逆向思维在小学数学解题中的应用

【摘要】在小学数学教学中，逆向思维是重要的思维工具之一，对于学生数学能力的发展起到积极作用.探究逆向思维在小学数学解题过程中的应用具有重要意义.基于此，文章首先分析了逆向思维的概念及其在小学数学解题过程中的作用，其次明确了逆向思维在小学数学解题中的应用原则，最后列举了几种逆向思维在小学数学解题中的应用策略，以此优化学生解题思路，提高学生解题能力，促进学生更好发展.

【关键词】逆向思维；小学数学；解题应用

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出：“通过数学的思维，可以揭示客观事物的本质属性，建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系.”数学思维能力的培养和应用在小学数学教学中占据着重要地位.其中逆向思维的应用能在学生解题过程中产生意想不到的效果，且对于学生数学思维能力的发展构成积极影响.在实际教学中，教师需重视逆向思维的引导，使学生能够灵活运用这一思维方式解决数学问题.

一、逆向思维概述及其在小学数学解题过程中的作用

（一）逆向思维概述

逆向思维是指从事物的反面去思考问题的思维方式，是一种与常规思维方式相对立的思维方式.在小学数学领域中，逆向思维通常指从数学问题的反面或结果的相反方向出发，通过反向推导、逆向求解等方法，寻找问题的答案.逆向思维能突破小学生的直线思维模式，鼓励学生立足多元角度、层面来思考问题，从而培养学生的创新能力和解决问题的能力.

（二）逆向思维在小学数学解题过程中的作用

1.有助于活化学生解题思路

在小学数学解题过程中应用逆向思维，能有效活化学生的解题思路.具体而言，小学生的思维具有方向性.在一般情况下，学生习惯于运用正向思维、直线思维来思考问题，根据前因推导后果，按次序分析数学问题中蕴含的信息之间的联系.而逆向思维则能立足于反向角度，为学生开创一个全新的思考视域.在此思考模式下，学生将以全新的理解看待数学问题，发现数学问题的新面貌，并找到解决问题的新途径.这一思考路径能使得学生的数学解题思维得以充分活化，助力学生在自主探究数学问题的过程中摆脱常规思维的羁绊，挖掘学习的更多可能性.

2.有助于提升学生的解题效率

从学生数学解题效率的角度出发，在小学数学解题中应用逆向思维，具有积极的现实意义.首先，逆向思维的应用能促进学生解题正确率的提升.基于逆向思维，学生能立足多元角度思考问题，更易在解题过程中深度理解数学问题的本质，从而减少解题失误，提升解题正确率.其次，逆向思维在解题过程中的应用能为学生解题提供多样性策略和可行思路，促使其积累解题经验，提升解决实际问题的能力.逆向思维具有非线性特点，当学生在直线思考问题的过程中因遇到障碍而陷入思维僵局时，逆向思维的应用能避免这种问题，帮助调节学生的解题策略，从而提高解题效率.

3.有助于强化学生的思维品质

从学生个体能力发展的角度出发，在小学数学解题中运用逆向思维，有助于学生思维品质的强化.首先，学生能在解题过程中积累丰富的逆向思维应用经验，逐步巩固与内化逆向思维，形成应用逆向思维的良好意识与习惯.久而久之，学生能将这种逆向思维的思考方式迁移到日常生活和学习中的其他领域，形成全面、立体的思考方式，提升思维品质.其次，数学问题的解题思路并非单一的，而是由多种思维类型共同作用、综合应用而形成的.其中，逆向思维的应用能助推学生解题问题过程中逻辑思维、批判性思维、创造性思维等思维能力的发展.

二、逆向思维在小学数学解题中的应用原则

（一）启发性原则

在小学数学解题中应用逆向思维，教师需注意遵循启发性原则，以侧面点拨、启发的方式引导学生思维的发散，促使学生在实际问题中自主发现逆向思维的积极意义，掌握逆向思维的发散策略.遵循启发性原则，能提升学生思维应用的自主性和灵活性，进而培养小学生独立思考和解决问题的能力.

（二）实用性原则

实用性原则要求小学数学教师在引导学生运用逆向思维解题的过程中，充分考虑到应用逆向思维的实用性和必要性，让逆向思维与教学内容、学生的学习需求紧密联系.遵循实用性原则，能使教师在创设教学计划、实施思维训练指导时充分关注逆向思维解题策略的普适性和可迁移性，从而提升学生解题效率.因此，实用性原则是小学数学解题应用过程中应用逆向思维必须遵循的教育原则之一.

（三）渐进性原则

部分小学生因其数学基础水平、思维能力、学习兴趣的差异，在应用逆向思维解决数学问题时将产生较为鲜明的学习差距.在此过程中，教师需注意遵循渐进性原则，合理看待学生之间思维能力的进步差异，理解、尊重并帮助思维水平提升较慢的学生探究逆向思维的作用和应用路径.遵循渐进性原则，旨在确保每名学生都能在自身能力范围内逐步发展逆向思维，在数学解题学习中获得个性化、适宜的成长.

三、逆向思维在小学数学解题中的应用策略

（一）提供逆向思维应用问题，拓宽学生解题思路

1.逆向应用数学概念来解题

在数学解题过程中，数学概念是重要的考核点，教师可以将数学概念作为逆向思维应用的落点，在实际教学中依托课时主题，选择蕴含数学概念考点的数学问题，并在学生尝试解决问题的过程中，为其搭建逆向思考的阶梯，引导学生逆向应用数学概念来获得问题的答案.这一过程能使学生明确相关数学概念，并初步经历运用逆向思维解决实际问题的过程，从而为学生初步建立逆向思维认知.

例如，在人教版小学数学三年级下册“位置与方向（一）”教学活动中，本课教学的重点在于让学生掌握东、西、南、北、东南、西南、东北、西北等方向的基本认识，并能运用这些方向概念描述物体的相对位置.其中，东与西相对，北与南相对，是固定的数学概念，也是客观事实.为使学生深刻把握这一数学概念，并能初步建立对逆向思维的认知，教师可以设计蕴含该数学概念的数学问题如下：

小红出门买盐，已知调料店正好在她家东南方向.小红首先向东走了50米，又向南走了50米到达调料店，请问，小红回家有几种走法？分别列举这些走法并说明如此分析的原因.

在学生分析该问题时，教师可以引导学生应用逆向思维来解决问题.首先，教师可以引导学生思考：调料店在小红家的东南方向，则小红家在调料店的什么方位？学生由此先确定了调料店的位置与小红家的相对关系，然后根据这一关系逆向思考小红回家的路径.这一过程中，学生首先理解了在本题中“东南方向”可以通过先向东走再向南走到达，那么逆向的过程则应是先向北走再向西走.沿着这一思路，学生列举了两种回家走法.分别是：

（1）小红从调料店出发，先向北走50米，接着向西走50米.

（2）小红向着西北角前进到家.

上述两种走法均应用到逆向思维，但在思考角度上存在些许差别.第一种做法基于题干给出的信息进行逆向推理；第二种做法则是完全跳出题干的束缚，让学生利用非线性思维来思考，从题干中挖掘出直观的信息，从而获得回家的正确方向.如此，学生能在题干中深度巩固并明确“东与西相对，北与南相对”的知识概念，并亲历了运用逆向思维解决问题的过程.

2.逆向应用数学公式来解题

在部分小学数学问题中涉及多元公式的应用，学生需掌握特定的公式运算法则，能结合题意自主列式并运用公式进行计算.基于公式的学习，为培养学生运用逆向思维解决问题的能力，在实际教学中，教师可以将公式逆向应用，引导学生从问题的结果出发，逆向推导公式的运用过程，以加深对公式的理解与应用.具体而言，教师可以优选涉及数学公式并包含特定结果的数学问题，让学生通过逆向推导来找出所需的输入值.在解题过程中，数学公式的逆向应用能予以学生逆向思维应用启示，促使学生对逆向思维解题的益处形成深刻体会.

以人教版小学数学四年级上册“平行四边形和梯形”教学活动为例，本课教学重点包括平行四边形、等腰梯形的周长、面积公式.如：平行四边形周长=2×相邻两边的和，面积=底×高；等腰梯形周长=上底+下底+腰长×2，面积=（上底+下底）×高÷2.以等腰梯形的周长公式为考核点，教师可以设计问题如下：

一个等腰梯形的周长为28cm，其中上底和下底的和为14cm，则这个等腰梯形的腰长多少？

学生在解题时，可以结合公式“等腰梯形周长=上底+下底+腰长×2”，应用到逆向思维，从已知的结果（周长为28cm，上下底之和为14cm）出发，逆向推导公式的应用过程.首先，学生需要将梯形的周长公式进行变形，即将“腰长×2”的部分移项，从而得到“腰长”的计算公式，即“腰长=（周长-上底-下底）÷2”.接着，学生可以将题目中给出的周长数值和上底、下底的和代入这个公式，得到腰长=（28-14）÷2=7（cm）.逆向思维的应用，能使学生在获得正确答案的同时，深化对等腰梯形周长公式的理解和应用能力，从而使学生对应用逆向思维解决问题的过程形成了深刻的认知.

（二）加强逆向思维应用引导，丰富学生解题经验

经过初步探究，学生已能初步发现逆向思维的存在意义，并能在探究习题的解决过程中亲历应用逆向思维解决问题的过程.在此环节，教师可以加强对学生逆向思维的应用引导，向学生渗透可行的逆向思维解题方法，如：反向分析法、反向推导法等.

1.渗透反向分析法

反向分析法是一种从问题的反面或结果的反面出发，通过逆向推理来寻找问题答案的方法.这种方法在处理涉及多种可能性或多种解法的问题时颇有效果.在实际教学中，教师可以先在思维引导环节向学生渗透反向分析法，由此为学生探究习题、应用逆向思维提供可行思路.具体而言，教师可以在教学中寻找适合应用此思维策略的例题内容.而后，教师可以在探究该题目之前向学生说明“反向分析法”的思考模式和适宜应用的题目类型，使学生对该逆向思维应用方法形成系统的认知.最后，教师可以请学生带着对“反向分析法”的疑问展开对实际问题的探究，请学生独立思考、审题并以说理的形式将审题步骤用数学语言进行汇报和描述.教师可以结合学生的口头反馈了解其对反向分析法的掌握程度，结合学生的思考内容加以引导，促使其巩固与内化反向分析法并获得正确的解题思路.在此过程中，学生能积累应用逆向思维审题的有益经验，掌握一种可行的逆向思维应用方法.

例如，在人教版小学数学五年级上册“简易方程”教学活动中，为使学生深度掌握逆向思维在解题过程中的应用方式，掌握反向分析法，教师可以设计问题案例如下：

小花拿着12元钱去买牛奶，买了3瓶牛奶后还剩下3元钱，每瓶牛奶的价格是多少？

在探究此问题前，教师可以向学生渗透反向分析法的用法，即从事物的结果或反面出发寻求答案.学生初步理解该逆向思维应用策略后，自主探究该题的思路如下：首先，学生可以从剩下的钱（结果）出发，逆向推导出牛奶的价格（未知数）.然后，学生将这一问题转化为一个简易方程.设1瓶牛奶的价格为x元，则根据题意，可以得到方程：12-3x=3.而后，学生可以结合所学的解方程知识进行未知数的求解，求出未知数的值为3，获得问题的答案.由此，学生能结合实际解题经验，掌握实用的逆向思维解题方法（反向分析法），积累丰富的解题经验.

2.渗透反向推导法

反向推导法则是一种从问题的结论或结果出发，逆向推导求解过程的方法，这种方法在处理一些复杂或需要逆向应用公式的问题时较为有效.具体而言，在实际教学中，教师可以通过设计一些具有挑战性的题目，让学生在解题过程中逐步体验和掌握反向推导法的应用规律，并在带领学生解析题目的过程中将审题的步骤具象化，点明其中数学公式或知识概念的逆向推导过程.如此设计教学活动，学生能对反向推导法形成深刻的印象，并在后续类似的题目探究过程中有意识地应用反向推导法来解决问题，从而深化学生对逆向思维的应用.

以人教版小学数学六年级下册“百分数（二）”一课教学为例，在本课教学中，学生已经掌握了百分数的概念和价值，能理解百分数在实际生活情境中的数学意义并进行简单的百分数换算.在此基础上，教师向学生渗透了“折扣”这一常见的百分数问题.其具体运算思路可以简单归纳为：“原价×折扣（百分数）=折后价”.学生掌握该运算公式后，教师可以找到适用于反向推导法的本课例题如下：

一件连衣裙原价280元，折后238元；一件短裙原价45元，折后36元.这两件衣服哪件折扣力度更大？

在探究该问题时，教师可以请学生将审题思路以说理、简单记录的方式表达出来.学生分析：该题应用到本课所学的“原价×折扣（百分数）=折后价”公式，但给出的数学条件是原价（280元，45元）和折后价（238元，36元），求折扣（百分数）的值.要正确求出问题的解，应该运用逆向推导的方式，结合结果来反推求解过程.经过逆向思考，其公式需变形为“折扣（百分数）=折后价÷原价”.在此基础上，学生能完成审题并求出问题的解.在此过程中，教师需注意引领学生的逆向思考路径，帮助学生跨越思维的障碍，认识到逆向推导公式的重要性，并正确、独立地完成公式的逆向推导过程.学生完成审题并记录好审题步骤后，教师可以请学生着重回顾公式变形的过程，并在此环节向学生渗透“反向推导法”这一逆向思维审题的应用方法.由此，学生能对该审题方法形成深刻的学习印象，积累应用逆向思维审题的可行经验.

（三）总结逆向思维应用经验，强化学生解题能力

经过前期教学，学生能在解题过程中积累逆向思维的解题经验，并掌握多种应用逆向思维解题的方法.在此环节中，教师则可以引导学生总结学习经验，进一步强化应用逆向思维解题的意识与能力.首先，教师可以引导学生自主分析逆向思维在实际解题过程中的应用价值，通过提升学生对该解题思路的认同感来培养学生应用逆向思维解题的意识.学生能在认同感的驱动下，在后续学习中主动应用逆向思维来解决问题；其次，教师可以引导学生回顾解题过程，请学生合作讨论，自主总结应用逆向思维解题的经验和技巧，提炼出个性化解题规律，从而帮助学生形成系统的解题习惯.

例如，在人教版小学数学六年级上册“圆”的教学活动中，教师可以结合本课重点知识“圆的周长、面积公式、圆周率的意义和数值”进行逆向思维解题教学.在学生初步掌握应用逆向思维解题的方法并积累一定的解题经验后，教师可以组织学生展开讨论，就“在本课解题中，逆向思维的应用价值”进行逆向思维的应用探讨.首先，学生可以从解题速度、解题准确率、解题灵活性等角度，分析逆向思维在解决关于圆的周长、面积等问题时的优势，提升对应用逆向思维解题的认同感；其次，教师可以引导学生讨论话题如下：

1.在应用逆向思维来解决实际问题的过程中，你遇到哪些困难？

2.你认为应用逆向思维解决问题的思维障碍是什么？你是如何克服的？

3.对于逆向思维解决问题，你有什么好的经验或建议？

通过讨论，学生可以共同梳理出逆向思维在解决圆相关问题时遇到的困难（如：思维跳跃性大、难以从结果反推未知量等）来相互交流逆向思维解题经验，以彼此启发、共同克服解题中遇到的困难.此等讨论能进一步提升学生对应用逆向思维解题方法的认同感，能促使学生的逆向思维解题意识与能力得以进一步提升与发展.

结 语

综上所述，逆向思维在小学数学解题中的应用，不仅能充分活化学生的解题思路，提升学生的解题效率，强化学生的思维品质.在实际教学中，教师需注意遵循启发性、实用性和渐进性原则，以此实施对学生逆向思维的引导，逐步拓展学生解题思路，丰富学生解题经验并强化学生的解题能力.在未来，教师还需积极开发和探究逆向思维应用于小学数学解题教学中的可行策略，进一步提高学生的解题效率和准确性，增强学生的思维品质和创新能力.

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