明确提出“以建立完善全员、全程、全方位育人体制机制为关键”［3］。中国的设计教育需要牢牢把握立德树人的核心使命，深入挖掘并发挥中国特色社会主义教育的独特育人价值，以社会主义核心价值观作为行动指南，以全面提升人才培养质量为核心，确保思想政治工作体系与高等院校的教学体系相互融合、相互贯通。

概率论与数理统计（简称“概率统计”）是专注于探究随机事件及其统计规律的一门数学学科。通过本课程的学习，旨在帮助学生掌握概率统计的基础知识，以便他们能够初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，并具有运用统计方法解决实际问题的能力。在全面推进“三全育人”的教育背景下，概率统计课程的教学需要注重培养学生的实际应用能力和综合素质。基于此，在教学过程中，笔者以贝叶斯公式为例，将思政教育有效融入课程教学，在发挥概率统计课程隐性育人功能的同时，使学生的创新能力得到普遍提升。

1教学设计

1.1教学背景

贝叶斯公式在概率统计中占有重要地位，它被广泛应用于各种领域，如科学、技术、医学等。贝叶斯公式是在“条件概率、全概率公式”概念提出的前提下，从已知结果事件的概率推算未知复杂原因事件概率的内容。它是处理“逆向概率”问题，即已知结果，反推原因的概率问题。

1.2学情分析

（1）学生的知识现状分析。学生在上一节课已经学习了条件概率、乘法公式和全概率公式，这些知识为本节课深入学习贝叶斯公式打下了坚实的基础。然而，对学生而言，贝叶斯公式理解起来存在一定的难度。因此，在教学过程中，笔者会提前对所需知识进行复习和巩固，以确保学生能够更好地掌握和理解贝叶斯公式的内涵和应用。

（2）学生应用层面分析。首先，尽管学生可以复述公式，但在面对真实问题时，他们往往不知道如何应用贝叶斯公式。学生缺乏对数据和信息的分析和处理能力，这使得他们难以将实际问题转化为数学模型。因此文中采用了贴近生活的实例进行分析。其次，将贝叶斯公式应用于实际问题时，学生需要面对复杂的数据处理和模型构建问题，这要求他们具备较高的实践能力和创新思维。根据学生的认知水平和学习背景，采用循序渐进的教学策略，从基本概念入手，逐步深入公式的推导和应用。

（3）情感价值观分析。由于公式本身的复杂性，学生可能会在学习过程中产生挫败感，影响其持续学习的动力。在教学过程中，将从简单易懂的生活实例开始，逐步引导学生进入学习状态，从而增强他们学习的自信心。

1.3教学目标

（1）知识目标：理解贝叶斯公式的含义及其应用背景。掌握贝叶斯公式的计算方法，能够根据已知条件进行概率计算。理解贝叶斯公式的条件概率和全概率之间的关系，借助贝叶斯公式进行实际问题的解决。

（2）能力目标：通过实例演示，学生了解贝叶斯公式的应用场景和重要性；通过数学推导，学生掌握贝叶斯公式的计算方法和步骤；通过小组讨论和案例分析，培养学生将实际问题转化为数学问题并解决的能力。

（3）思政目标：将“思政元素”融入专业课堂。通过贝叶斯公式的学习，培养学生的科学精神和探索创新能力，引导学生积极参与讨论和实践，激发他们的创新思维和解决问题的能力；有助于培养学生的诚信意识和社会主义核心价值观，进一步培养他们的社会责任感和使命感。

1.4教学重点

（1）理解、掌握贝叶斯公式。

（2）贝叶斯公式的条件概率和全概率之间的关系。

1.5教学难点

条件概率和全概率之间的关系以及在实际应用中，确定是由因求果（全概率公式），还是执果索因（贝叶斯公式）。贝叶斯公式的核心在于通过先验概率和新的观测数据来更新后验概率，这一过程涉及复杂的逻辑推理和数学计算，可能使学生感到困惑。

1.6思路设计（见图1）

2教学过程

2.1问题引入

案例：测谎仪是用来检测一个人是否说谎的仪器，经常被用于征兵、安全部门的筛查、侦破、诉讼等领域。

问题：如何从概率的角度来说明当测谎仪显示他说谎时，他真的说谎了吗？

2.2旧知回顾

（1）条件概率公式：

P（B|A）=P（AB）P（A）

（2）概率的乘法公式：

P（AB）=P（B|A）P（A）=P（A|B）P（B）

（3）全概率公式：

P（A）=∑ni=1P（A|Bi）P（B）

值得注意的是乘法公式中，这两个公式如何来选取呢？就看A和B是谁先发生。如果B事件先与A事件发生，就采用前者。如果A事件先于B事件发生，就采用后者。全概率公式解决的是由因求果的问题，也就是已知原因发生的概率，探求结果发生的概率。知道每一个原因发生的概率，再知道每一种原因发生条件下，结果发生了条件概率，然后每一种原因导致结果发生的概率加权求和，就得到了全概率公式。其基本思想就是化繁为简，化整为零，分而治之，各个击破。

2.3新知探索

用客观的新信息更新我们最初关于某个事物的信念后，我们就会得到一个新的、改进了的信念。

全概率公式：

全盘考虑所有导致事件B发生的原因，由因求果。

贝叶斯公式：

P（Ai|B）——条件概率，执果索因。

（1）贝叶斯（Bayes）公式定义：

设A1A2，…An为样本空间Ω的一个划分，即：

∪niAi=Ω，且AiAj=，i≠j，i，j=1.2.…，n.

对任意事件BΩ，P（B）＞0，则：

P（Ai|B）=P（Ai）P（B|Ai）∑nj=1P（Aj）P（B|Aj），i=1，2，…n.

英国数学家贝叶斯（ThomasBayes）提出了一个重要研究成果——贝叶斯公式。贝叶斯主要研究概率论，并且成功地将归纳推理法融入概率基础理论中，进而形成了贝叶斯统计理论。贝叶斯在概率论领域有颇深的研究。经过多年的发展和精进，贝叶斯公式的核心理念已经深化并拓展为一套完整且系统的统计推断方法论——“Bayes方法”。

（2）对贝叶斯公式的证明：

证明：因为A1A2，…An为样本空间的一个划分，由全概率公式得：

P（B）=∑ni=1P（B|Ai）P（Ai）

由条件概率公式：

P（Ai|B）=P（AiB）P（B）

=P（Ai）P（B|Ai）∑nj=1P（Aj）P（B|Aj）

（3）对贝叶斯公式的说明：

①把事件B看成某一过程的结果，而A看成该过程中导致这一结果发生的所有可能原因。根据以往的资料，每一个原因发生的概率是已知的，而且每一个原因对结果的影响程度也是已知的。如果已知结果B发生的情况下，要求此时由第i个原因所引起的概率，那么就可以用这个贝叶斯公式了。也就是说，贝叶斯公式解决的是由果索因的问题。

②贝叶斯公式的本质：贝叶斯公式的本质是在已知某个观测结果的情况下去更新某个原因的概率。贝叶斯公式可以用乘法公式和全概率公式来展开条件概率公式中的分子和分母，从而得到更准确的概率估计。贝叶斯公式的另一个重要特点是它考虑了先验概率，即在观测结果发生之前的原因的概率，从而在更新概率时能够考虑到历史数据和经验信息。这正是贝叶斯理论的核心思想，就是用后验概率迭代更新先验概率。

2.4问题解决

案例：检测人说谎时正确检测的概率为0.88，检测人没有说谎时误判的概率为0.14。大部分人比较诚实，说谎概率设为0.01；把嫌疑犯的说谎概率设为0.6。比较不同人群测谎仪测谎结果的可信度。

分析：

解：已知P（B|A）=0.88，P（B|A）=0.14

对大部分人P（A）=0.01

由贝叶斯公式：

P（A|B）=P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=0.01×0.880.01×0.88+0.99×0.14

≈0.06

对于嫌疑犯P（A）=0.06

由贝叶斯公式：

P（A|B）=P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=0.6×0.880.6×0.88+0.4×0.14

≈0.904

由上知：先验概率P（A）=0.01P（A）=0.06

后验概率P（A|B）≈0.06P（A|B）≈0.904

故测谎仪并不适用于普通人，但对特殊人群还是可信的。初始概率越准确，就能越容易、越快速地得到真实的概率。

2.5应用举例

例题“三人成虎”是一个古老的成语，意思是三个人谎报集市里有老虎，听者就信以为真。这个成语实际上是一个典型的贝叶斯公式应用的案例。

假设集市上出现老虎的概率是P（A）=a，每个人对此事（出现老虎）说真话的可能为P（B）=b（这里假设每人说真话的概率相同，当然，概率不同的话也是一样的道理，为了简化后面的推导，就这么假设），考虑以下几件事件的概率：

（1）有一个人说市集上有老虎，而确实有老虎的概率：P1=P（A|B1）；

（2）有两个人说市集上有老虎，确有老虎的概率：P2=P（A|B1B2）；

（3）有n个人说市集上有老虎，确有老虎的概率：Pn=P（A|B1B2…Bn）。

解：（1）由贝叶斯公式：

P1=P（A|B1）

=P（A）P（B1|A）P（A）P（B1|A）+P（A）P（B1|A）

=abab+（1－a）（1－b）

（2）由贝叶斯公式和条件独立：

P2=P（A|B1B2）

=P（A）P（B1B2|A）P（A）P（B1B2|A）+P（A）P（B1B2|A）

=P（A）P（B1|A）P（B2|A）P（A）P（B1|A）P（B2|A）+P（A）P（B1|A）P（B2|A）

=ab2ab2+（1－a）（1－b）2

（3）类似地，我们可得：

Pn=P（A|B1B2…Bn）=abnabn+（1－a）（1－b）n

分析：

集市出现老虎可看作小概率事件，假设为11000概率发生，陈述者说实话的概率为90%，则上述：

（1）P1=0.0089，可信度低。

（2）P3=0.075，还是不可信。

（3）P3=0.42，这时候作为君主就不可以忽略这种概率。

当然，上面一切讨论的前提是这n个人相互独立，没有合伙坑人，这个时候国君是有理由相信市集上有老虎的。这个问题也说明了指证罪人的可行性，也告诫我们“事不过三”。

2.6知识小结

在实际应用中，我们通常需要计算某个未知参数的后验概率。这可以通过将先验概率、似然函数和归一化常数代入贝叶斯公式来实现。

（1）确定先验概率P（A）；

（2）计算似然函数P（B|A）；

（3）计算后验概率P（A|B）。

希望通过本文，同学们能从知识目标、能力目标和思政目标这三个方面有所收获。其中贝叶斯公式以及建模过程是重点，贝叶斯思想以及模型的应用是难点。

3教学反思

3.1思政元素

（1）践行社会主义核心价值观：诚信。大学生教育中，诚信教育尤为重要。当代大学生当以诚信赢得信任和尊重，实现个人和事业的双赢。孔子说：“人而无信，不知其可也。大车无輗，小车无軏，其何以行之哉。”可见，信用是个人成功和社会和谐的重要基石。

（2）要有“学无止境”的精神。贝叶斯方法的核心在于利用已知信息更新对未知事物的认识，这与“学无止境”的精神不谋而合。持之以恒的学习态度使我们能够不断地适应环境的变化，以此提升自己的能力和见识。

3.2教学思考

贝叶斯公式是概率统计中的一个重要内容，它为人们提供了在不确定条件下进行推理和决策的方法。在教学过程中，笔者注重将贝叶斯公式的数学原理与实际应用相结合，通过案例分析、小组讨论等形式，引导学生理解贝叶斯公式的应用价值。同时，笔者积极探索如何将思政元素自然地融入教学中，融入思政元素的教学方法和互动式学习方式能够有效提高学生的思政意识。总之，在贝叶斯公式的教学过程中应注重理论与实践相结合、循序渐进地引导学生深入理解和掌握这一概念，同时鼓励学生积极思考和探索将贝叶斯公式应用于实际问题中的方法和策略。

结语

在课程思政理念下，教师要把“德育”看作教育的根本任务，更新观念深入挖掘，以数学学科知识为载体，发挥数学育人的特殊作用，促进学生树立正确的世界观、人生观和价值观。“概率论与数理统计”是一门强调实践应用的大学数学类公共基础课程，其课程思政元素的融入设计、这些设计在实际教学中的有效应用，以及思政元素在课堂中的具体实施策略，都是值得我们深入探讨和研究的重要课题。

参考文献：

［1］习近平在全国高校思想政治工作会议上强调把思想政治工作贯穿教育教学全过程开创我国高等教育事业发展新局面［N］.人民日报，20161209（1）.

［2］唐紫薇，成立.课程思政在内分泌学教学中的应用研究［J］.现代医药卫生，2023，39（13）：23152318.

［3］教育部等八部门关于加快构建高校思想政治工作体系的意见［J］.中华人民共和国教育部公报，2020（04）：2327.

基金项目：国家自然科学基金项目（12101265）

*通讯作者：赵春香（1989—），女，汉族，山东单县人，博士，助理研究员，硕士生导师，研究方向：无穷维动力系统。