命题视角下的试题分析及教学建议

摘 要：佛山市2023—2024学年高一上学期教学质量检测数学试题的命制延续了以往的特点，突出数学本质，强调理性思维，注重必备知识，考查关键能力，挖掘教材习题，讲究试题原创，保证试题质量. 整份试卷深耕细作回本源，教考衔接重能力. 基于试题命制的角度，从命题思想、试卷特点、部分试题评析（包括命题意图、追根溯源、作答情况、错误表现、错因分析、命题目标的实现度）等方面对该试卷进行了较详细的分析，最后根据命题心得和教学经验给出教学建议.

关键词：试题命制；试题分析；教学建议

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）05-0053-06

引用格式：黄志斌，钱耀周，李志刚. 命题视角下的试题分析及教学建议：以佛山市2023—2024学年高一上学期教学质量检测数学试题为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（5）：53-58.

一、命题思想

高一上学期的数学学习是整个高中阶段数学知识学习的基础. 在新课程标准、新教材和新高考的背景下，试题的命题思想转变为价值引领、素养导向、能力为重、知识为基. 紧跟这一命题思想，此次命题着重从必备知识和关键能力的考查上下功夫. 这也是近几年佛山市统考试题的特点.

试题的考查范围是人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“教材”）前四章及第五章的前3节，重点考查学生对数学知识、原理、定理、法则的理解与应用，以及逻辑推理、数学抽象、数学运算、数学建模等素养，既突出基础性和应用性，又体现了综合性和创新性. 试题紧扣教材例题、习题和高考试题，根据教材和高考试题深度改编或原创，难度适中，分值分布合理.

以下从试题的设计特点、命题意图、试题溯源、作答情况、错误表现、错因分析、命题目标的实现度等方面进行分析，结合平时的教学与考试给出教学启示和建议，以期达到立德树人和引导教学的作用.

二、试卷特点

首先，综观整份试卷，没有特别复杂的情境和形式，也不涉及特别烦琐的计算，淡化了复杂的运算技巧，更多的是从数学知识本质的角度出发设计试题. 整体上看，难度逐渐递增，梯度人性化，具有较好的区分度.

其次，依据教材例题、习题和高考试题精耕细作，突出知识原理的本质，注重关键能力的考查. 例如，第1题、第2题、第4题、第6题、第7题、第9题、第10题、第13题、第17题、第18题和第21题等的题源都是教材上的例题和习题.

最后，试题情境关注社会时事热点，注重数学知识的实际运用，试题的应用性和创新性较好. 例如，第12题、第15题、第20题和第21题等属于创新题或实际应用题.

三、试题评析

为了阐述试题命制的思路历程，下面撷取试卷中的部分试题进行分析.

题目1 （第6题）若函数[fx=ax2+x-1]在[-1，3]上恰有一个零点，则（ ）.

（A）[-29≤a≤2]

（B）[-14≤a≤2]

（C）[-29≤a≤2]或[a=-14]

（D）[-29≤a≤0]或[a=-14]

答案：C.

命题意图：该题是对教材习题的改编，考查了函数零点存在定理和含参方程根的分布. 教材习题意在引导学生在用函数零点存在定理时不要直接套用定理结论，要理解问题的本质. 在这里，如果学生直接套用[f-1f3<0]，则暴露了学生没有理解问题的本质. 首先，要分[a=0]和[a≠0]两种情况进行讨论，这考查了学生对一次函数和二次函数零点的区分能力；其次，当[a≠0]时，函数[fx=ax2+x-1]是二次函数，此时又分[Δ=0]和[Δ≠0]两种情况；再次，当[Δ≠0]时，还要注意到区间[-1，3]是开区间，区间端点也可以是函数的零点，因为取不到，所以另一零点刚好在区间[-1，3]内时也是符合条件的. 学生容易忽略这里面的几种类型和这几种类型之间的逻辑关系. 该题蕴含函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，对学生思维的严谨性有较高要求，体现了对数学运算和逻辑推理素养的考查，属于基础题，很好地体现了学生对数学知识本质和原理的理解.

追根溯源：（教材习题4.5第13题）有一道题“若函数[fx=24ax2+4x-1]在区间[-1，1]内恰有一个零点，求实数[a]的取值范围”，某同学给出了如下解答：

由[f-1f1=24a-524a+3<0]，

解得[-18<a<524].

所以实数[a]的取值范围是[-18， 524].

上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.

作答情况：平均得分3.64，难度系数0.728.

常见错误：在选错的学生中，大多数错选了选项A.

错因分析：错选A的原因是漏掉考虑[Δ=0]，[a=-14]的情况，此时零点为2. 特别地，当[-1]（或[3]）是函数的零点时，[a=2]（或[a=-29]），此时还有另一个零点[12]（或[32]）刚好在区间[-1，3]内.

命题目标的实现度：从得分情况和难度系数来看，大多数学生能够注意到易错点，该题命题目标的实现度比较理想，一定程度上起到了考查易错知识点的作用.

题目2 （第7题）给定数集[A=R]，[B=0，+∞]，[x]，[y]满足方程[x2-y=0]，下列对应关系[f]为函数的是（ ）.

（A）[f：A→B]，[y=fx]

（B）[f：B→A]，[y=fx]

（C）[f：A→B]，[x=fy]

（D）[f：B→A]，[x=fy]

答案：B.

命题意图：函数是高中数学的主线之一，函数的概念是一个非常重要的概念. 虽然学生在初中阶段接触过函数概念，但与之相比，高中阶段的函数概念要抽象得多，学生对函数概念的理解是一个难点. 该题的设计旨在考查学生对函数概念的理解，起点低落点高，注重学生对数学核心概念、重要原理和知识本质的理解，体现对逻辑推理和数学抽象素养的考查，属于基础题，很好地体现了对必备知识和关键能力的考查.

追根溯源：（教材习题3.1第16题）给定数集[A=R，B=-∞，0]，方程[u2+2v=0]①.

（1）任给[u∈A]，对应关系[f]使方程①的解[v]与[u]对应，判断[v=fu]是否为函数；

（2）任给[v∈B]，对应关系[g]使方程①的解[u]与[v]对应，判断[u=gv]是否为函数.

作答情况：平均得分2.66，难度系数0.532.

常见错误：在选错的学生中，大多数错选了选项A和选项D，少数错选选项C.

错因分析：对于选项A，当[x]取0时，没有[y]值与它对应，即违背了函数概念中的“任一”原则；选项D存在一对多的情况，违背了函数概念中的“唯一确定”原则；对于选项C，当[y≤0]时，没有[x]值与它对应，违背了函数概念中的“对应”原则.

命题目标的实现度：从得分情况和难度系数来看，超过一半的学生能正确掌握函数的概念，但是还有接近一半的学生未能掌握函数的定义，尤其对定义中的几个关键词（如任一、唯一、对应）所表达的特殊意义没有理解透彻. 该题的测试情况与命题意图基本吻合，起到了考查数学概念的作用.

题目3 （第8题）已知[2a=5]，[3b=10]，[4c=17]，则[a]，[b]，[c]的大小关系为（ ）.

（A）[a<b<c] （B）[b<c<a]

（C）[c<a<b] （D）[c<b<a]

答案：D.

命题意图：该题考查了指数形式和对数形式的相互转化，需要通过观察构造函数，利用函数的单调性比较大小，难度较大，对学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养，以及转化与化归的数学思想方法要求较高，具有一定的挑战性，属于综合性压轴题，具有一定的区分度，也具有很好的选拔功能.

追根溯源：（教材习题4.4第13（2）题）比较下列三个值的大小：[log23，log34，log45].

作答情况：平均得分1.62，难度系数0.324.

常见错误：在选错的学生中，错选选项A，B，C的均不在少数.

错因分析：一种情况是，对于这种结构形式相同的表达式，比较大小时，学生构造函数的意识不够或不会构造函数；另一种情况是学生能构造出函数，但不会判断函数的单调性.

命题目标的实现度：该题得分率比较低，属于综合性压轴题. 主要命题意图是体现区分度，突出选拔作用. 有接近三分之一的学生选对，命题目标的实现度较理想.

题目4 （第11题）已知函数[fx]满足：对任意[x∈R]，都有[f-x=-fx]， [f12-x=f32+x]，且

[f1=2]，则（ ）.

（A）[y=fx+1]为奇函数

（B）[f4-x=-fx]

（C）[fx]的值域为[-2，2]

（D）[k=019fk=0]

答案：BD.

命题意图：该题考查了抽象函数的奇偶性、单调性、周期性和对称性，对学生抽象思维、数形结合思想要求较高，属于综合性试题，体现对数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算素养的考查. 与以往的试题相比，该题最大的亮点是选项的设置. 学生对题干较为熟悉，但是设置选项A和选项B考查学生关于对称的认识加大了该题的难度. 选项C也是一个很强的干扰项，因为在平时讲题时，教师习惯性画直线段辅助分析，但是单调性未知时并不能求值域. 这提醒一线教师，在平时的教学过程中，应该尊重学科知识的严谨性和规范性，起到引领示范的作用.

追根溯源：（2018年全国Ⅱ卷·理11）已知[fx]是定义域为[-∞，+∞]的奇函数，满足[f1-x=f1+x]. 若[f1=2，] 则[f1+f2+f3+…+f50]等于（ ）.

（A）[-50] （B）[0]

（C）[2] （D）[50]

作答情况：平均得分2.09，难度系数0.418.

常见错误：有的学生错选选项C或者漏选选项D.

错因分析：错选选项C的学生，在平时做题时，习惯性画直线段辅助分析，其实单调性未知时并不能求值域；漏选选项D的学生是因为不能根据对称性求函数的周期，或者求不出所需要的某个自变量所对应的函数值.

命题目标的实现度：该题得分率较低，难度系数较小，属于函数性质综合题. 从得分情况来看，大多数学生只选择了选项B，区分度不是很理想，命题目标的实现度一般.

题目5 （第12题）已知全集为[R]，对于给定数集[A]，定义函数[fx=1，x∈A，0，x∉A]为集合[A]的特征函数，若函数[fx]是数集[A]的特征函数，函数[gx]是数集[B]的特征函数，则（ ）.

（A）[y=fxgx]是数集[A⋂B]的特征函数

（B）[y=fx+gx-fxgx]是数集[A⋃B]的特征函数

（C）[y=fx-fxgx]是数集[A⋂∁RB]的特征函数

（D）[y=fx+gx-2fxgx]是集合[∁RA⋂B]的特征函数

答案：ABC.

命题意图：要求学生能够画出Venn图，综合分析所给函数在各个区间的取值，或者根据列表得出结论，需要有一定的耐心，体现了对数学抽象和逻辑推理素养，以及分类讨论思想、分析问题的严谨性等的考查，属于创新性和综合性试题.

追根溯源：特征函数，狄利克雷函数[fx=1，x∈Q，0，x∉Q.]

作答情况：平均得分1.8，难度系数0.36.

常见错误：有的学生错选选项D，大多数学生只选择了A，B，C三个选项中的一个.

错因分析：一方面，有的学生对于创新题尤其第12题有一定程度的畏惧心理，采取猜一个选项的策略；另一方面，对于这类问题不能够较好地采取一定的处理方法（如列表穷举法）来处理.

命题目标的实现度：该题得分率低，难度系数小，对于学生心理素质、应变能力、思维能力等的考查比较到位，命题目标的实现度较好.

题目6 （第16题）已知[2x=11-3x]，[log26y-1=]

[4-2y]，则[x+2y]等于 .

答案：4.

追根溯源：（教材习题4.3第6题）求满足下列条件的各式的值：

（1）若[xlog34=1]，求[4x+4-x]的值；

（2）若[fx=3x]，求[flog32]的值.

命题意图：学生需要熟练掌握指数形式和对数形式的互相转化，需要以敏锐的观察能力找出两个式子之间的内在联系，采用同构函数，再根据函数性质应用数形结合思想进行求值运算，难度大.

作答情况：平均得分0.04，难度系数0.008.

常见错误：空白较多，很多学生通过猜测写答案，接近答案的有[log32]，[log34]，有的学生随便写了个数，写0，[12]，1，2，[e]，[ln2]的比较多.

错因分析：一方面，学生有一定程度的心理畏惧，采取猜写答案的策略；另一方面，学生缺乏敏锐的观察力，不能找出两个式子之间的内在联系，依此进行指数和对数的相互转化. 例如，由[2x=11-3x]，得[2x+3x-11=0]. 由[log26y-1=4-2y]，得[24-2y=][6y-1]，即[24-2y+34-2y-11=0]，进而采用同构函数[ft=2t+3t-11]来处理.

命题目标的实现度：该题得分率很低，难度系数非常小，难度过大，超过预期，命题目标的实现度不是很好.

题目7 （第21题）交通运输部数据显示，2023年中秋国庆假期（9月29日至10月6日）期间，营业性旅客运输人数累计4.58亿人次，游客旅游热情高涨，全国各类景区景点非常火爆. 据统计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元 / 人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍. 为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日均人数可增加[m]万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）.

（1）当[m=0.5]时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？

（2）当[m]在区间[0.6，0.8]上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应该如何确定门票价格？

命题意图：结合社会时事热点设置情境试题，考查二次不等式的相关知识，引导学生关注国家和社会形势，运用数学知识进行决策，分析和解决实际生活问题，让学生体会数学的意义和价值，培养学生学习数学的热情和兴趣. 考查应用函数与不等式知识解决实际问题、一元二次不等式解法、恒成立问题、不等式性质和函数最值等必备知识；考查分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想方法；考查学生用数学方法解决问题的能力、逻辑推理能力和数学运算能力；考查数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算等数学核心素养. 该题有难度，属于应用性、综合性试题.

解：（1）设票价为[x]元，[80≤x≤120]，日均营业额为[y]，

则[y=1×4+120-x10×0.5x=-0.05x2+10x≥495]，

即[x2-200x+9 900≤0].

解得[90≤x≤110].

因为[80≤x≤120]，

所以票价可以定90元、100元和110元.

（2）由（1），知[y=1×4+120-x10 ∙ mx=-0.1mx2+]

[12m+4x].

当[m]在区间[0.6，0.8]上变化时，总能使门票营业额超过520万元，即对于[∀m∈0.6，0.8]，总有[-0.1mx2+][12m+4x≥][520]成立.

所以[-0.1x2+12xm+4x-520≥0].

因为当[x=120]时，门票营业额为480万元，不合题意.

所以[80≤x<120].

从而[-0.1x2+12x>0].

设[gm=-0.1x2+12xm+][4x-520]，

则只需[g0.6≥0]，

即[3x2-560x+26 000≤0]，

解得[2603≤x≤100].

结合[80≤x<120]，得[m]在[0.6，0.8]上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，票价可以定90元和100元.

追根溯源：（教材“2.1 等式性质与不等式性质”问题2）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2 000本. 如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？

设提价后每本杂志的定价为[x]元，则销售总收入为[8-x-2.50.1×0.2x]万元. 于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为[8-x-2.50.1×0.2x≥20]①. 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.

作答情况：平均得分1.92，难度系数0.16.

常见错误：从阅卷抽样来看，主要有以下几类错误. ① 没有看清国庆接客量是平时的4倍，把4写成1；② 没有考虑门票每便宜10元时，旅游日均人数可以增加[m]万人，计算旅游人数时直接写成[4+m]万人；③ 第（1）小题直接按4.5万人算；④ 一元二次不等式的解法出错，直接将其当成方程求解，或者不等号取的方向不对；⑤ 不知道如何处理恒成立问题，没有分析单调性直接代入端点[m=0.6，m=0.8]计算.

错因分析：首先，不能读懂题意并提取主要信息，不会把题目中的主要信息翻译成数学语言和符号，找出主要关系；其次，不能根据题目要求把问题化归为常规问题，并选择合适的数学方法求解，如将第（1）小题转化成一元二次不等式模型，将第（2）小题转化为恒成立问题，再参变分离或者利用函数的单调性求范围（值）；最后，计算不过关，数学运算能力较弱.

命题目标的实现度：该题得分率低，难度系数小，难度大，主要命题意图是考查学生的综合能力，命题目标实现度较好.

四、教学建议

通过上述基于命题思想、试卷特点、部分试题评析（包括命题意图、追根溯源、作答情况、错误表现、错因分析、命题目标的实现度）等方面的详细分析，结合笔者的命题心得和教学经验给出以下教学建议.

1. 重视数学概念、原理、法则的教学

概念、原理、法则是知识的本源，是解决复杂问题的基础. 在平时的教学中，讲授新知识时，教师要讲清楚概念产生的背景和来龙去脉，以及解决问题过程中需要用到的原理和法则，让学生顺利地将新知识纳入原有的数学认知结构中，从而实现对新知识的理解和应用. 这才是学生学好高中数学知识的关键. 例如，对于第6题，学生很易漏掉[a=0]和[Δ=0]的情况，还有-1和3是零点7GMwdSd3u42gsbL/xzCChQ==但不在区间内，而另一个零点在区间内，也满足条件. 如果将该题设置成填空题则得分率会降低. 漏掉了这几种情况的一个重要原因是没有理解函数零点的本质，在应用零点存在定理时，只会套用法则，没有理解法则的原理. 再如，对于第7题，在讲函数的概念时，教师应该重点辨析关键词“非空数集”“任意”“唯一”“确定”“对应”，还可以分别举出具体的正例或反例进行讲解，学生才有可能透彻地理解并掌握函数的概念，否则学生仍然觉得抽象、模糊. 这也是第7题的命题价值. 切勿以讲题代替讲解概念、原理，切莫让讲题成为课堂教学的主流.

2. 立足教材，利用好教材上的例题和习题

教材依据课程标准编写，系统地反映了学科的知识内容，是教学最基本的依据. 教材上的例题和习题蕴含着对必备知识概念、原理和法则的进一步理解、巩固和应用. 教师要充分利用教材提供的例题和习题，并且有必要介绍例题和习题的知识背景，以及涉及的基本方法和技能，甚至可以适当挖掘，以联系更多相关知识点、方法和原理. 例如，第6题、第7题、第20题和第21题都来自教材，不仅包含学生对知识概念、原理、法则的理解，而且涉及基本的数学技能和思想方法.

3. 注重“双基”和通性通法的引导

体现学生对基础知识和基本技能掌握程度的一个重要方面就是考查学生将问题情境与数学知识联系起来的数学化的能力. 弗赖登塔尔认为，这种数学化的能力包括水平数学化和垂直数学化两个方面. 因此，在平时的教学过程中，讲解例题、习题和试题时，建议教师把某个题目与某类问题联系起来，把一个具体背景与一般情况下的知识背景联系起来，超越以题做题、以题讲题的层次，上升到通性通法的境界. 否则，学生做题就只能停留在模仿阶段，并未真正掌握题目与知识方法之间的逻辑关系. 例如，对于前文提到的教材习题4.4第13（2）题，可以引导学生探究函数[fx=logxx+1x>1]的单调性.

4. 加强对学生数学核心素养和关键能力的培养

整份试卷的设计突出考查了学生的关键能力，如逻辑推理能力（第11题）、运算求解能力（第16题）、数学建模能力（第21题）、抽象概括能力（第8题）. 数学能力不是一朝一夕就能获得的，需要长期的引导和培养. 而数学关键能力的培养离不开学生数学核心素养的形成，这就要求教师在平时的教学过程中渗透数学核心素养. 一堂课上完后，除了知识和技能外，如果学生能在“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”方面有所感悟和收获，那么这堂课应该是一节高质量的课.

5. 捋顺教考衔接的相互关系

捋顺教考衔接，实现以考促教、以考促学，把平时的教学与学生的考试衔接起来，注重培养学生良好的学习习惯，如耐心阅读审题、细心计算、规范书写表达等，并且要抓好落实，开展合理、适量的选题训练，掌握解题方法和考试策略，避免机械刷题和题海战术. 同时，研究课程标准、教材、评价体系、年度试题分析报告等，了解高考政策，把握复习备考方向，做到不偏不倚，这样才能使教学不偏离大方向.

参考文献：

［1］任子朝，陈昂. 加快高考内容改革 增强基础性和综合性［J］. 数学通报，2016，55（6）：1-3.

［2］黄志斌，周鸿高. 阅卷视角下的概率试题分析及教学启示：以2023年新高考数学全国Ⅰ卷第21题为例［J］. 中学数学研究（华南师范大学版），2024（5）：封二，1-3.