基于向量方法和信息技术探究距离

摘 要：在数学教学中应该积极落实主题教学，帮助学生从大概念入手，理解数学知识的整体结构和数学知识间的相互联系. 对“距离”主题的设计不仅可以充分展示不同知识点之间的联系，也能展示如何在教学中真正发展学生的抽象思维、空间想象和迁移应用等数学素养与能力. 信息技术为学生理解距离问题提供了很好的工具.

关键词：数学素养；数学软件；数学探究；距离问题；向量方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）05-0059-06

引用格式：马峰. 基于向量方法和信息技术探究距离［J］. 中国数学教育（高中版），2024（5）：59-64.

一、案例背景

数学知识往往具备高度的抽象性，而中学生正处于抽象思维能力逐步构建的关键时期，他们时常面临将抽象数学概念具象化的挑战，亟须教师以极大的耐心进行详尽阐释. 在此背景下，数学软件无疑成为了教师教授抽象概念时不可或缺的“得力助手”，极大地增强了教学效果.

为了有效提升学生的直观想象能力与数学素养，在日常教学实践中，笔者将距离概念作为一个核心议题进行深入探讨，旨在通过使用向量方法，特别是引入信息技术手段，为学生搭建理解抽象概念的桥梁. 具体而言，运用信息技术工具，探索距离公式的推导过程，而非仅仅停留在公式的记忆与应用层面. 这一过程不仅加深了学生对距离概念本质的认识，还促使他们经历了从无到有、从未知到已知的知识构建过程，实现了真正意义上的学习飞跃，为学生提供了宝贵的“从0到1”的学习体验.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出：“重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实.”其还指出：“距离问题是培养学生直观想象、逻辑推理和数学运算素养的很好的载体.”《标准》给出了关于教学与评价的37个案例，其中的案例16是“用向量方法研究距离问题”. 在基础教育阶段，我们经常用到的距离包括：两点之间的距离、点（不在直线上）到直线的距离、两条平行线之间的距离、点（不在平面上）到平面的距离、直线（不在平面上）到平面的距离、两个平行平面之间的距离、两条异面直线之间的（最短）距离及其出现的位置、球面距离. 其中，异面直线之间的距离在《标准》中是选修内容，而球面距离可以作为探究活动予以使用.

显然，距离问题的解决可以使用综合几何方法，也可以使用解析几何方法，还可以使用向量方法. 向量是沟通几何与代数的桥梁，在解决实际问题中能发挥重要的作用. 距离问题主题教学案例可以安排在向量单元教学之后. 课前需要知晓关于向量的基础知识，包括垂直与平行的向量表达，直线、平面的向量方程的各类形式，等等. 在实施过程中，致力于帮助学生发展几何直观，理解数学问题的发生、发展和解决的全局.

二、案例的实施

实施距离问题的教学时，希望能够实现的素养和能力目标包括：通过独立思考和创造性思维提出问题和解决问题；培养计算能力、直觉想象力和逻辑推理能力；学习知识的迁移技能. 在教学策略层面，可以尝试使用实物（绳子、木棍和纸板）帮助学生加深理解，通过动手操作进行学习，这符合“具身认知”的认识规律. 利用数学软件（GeoGebra软件）帮助学生理解空间关系. 在探究各种问题的解决方法的过程中，注重让学生自己找方法，培养学生的创造力.

1. 介绍与引入

课堂伊始，教师提问：在几何学中，构成图形的基本元素有哪些？学生一般都能给出点、直线和平面. 借着这个机会，教师告知学生今天的学习主题是距离. 由此，学生可以在教师的引导下，自主猜测本节课即将探究的内容，它们包括：两点之间的距离、点（不在直线上）到直线的距离、两条平行线之间的距离、点（不在平面上）到平面的距离、直线（不在平面上）到平面的距离、两个平行平面之间的距离、两条异面直线之间的（最短）距离. 甚至会有学生提出球面距离问题.

这里的设计采取了建构主义——抛锚式教学设计的模式. 教学活动紧紧围绕“锚”来设计，而这里的“锚”就是对距离的个案研究. 不仅如此，在抛出这个“锚”后，允许学生自己生成待办的任务清单. 具体来讲，教师设定了教学的主题“距离”，然后让学生自己经历“制造问题”的过程，这有助于学生理解数学问题的来源，也提升了他们解决自己“制造”的问题的兴趣.

2. 从简单到复杂，探索距离问题的计算方法

从最简单的两点之间的距离开始，教师对每个距离问题使用向量方法进行分析和处理. 其间，还会视情况使用实物道具和数学软件辅助学生理解. 显然，两点之间的距离可以一带而过.

（1）点到直线的距离.

为了帮助学生逐步进入状态，教师自己动手或者让学生动手，使用绳子丈量一个点到笔直木棍的距离，以便温习“垂线最短”这个初中已经学习过的知识. 同时，让学生感受到：点到直线的距离本质上是点与点之间的距离. 此时，利用数学软件，便捷、实时地展示两点之间的距离，帮助学生从直观上理解点到直线的距离何时最短. 如图1，使用数学软件观察直线上的动点Q的坐标和P，Q两点间的距离的实时变化情况. 通过观察代数区的PQ的度量值和数量积的结果，观察距离达到最短的位置，以及这个最短距离是何时出现的. 在完成直观理解后，即可过渡到计算环节.

例1 一条直线的向量方程为[xyz=111+t135，t∈R，]

求点[P-3，-1，4]到这条直线的最短距离.

教师先让学生自行思考如何得出最短距离，学生得到方法1.

方法1：使用直线上的点Q的坐标（带参数[t]），计算点P和点Q之间的距离，该距离是关于[t]的函数（此处是二次函数），要求的是这个函数的最小值. 学生可以利用二次方程的求根公式求出最短距离. 使用此方法可以同时计算出参数[t]的值，以便找到产生最短距离的直线上的相应的点.

若学生仅止步于当前方法，则有必要引导学生进一步探索，考虑采用向量方法求解问题. 下文提供三种可能的向量方法作为参考. 值得注意的是，方法3和方法4中均融入了投影向量的核心概念，意在拓宽学生的解题思路和技能应用的范围.

方法2：当我们自某一点向一条直线作垂线时，该垂线段即代表了点到直线的最短距离. 为此，我们可以利用直线的方向向量与从点P出发至直线上任意一点所形成的向量的数量积，并令此数量积为0，求解出对应的参数值，进而确定垂足在直线上的坐标. 随后，基于该垂足的坐标与点P的坐标，即可计算出所需的最短距离.

方法3：选择直线上的任意一点Q. 假设直线的方向向量为[m]，那么该点到直线的最短距离就是[PQ×mm].

方法4：给出一个垂直于给定直线的向量[n]，然后选择直线上的任意一点Q，则从点[P]到该给定直线的最短距离是[PQ ∙ nn]. 在三维场景中， 直线与不在其上的任意一点必然共同确定了一个平面，向量[n]必须在这个平面上. 在二维场景下，这是一种很方便的方法.

以上四种方法展示了解决问题的不同方案，更为重要的是，揭示了不同知识点之间的联系，帮助学生更好地理解了数学知识的结构性和整体性. 具体过程和计算结果略.

（2）两条平行直线之间的距离.

在引导学生自主探索这一问题的过程中，学生可能会迅速洞察到，通过选取直线上任意一点，能够将原问题转化为点到直线的距离问题. 这一过程不仅彰显了学生知识迁移与应用的能力，也体现了数学中化归思想的精髓——将复杂问题简化为已知或更易处理的形式. 此外，学生还可能展现出创新思维. 例如，他们可能会通过构造同时垂直于两条给定直线的向量，推导出同时垂直于两条平行直线的一条新直线的方程，并据此计算两个交点间的距离，从而得到两条平行线间的距离. 这一环节7/V4oby/Y72eetetREGSN4sWWkS01xRc1wUImFpIwuQ=的设计体现了教学过程的一个重要特点，即双边性. 它意味着教学过程是教师和学生、教与学的双边互动过程，是教师指导学生学习的过程. 教师和学生，教和学，既相互对立又相辅相成. 教师的教是为学生的学而存在的，教的有效性仅仅表现为对学的有效引导. 在教学过程中，学生根据所学内容和方法，主动提出解决方案的过程正是数学素养得到培育的有效表征.

（3）点到平面的距离及其拓展.

① 点到平面的距离.

教师继续考虑使用实物和数学软件进行两次演示. 教师通过演示操作或者邀请学生参与活动，使用绳子丈量一个点到纸板（一个平面）的距离，从而让学生直观感受到在过点作平面的垂线的情况下距离最短. 同时，让学生感受到，点到平面的距离的本质仍然是点与点之间的距离. 此时，再次利用数学软件便捷、实时地展示两点间的距离，帮助学生在直观上理解点到平面的距离何时最短，如图2所示.

在图2中，通过观察代数区的PQ的度量值和数乘的结果观察何时距离达到最短，以及这个最短距离是在何种情况下出现的. 在完成直观理解后，即可过渡到计算环节.

这里的数学软件的使用方法与点到直线的情况是类似的，主要是通过观察两点间距离的变化和位置关系来增强认识，为后续计算做好铺垫. 教师可以指导学生探究解决此类问题的一般方法，具体问题由学生练习，以加深印象.

对于平面[ax+by+cz=d]，其法向量为[n=abc]. 点[Px0，y0，z0]到此平面的最短距离的求解方式如下.

方法1：先求得垂直于平面的直线方程[xyz=x0y0z0+]

[tabc]，然后找到这条直线与平面的交点（垂足），从而求出该点到平面的距离.

方法2：在平面上找任意一点Q，则最短距离为[PQ ∙ nn].

教师可以鼓励学生体验第二种方法的“妙”处：它跳过了找产生最短距离的点的具体位置的过程，使用现成的数量积工具直接求得最短距离.

例2 求从点[-3，1，4]到平面[x+y-3z=-3]的距离.（解题过程略.）

② 拓展.

接下来，顺势深入探究直线与平面间距离的度量问题. 在此过程中，教师启迪学生：此类问题可以巧妙转化为点到平面的距离进行求解. 使学生再次深刻体会数学中化归这一核心思想方法的精妙之处.

随后，进一步拓展至对两个平行平面间距离的探讨. 同样地，教师可以借助实物模型和数学软件的综合演示，直观展示平行平面间距离的定义，以促进学生的深刻理解. 从方法论的角度出发，可以先在任一平行平面上选定任意一点或一条直线，随后将问题转化为求解该点或直线到另一平行平面的距离问题，这一转化过程再次彰显了化归思想的魅力. 另一路径是构造一条同时垂直于两个平行平面的直线，确定其与两个平面的交点（即垂足），随后计算这两个垂足之间的距离，从而得到两个平行平面之间的距离. 此方法与先前求解两条平行线之间的距离所采用的垂线法有异曲同工之妙，实质是将该方法“迁移”至立体几何的情境中，体现了数学知识与方法间的内在联系与灵活运用.

（4）异面直线的距离.

这一部分是距离主题的第一个“重头戏”：探索两条异面直线之间的距离，以及最短距离出现的位置. 教师可以用实物和GeoGebra软件进行两次演示. 首先，教师利用教学辅助道具展示两条异面直线的空间位置，也可以让学生直接参与动手操作，帮助学生直观理解和想象两条异面直线间的最短距离可能会出现在哪里，几次尝试之后应该会有很好的效果. 其次，使用数学软件直观展示最短距离出现的位置，以及最短距离的长度，具体如图3所示. 其中，PQ的长即是连接两条异面直线上任意两点的线段的距离.

最后，教师使用图4解释：两条异面直线之间的最短距离来自于一条同时垂直于两条异面直线的线段，它的长度小于连接这两条异面直线的任何其他线段之长. 进一步，教师通过一系列逻辑推理和作图过程说明这条线段的唯一性.

通过例3，使用代数方法求出最短距离在两条异面直线上产生的位置.

例3 找到异面直线[r1=123+m101]和[r2=231+n12-1]

之间的最短距离，并给出产生最短距离的两条异面直线上的点的坐标.（解题过程略.）

（5）球面距离.

球面距离的求解是距离主题教学的第二个“重头戏”. 目前，球面距离虽然不在《标准》的覆盖范围内，但是作为主题教学的内容仍然是非常合适的，有利于培养学生对概念的理解、直观想象和逻辑推理能力. 从建立合适的图形出发进行推理，便能够很快给出球面距离的定义，学生也能够根据给定的方法迅速求解各类题目. 但是，笔者认为，一定要在球面距离定义的生成中多花些时间，而不是匆匆略过. 通过多种方法，特别是借助信息技术帮助学生自然生成对球面距离定义的理解至关重要，这是让学生体验“从0到1”的又一次机会.

① 普遍做法.

针对这个教学难点，一种普遍且高效的做法是在极短的时间内，甚至不足一分钟，教师便能够完成一整套逻辑推理过程：球面上连接两点的圆中，半径越大的圆，这两点之间的劣弧长度越短，而球面上的圆的半径最大的圆就是大圆，因此，连接两点的大圆产生的劣弧长最短，这个长度被定义为这两点间的球面距离.

这样的推理过程确实是高效的，对于思维能力强的学生来说，或许是很容易理解的. 但是对于大部分学生而言，这样的讲解或许还是太快了，容易导致学生跳过对这个问题的思考和对方法的理解，直接开始计算以迅速得到答案. 笔者认为，需要厘清球面距离的概念对于学生的挑战到底在哪里.

② 疑问与应对.

这里有四个关键点需要授课教师进行周到考虑和回应. 对于这四个关键点，如果仅进行口头解释，或许对教师的语言驾驭能力要求很高. 另外，就算教师解释得很充分，学生也未必能够理解. 如果借助数学软件，设计数学活动过程，让这里的教学适当“慢”下来，需要备课时花较多的时间和力气，但是能够收到较好的认知效果.

关键点1：度量球面距离的曲线为何必须出现在同一个平面上？（以产生大圆或小圆.）

为了帮助学生理解这个问题，可以设计一个学生动手操作的过程，提高学生的参与度. 例如，可以让学生使用地球仪、绳子等物品对球面上两点间的距离进行手动测量，从而获得直观的感受. 甚至可以策划一个测量两点间各种距离的活动，这样的设计能增加学生的直接活动经验，有助于加深学生对概念的认识.

关键点2：平面和球体相交产生的面为什么是个圆？

针对该问题，可以先通过数学软件进行直观演示（如图5），然后进行严格证明（略）.

关键点3：既然产生不同球面距离的小圆和大圆并不在同一平面上，那么用图6进行推导求解的依据是什么？

针对该问题，可以借助数学软件设计实验收集数据，从而进行分析、比较，获得直观上的感受. 这里，使用GeoGebra软件在球面上收集经过某两点的各大圆和小圆的相关劣弧和对应半径的长度，并利用软件作出两者的散点图（如图7），从而理解为什么经过两点的大圆的劣弧可以作为球面上两点间的最小距离，并被定义为球面距离. 这样的工作也可以使用手工进行，但测量难度大，误差大，可信度较低. 相比而言，信息技术的使用提高了测量的效率和数据的可信度. 不管是通过手工测量还是使用数学软件，后续都需要对大量数据进行分析，这种能力的培养也是《标准》强调的数学核心素养之一.

关键点4：为什么小圆的劣弧比大圆的劣弧更长？

对于该问题，可以先通过数学软件进行观察（如图6），再由学生在此基础上对“在所有连接了这两点的球面上的圆中，大圆的劣弧最短”这一结论进行严格证明.

在逐步生成对球面距离定义的深刻理解之后，具体的球面距离的解法是常规性教学方法，余弦定理、扇形、弧长、圆心角、弧度制等数学知识，纬度、经度、本初子午线等地理知识，在这里都得以应用，具体解法略.

3. 对案例设计的回顾

本案例以距离概念为核心，以向量主题为引领，结构化地设计了课程内容. 同时，充分利用数学软件展示了距离的变化过程，补全了传统手段的短板，从而帮助学生发展了几何直观，提升了空间想象能力，感悟了“最短距离”的本质.

这个主题案例的设计是在向量知识的基础之上，使用“距离”这个主题串联了很多不同的知识和技能. 其中，除了球面距离之外，重点是用向量计算各种距离问题. 从中可以看出，方向向量和平面的法向量对于使用向量解决距离问题非常重要；可以积极使用数量积和向量积的方法求解距离；直线的参数形式在求解距离问题时非常有用；这些距离问题是相互关联的，问题之间有时可以相互转化. 在球面距离部分，因涉及跨学科（地理）知识，教师还可以采取“翻转课堂”的模式，在课前给出预习材料，从而提高课堂教学效率，降低跨学科教学的难点，加深学生的理解.

这个主题案例的设计并没有局限于传统的讲授方法，通过让学生参加、动手操作等方式加强了其对距离问题的理解，而恰到好处地使用数学软件使得解释变得更加生动直观，也使得数学课堂更加吸引学生，特别是帮助学生发展了直观想象素养.

另外，在这个主题案例的设计中，教师有意淡化计算，强调了对方法的生成性探索和对知识的自主建构，符合《标准》对培育学生数学核心素养的期待和要求.

三、总结

《标准》不仅重视学科大概念、课程内容结构化、主题引领，也希望通过信息技术的运用，实现传统教学手段难以达到的效果，从而优化课堂教学，发展学生的几何直观能力. 这个主题案例较好地响应了《标准》的以上要求.

主题案例的设计还需要搭好适合不同学生的“脚手架”，做到差异化教学：素养能力强的学生在课堂活动中有机会直接验证自己的想法；素养正在发展过程中的学生，能够根据教师的指引逐步打开思路，发展自己的想象能力和抽象能力.

在充裕时间的保障下，课堂活动需要积极探索让学生亲自动手操作数学软件的实践模式，鼓励学生自主发问并借助数学软件进行深入探索，以此作为促进学生数学素养全面提升的重要途径. 值得强调的是，数学教学中引入数学软件的目的，绝非仅为课堂形式之美化，而是旨在精准填补单纯口头讲授或图形示意难以触及的知识或思维盲区，成为辅助学生深化概念理解、掌握关键技能的得力工具，尤其是在增强直观感知能力方面，信息技术能够发挥不可替代的作用. 更为关键的是，此类教学模式应该致力于引导学生实现对数学概念和思想方法“从0到1”的认知飞跃，而非局限于对既有公式与方法的机械重复与熟练记忆. 通过精心设计教学案例，从根本上激发学生的数学核心素养，帮助他们成长为具备创新精神和实践能力的新时代人才，鼓励他们勇于探索未知，开启新的篇章.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］钟启泉，汪霞，王文静. 课程与教学论［M］. 上海：华东师范大学出版社，2008.