高中数学与物理融合课的课例研究

摘 要：该课例是将数学知识应用到高中物理中单摆的数学建模，形成跨学科的一次教学实践活动. 学生体会到了数学建模的基本思路和方法，也体会到了数学与物理之间的紧密联系.

关键词：数学建模；牛顿第二定律；机械能守恒；微分方程

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）05-0039-03

引用格式：李振涛，王淑玲. 高中数学与物理融合课的课例研究：利用数学建模探究单摆的周期性［J］. 中国数学教育（高中版），2024（5）：39-41.

一、概述

1. 问题分析

数学建模是建立在数学知识与实际现象之间的桥梁，首要的工作是设法用数学的语言表述实际现象，所以要把实际问题尽量地使用数学语言进行重新描述. 因此，要充分了解问题的实际背景，明确建模的目标，尽可能厘清研究对象的特征，并为此搜集必需的各种信息或数据. 要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素，初步确定用哪一类模型.

2. 模型假设

合理假设是与问题分析紧密衔接的又一个重要步骤. 根据对象的特征和建模目的，在问题分析基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化，并使用精确的语言作出假设，这是数学建模过程中至关重要的一步. 一个实际问题往往是复杂多变的，如果不经过合理的简化假设，将很难转化成数学模型；即便转化成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型，从而使建模归于失败. 当然，假设不合理或过分简单同样会与实际相去甚远. 一般地，作出假设时要充分利用与问题相关的学科知识，充分发挥想象力和观察判断力，分清问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素.

二、问题假设

人教版《普通高中教科书·物理》选择性必修第一册（以下统称“教材”）在处理单摆问题时，做出了如下假设.

（1）研究单摆时还有一个条件：与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气对它的阻力可以忽略. 为了更好地满足这个条件，实验时我们总要尽量选择质量大、体积小的球和尽可能细的线.

（2）如果细线的长度不可以改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆. 单摆是实际摆的理想化模型.

从上面可以发现，单摆的运动规律和周期公式是在一系列的假设条件下得到的一个近似公式，是在实验的基础上得到的. 这些假设相当于数学建模中对实际问题的一系列简化，为数学建模奠定了基础.

三、问题研讨

结合单摆的学习提出以下问题.

问题1：高中物理中研究单摆的周期性进行了哪些假设？能否说出这些假设的合理性？

问题2：知道位移怎样求出速度？知道速度怎样求加速度？反过来讲，知道速度如何求位移？知道加速度如何求速度？

问题3：教材中采用什么方法得到了单摆的周期公式？

问题4：从牛顿第二定律和能量守恒角度，你能利用数学建模推导单摆的周期公式吗？

学生回答问题小结.

对于问题1，学生的回答如下：单摆的摆角较小；没有考虑空气的阻力；细绳不会发生变形.

对于问题2，学生由导数的知识很快可以解答，位移求导是瞬时速度，速度的积分是位移，这是一个逆运算；同理，速度与加速之间的关系也可以类比得到. 而且位移的二阶导数是加速度.

对于问题3，学生从教材中可以得到这是一个简谐振动，教材中给出了数学证明；单摆的周期性是通过实验得到的，周期公式怎样得到的没有办法说清楚.

对于问题4，学生表示没有从这个角度思考过，也没有想过还能够从数学建模的角度进行证明，也不知道如何从数学建模的角度进行证明，教学停止在这里.

这说明数学建模和物理的结合是一个比较薄弱的环节，学生没有从数学的角度进行过有效思考. 下面是数学教师的教学过程.

四、数学建模过程

1. 一个重要的不等式

当[0<α<π2]时，求证：[sinα<α<tanα].

证明：以单位圆O的圆心为坐标原点，建立如图1所示的平面直角坐标系.

设角[α]的终边OP与单位圆O交于点 P.

过点P作 x 轴的垂线，垂足为点 A，单位圆与 x 轴交点为 C，过点C 作单位圆的切线交OP于点D，

则有[S△POC<S扇形POC<S△DOC].

所以[12OC · PA<12OC2 · α<12OC · CD].

所以[sinα<α<tanα]成立.

由图1可知，当[α→0]时，[sinα≈α].

2. 利用牛顿第二定律推导单摆周期的建模

设摆长为l，小球质量为m，小球受力为重力mg和绳子的拉力T，建立如图2所示的平面直角坐标系. 拉力T 可以分解为垂直方向和水平方向的两个力.

设摆线 l 与 y 轴在某时刻的夹角为θ.

根据牛顿第二运动定律[F=ma]，可以列出小球在x 轴和 y 轴两个方向上的运动方程.

x 轴方向的微分方程为[max=Tθsinθ].

因为[sinθ=xl]，所以[max=mx=-Tθxl].

同理， y 轴方向的微分方程为[may=my=Tθcosθ-mg.]

由重要不等式，可知cos θ ≈ 1，[y]≈ 0，方程[may=][my=Tθcosθ-mg]可以近似表示为[0=Tθ-mg].

所以[Tθ=mg].

带入[max=mx=-Tθxl]中得到[mx+mgxl=0].

化简，得[x+glx=0]，即为简谐振动的微分方程.

3. 利用机械能守恒定律建模

重物的机械能可以分为动能和势能，即E = E动 + E势. 在重物摆动的过程中，其机械能保持不变，为一恒定常数，而动能E动 =[12]mv2（m为重物质量，v为速度），E势 = mgy. 建立如图3所示的平面直角坐标系，x 轴为 0 势能，则任意点 P 处重物高度为 y.

质点在点P时的势能E势 = mgR[1-cos θ]. 其中，R[1-cos θ]即为图3中的 y，也就是点P相对于 x 轴0势能时的高度. 显然，当θ = 0时，E势 = 0，当θ =[π2]时，E势 = mgR. 所以势能是关于θ的函数.

物体的速度也是关于θ的函数，[vθ=dsdt=Rdθdt=][rθ]，式中ds为图3中dθ对应的弧度，有ds = Rdθ. 因为[dθdt=ω]即为角速度，所以根据机械能守恒定律有E = E动 + E势 =[12]mv2 + mgh =[12]mR2[θ]2 + mgR[1-cos θ].

当 θ 较小时，由重要不等式知1 - cos θ =[2sin2θ2]≈[θ22].

带入E =[12]mR2[θ]2 + mgR[1-cos θ]中，可以得到E =[12]mR2[θ]2 + mgR[θ22].

两边求导，得[0=mgR2 · θ · θ+mgr · θ · θ].

化简，得[θ+gRθ=0]，即为简谐振动的微分方程.

五、模型的求解

从简谐振动的微分方程[x+glx=0]与[θ+gRθ=0]我们可以看到，通过合理的近似计算，从不同的角度得到了相同的表达式. 解决微分方程[x+glx=0]与[θ+][gRθ=0]是高中生的一个困难. 从学生已有认知出发，引导学生对[fx=Acosωx+φ]和[fx=Asinωx+φ]求n阶导数，发现其中的规律.

学生发现[fx=Acosωx+φ]和[fx=Asinωx+φ]会出现周期性的变化，每求导两次，除去系数外会重复出现[cosωx+φ，sinωx+φ]，所以利用[fx=]

[Acosωx+φ]或[fx=Asinωx+φ]可以求解微分方程[x+glx=0]与[θ+gRθ=0].

选择[fx=Acosωx+φ]带入微分方程[x+glx=0]和[θ+gRθ=0]中，得到[x=Acosωt+φ]，其中，由[ω=gl]三角函数的周期求法可以求出单摆的周期[T=2πlg]. 解的物理意义很明确，A是最大振幅，ω是角速度，φ是初相角.

六、小结

这是一次数学与物理的融合课，将数学与物理进行了有效衔接，将物理课程中能作以解释的结果通过数学建模的方式展现给学生. 在推导单摆的周期公式的过程中，充分利用了三角函数的工具性作用，将重要的不等式[sinα<α<tanα0<α<π2]融入研究单摆的近似计算过程中，有效融合了物理与数学的学科知识. 从学生的反应来看，他们感觉到非常神奇，一个通过物理实验得到的结论居然可以通过数学建模进行数学化推理与证明. 虽然在推导过程中采用了近似计算方法，看似不是很精确，但是这正是微积分的“威力”所在. 利用两种方法进行推导的过程，最终揭示了单摆的周期 T 与摆动角度 θ 是无关的，因而该公式即为理论推导结果. 至此，学生才真正理解单摆的周期公式是怎样推导出来的. 当学生看到简谐振动的微分方程[x+glx=0]与[θ+gRθ=0]时，流露出非常惊讶的表情，这两个表达式完全相同，而建模的角度不同，从中可以体会到数学的简洁之美和揭示事物本质的功能，启迪学生深入理解数学在物理及其他学科和生活中的广泛应用，从中体会到了数学与物理之间的联系，培养了学生的理性思维和科学精神.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］中华人民共和国教育部. 普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.