经历“再创造”过程落实核心素养

摘 要：“再创造”是弗赖登塔尔数学教育思想的核心理念，经历“再创造”的过程是落实核心素养的有效途径. 以指数函数的图象和性质为例分析“再创造”的过程，明晰情境创设是“再创造”的触发器、问题引领是“再创造”的助力器、素养培育是“再创造”的落脚点.

关键词：“再创造”；核心素养；指数函数

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）05-0032-04

引用格式：柳雨萱，陈碧芬. 经历“再创造”过程落实核心素养：以“指数函数的图象和性质”为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（5）：32-35.

一、问题提出

教育部在《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中强调要将“研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准”作为课程改革着力推进的关键领域和主要环节.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养.”数学核心素养在基础教育中的重要性不言而喻，那么在实际教学过程中究竟该如何落实数学核心素养呢？作为弗赖登塔尔教育思想的核心理念，“再创造”对数学教育有着深远的影响. 经历“再创造”的过程可以有效促进数学核心素养的落实. 虽然“再创造”在教学中早有运用，但仍然存在许多问题. 例如，在教学人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册中的“4.2.2 指数函数的图象和性质”时，教师往往会在探究活动开始前就将问题呈现给学生，即定义域、值域、单调性、奇偶性等，再让学生在此基础上展开讨论. 看似是学生的自主探究活动，实则学生只是按部就班地完成既定内容.

基于上述认识，本文以“指数函数的图象和性质”教学为例，进一步思考如何经历“再创造”的过程落实核心素养.

二、对“再创造”的理解

1.“再创造”的概述

弗赖登塔尔认为，学习数学唯一正确的方法就是实现“再创造”. 教师应该将“再创造”的理念贯彻于数学教育之中，通过情境创设、问题引领、反思总结等过程，引导学生自主思考、自由探索，经历知识形成的过程，从而建构自己的知识框架. 但是需要注意的是，这一过程并不是完全的再现历史，而是站在巨人的肩膀上再创历史. 不难看出，“再创造”教学模式更重视知识结构的内在逻辑联系，强调学生根据自己已有的知识和经验，用自己的思维方式把前人已经创造过的知识重新创造一遍.

2.“再创造”与核心素养

随着核心素养在数学教育中的地位不断提高，知识建构层面的“再创造”教学显然不能满足当前对素质教育的需求，亟须对“再创造”进行深度挖掘，用当前的教学理念重新解读，发掘其与核心素养的内在联系.

文献［3］指出，在中小学数学课堂教学中，需要教师引导学生亲身经历数学化的过程，获得理解性掌握，在获知过程中提升数学核心素养. 可见，对“再创造”的认识已经开始从知识维度向素养维度提升. 对基础知识和基本技能的掌握是落实数学核心素养的前提，也是经历“再创造”过程所要达到的基本目标. 此外，“再创造”强调“教学是一种活动”，在教师的引导下学生能够积极参与、自主探究，在教学活动中培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，在深入理解知识的过程中掌握数学方法、形成数学思维，在潜移默化中由知识积累转向素养提升.

三、“再创造”的教学过程

由上述分析可知，“再创造”是落实核心素养的有效途径. 那么，针对当前教学中存在的问题，应该如何设计指向核心素养提升的“再创造”教学呢？弗赖登塔尔认为，数学化的过程可以分为五个层次：直观阶段、分析阶段、抽象阶段、演绎阶段、严谨阶段.“再创造”教学的核心是“数学化”的过程. 因此，“再创造”的教学过程可以划分为以下几个环节：直观感悟、分析探讨、抽象概括、逻辑推理、反思重构.

下面以“指数函数的图象和性质”的教学为例呈现各个环节的教学过程.

环节1：直观感悟.

直观感悟即通过创设情境，让学生在具体情境中直观感知所学内容，并形成初步的认知. 核心素养指在特定情境中表现出来的知识、能力和态度，运用合适的情境展开教学有利于学生感悟和形成核心素养，让学生直观感知数学之美和数学之深奥.

数学化可以分为横向数学化和纵向数学化两个维度. 教师在创设情境时可以从横向和纵向两个维度出发进行设计. 横向情境以现实世界为背景，凸显生活数学化. 例如，在学习指数函数的概念时，可以通过折纸问题和银行利息问题中的指数函数搭建指数函数与现实生活之间的桥梁. 纵向情境以已有的数学知识为背景，对某一知识进行深入拓展，凸显新、旧知识之间的联系或引发认知冲突，进而引出新的问题. 例如，基于之前幂函数的学习经验，在学习完指数函数的概念之后对其性质展开讨论，是总结出的函数学习基本思路；通过图象呈现的特点研究函数性质，是在幂函数学习基础上形成的函数研究方法.

问题1：前面已经学习并掌握了一个新的函数概念，即指数函数. 结合之前幂函数的学习经验，学习完函数的概念之后需要进一步研究什么呢？

问题2：具体地，我们需要研究指数函数的哪些性质？在探究过程中，这些性质可以用什么方法更为直观地呈现出来呢？

【设计意图】以幂函数的学习经验为背景创设纵向数学情境，通过教师的引导让学生将幂函数的学习经验迁移至指数函数的学习中. 不设限地让学生自由思考可以研究的性质内容，在潜移默化中加深学生对“函数基本性质”内容的理解与掌握. 在明确探究目标和研究内容之后，让学生自主选择合适的研究方法. 在激发学生主动性的同时，增强学生数形结合的函数意识，促进学生形成函数思维.

环节2：分析探讨.

分析探讨即在新的情境中，学生如何在教师的引导下运用已有的数学知识和学习经验分析问题和解决问题. 学生数学核心素养的形成和发展，是在教师的启发和引导下，通过独立思考或者与他人交流，最终自己“悟”出来的.

在教学中应该倡导“有指导的再创造”. 教师不再是简单地传授知识，而是引导学生创造知识，这需要在让学生进行自由创造的同时不失教师的约束，从而保证学生不失偏颇地经历知识形成的过程. 具体体现在：在教师的指导下，面对新情境时，学生怎样运用已有的知识结构分析问题和解决问题，并发现和概括出新知识. 在这一过程中，要防止“教学法颠倒”，即无视学生思维发展的过程，在开始探究前就将探究结果呈现在学生面前，以此为基础让学生开展探究活动. 例如，在学习“指数函数的图象和性质”时，教师往往会通过呈现一个细目表的形式让学生进行填空式探究. 在这一过程中，学生并没有真正地进行创造，而是按部就班地完成教师预设好的每个环节. 教学的目的是希望学生能够自主思考，单纯让学生鹦鹉学舌地复述所学的现成的知识，当然不能令人满意.

问题3：在研究函数的性质时，我们往往从特殊的函数图象中总结出一般性的结论. 自由选择你认为合适的指数函数模型进行研究，能够得到哪些结论呢？

【设计意图】“有指导的再创造”关键在于让学生在不设限地思考的同时不失教师对研究方向的正确引导. 在上述环节的设计中，让学生自主选择研究的指数函数模型而不是教师给出研究对象. 通过选择研究对象，让学生意识到对底数进行分类讨论的必要性，以及培养学生数学思维的严谨性，符合学生思维发展的过程.

环节3：抽象概括.

抽象概括即通过符号运算、形式推理、模型建构等数学方法，理解和表达现实世界中问题的本质、关系和规律. 数学抽象凸显了数学一般性的基本特征，抽象的过程就是由特殊到一般的总结过程，就是揭示普遍规律的概括过程. 让学生的经验性认识转化为具有普遍性的数学认知，这一抽象过程是引导学生实现数学化的关键环节.

文献［6］将数学抽象分为简约阶段、符号阶段和普适阶段. 经过上述环节，学生可以达到简约阶段的要求，即将所探究的内容用自己的语言表述出来. 符号阶段和普适阶段的达成则需要在具体的抽象过程中逐步完成. 教师应当通过教学引导学生创造出抽象的过程，只有经历完整的逐步抽象的过程，才能感知数学语言的简洁性和严谨性，并提升数学抽象能力. 数学语言是表达数学思维的最佳载体，能用数学语言表达世界是数学核心素养的重要内涵，能够用数学语言直观地解释和交流数学的概念、结论、应用和思想方法是数学核心素养对数学课堂教学的必然要求. 例如，在学习指数函数的概念时可以采用如下抽象过程：首先，用日常语言和实例中的指数函数模型来表示；其次，用简洁的语言概括指数函数的特点；最后，用抽象的数学符号给出指数函数的一般性模型.

问题4：是否可以总结所选的指数函数具有哪些性质？

问题5：在这些性质中，哪些是所有指数函数都具备的呢？

问题6：能否用数学语言简洁地表示这些性质？

【设计意图】通过连续的问题引导学生的抽象思维层层递进，符合学生认知的发展逻辑. 在经历完整的数学抽象的过程中，学生的数学抽象素养得到进一步培养.

环节4：逻辑推理.

逻辑推理指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养. 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质. 逻辑推理可以使得学生在经历“再创造”的教学过程后不断完善数学知识架构，是由知识积累转向素养提升的关键环节.

逻辑推理可以分为两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎. 通过归纳、类比让学生掌握解决一类问题的基本思路，明晰各个知识之间的关联，促进知识的迁移；通过演绎让学生在复杂情境中把握事物的数学信息，把握知识的发展脉络，学会有逻辑地分析问题和解决问题.

问题7：回顾幂函数的性质的验证方法，能否试着验证指数函数的性质呢？

问题8：能否比较[32]与[33]的大小？[30.2]与[30.3]的大小呢？从中你能发现指数函数的相关性质可以用来解决哪些问题吗？

【设计意图】基于幂函数的学习经验，将证明思路迁移至指数函数的性质证明当中，让学生形成性质证明的一般思路，为后续函数的学习作铺垫. 通过所举例子发现性质背后的实质，深化对函数性质的认识. 只有让学生对自己得出的结论加以证实，明确所学知识的价值，才能真正提升学生的数学能力，落实核心素养的培养.

环节5：反思重构.

反思重构即反思课堂所学内容，在完善知识架构的同时总结数学思想和数学方法，从而促进知识的积累转变为素养的积淀. 弗赖登塔尔认为，以反思为核心的数学教育才能使学生真正抓住数学思维的内在实质.

学生不仅要反思在课堂探究过程中存在的错误，还要反思本节课的学习可以总结出哪些数学通性通法. 例如，指数函数是高中阶段三大基本初等函数之一，承上启下，具有至关重要的作用. 让学生总结指数函数性质的探究思路，并与幂函数的学习经验进行对比，由此完善函数学习的通性通法，为后续对数函数的学习作铺垫.

问题9：你能总结出探究指数函数图象与性质的方法吗？这一方法是否具有普遍适用性？结合自己的函数学习经验进行说明.

【设计意图】经过幂函数和指数函数的学习，学生对函数的学习方法已经有了初步的认识，让学生自己总结经验，并验证其合理性，可以让学生学会反思、归纳，深刻体会数学知识的内在实质.

四、启示与建议

1. 情境创设，“再创造”的触发器

“再创造”以教师预设的情境为教学的基本前提，要求教师在学生已有的数学经验基础之上创设符合教学目标的情境，结合具体的案例，让学生通过经历知识形成的过程来感知所学内容，通过自己的思考和实践逐步培养学生的自主学习能力，形成数学思维，提升数学核心素养. 数学思维的发展是从问题情境开始的，数学核心素养的形成以问题的解决为出发点. 从幂函数的学习经验出发，通过纵向的数学情境加强新、旧知识之间的联系，让学生对指数函数性质的探究形成初步的构想. 情境的“再创造”不是简单的提出问题或举例子，而是要引导学生自觉、主动地思考，从问题情境中发现问题、提出问题和探索问题，并在此过程中激发学生学习的兴趣和积极性.

2. 问题引领，“再创造”的助力器

著名科学方法论学者卡尔·波普尔认为，正是怀疑、问题激发我们去学习，去发展知识，去实践，去观察. 问题可以非常有效地激发学生的求知欲，促使学生积极主动地进行探索. 通过“问题链”把握教学节奏、营造课堂氛围，层层递进地将整节课引向深入，为学生提供高水平数学学习的机会，培养学生自主完成任务的能力，也让学生有一定的探索空间. 学生回答问题的过程其实就是经历知识形成的过程，即在教师引导下主观“创造”知识4KWKrnaFzx9XUZcoaWitS/VfqbE2xXM/A4ntaSy+NpQ=的过程. 在解决问题的同时，感悟数学的基本思想，总结数学基本活动经验.

3. 素养培育，“再创造”的落脚点

许多研究者认为，弗赖登塔尔的“再创造”其实就是“做中学”. 然而，引导学生进行“再创造”的过程不仅是“做数学”的过程，更是由知识积累走向素养提升的过程. 在“再创造”的教学过程中，学生能够主动探究数学问题、应用数学知识于实践、建构数学知识，在学习活动中感知数学、理解数学、运用数学、掌握数学. 在“指数函数的图象与性质”的教学中，从迁移学习经验、形成研究思路，到自主探究、得出猜想，再到验证结论、反思总结，每一环节都需要学生主动思考、自主完成. 学生只有通过亲身实践才能真正形成函数思维，明确函数学习的通法，并深入掌握函数基本性质的实质. 经历“再创造”的过程，学生获得的不再只是知识层面的提高，还有素养层面的培育. 在数学教学活动中，通过创设合适的教学情境，感悟数学思想，积累数学思维经验，形成和发展数学核心素养，让“再创造”落点在核心素养的培育上，在新课改背景下焕发新的生机.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学［M］. 陈昌平，唐瑞芬，译. 上海：上海教育出版社，1995.

［3］孔凡哲，史宁中. 中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径［J］. 教育科学研究，2017（6）：5-11.

［4］史宁中. 高中数学课程标准修订中的关键问题［J］. 数学教育学报，2018，27（1）：8-10.

［5］王海青，曹广福. 弗赖登塔尔的数学教育思想及其再发展［J］. 中国数学教育（高中版），2021（11）：3-8.

［6］史宁中. 数学基本思想18讲［M］. 北京：北京师范大学出版社，2016.

［7］吴晓红. 基于核心素养的课堂教学诊断：以“指数函数”的教学为例［J］. 高中数学教与学，2020（19）：1-3，10.