基于任务统领的概念课深度教学策略

摘 要：对概念教学中存在的重讲解、轻探究，重结论、轻过程，重单一、轻联系等问题进行了分析，提出了任务统领的概念课深度教学策略，分别是：单元内容分析，提炼分解任务；课时学情分析，明确任务难点；基于任务与目标的一致性，制定教学目标；基于任务解决的逻辑链，构建深度教学.

关键词：任务统领；概念教学；深度教学；数系的扩充；复数

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）05-0022-05

引用格式：李伟. 基于任务统领的概念课深度教学策略：以“数系的扩充和复数的概念”为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（5）：22-26.

一、概念教学存在的问题及分析

李邦河院士认为，数学根本上是玩概念的. 由此可见数学概念的重要性和概念教学的重要性. 在听课过程中发现，当前的概念教学中存在以下一些问题.

1. 重讲解、轻探究

概念课基本上都是教师讲、学生听，学生自主探究的机会少，自然会导致数学概念学习枯燥，效果一般. 教师对教的价值认识不够. 教是为了教会学生学习，重点在于学生的学. 因此，要上好概念课，教师就要做好任务探究的组织者、设计者和引导者，让学生自主构建探究、交流、反思的学习过程.

2. 重结论、轻过程

经常可以看到“一个定义、三个注意 + 大量练习”模式的概念教学. 学生死记硬背结论或定义，遇到陌生问题时便会束手无策. 教师对概念的理解及对概念教学的价值认识不到位. 概念的定义或结论仅是概念的符号表征，而概念的逻辑形式和意义才是概念教学的价值所在.

3. 重单一、轻联系

就概念论概念，忽视联系，导致概念孤立存在. 对概念的“为何学？学什么？怎么学？”关注不够；对新、旧概念之间的联系关注不足. 因此，要学好概念，学生就要立足单元整体视角，纵向联系，厘清“为何学？学什么？怎么学？”这些问题，提升理性思维；上好概念课，教师要开展深度教学，横向联系，促进概念知识网络的重新构建.

如何改善和转变？基于任务统领的概念课深度教学，是一种行之有效的方式.

二、基于任务统领的概念课深度教学

首先，任务源自对教学内容的提炼与分析，要想任务有效，势必要进行单元内容分析，这样才能更好地理解概念的本质，解决“为何学？学什么？”的问题；其次，一个真实情境的任务解决，必然要在“做”中学，要在探究、交流、反思等过程中自然展开；最后，对于任务的有效解决，必然要进行重点和难点分析，要攻坚克难，使概念教学的重点自然落实到位，难点能有效突破.

下面以人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册（以下统称“教材”）“7.1.1 数系的扩充及复数的概念”为例，通过借班上课实施“基于任务统领的概念课深度教学”的全过程，从单元内容分析、课时学情分析、任务与目标的一致性、任务解决的逻辑链四个方面展开具体阐述.

1. 单元内容分析，提炼分解任务

复数在数学研究中具有重要的地位，在科技领域扮演着重要的角色. 在此过程中，适当融入数学文化元素，让学生体会每一次数系的扩充都是与人类生产、生活发展密切相关的，感受思维与现实世界的矛盾与联系，凸显理性思维的作用.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出：“复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用. 本单元的学习，可以帮助学生通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义.”这是复数学习的知识明线，具体知识结构如图1所示.

根据单元内容分析可知，教材“7.1 复数的概念”一课就是围绕任务“描述复数是一种怎样的数”来展开深入研究的. 如何有序实施并完成该任务？首先，探究复数的起源. 复数的产生源于解方程中解决负数开方的问题，需要在实数系的基础上实现数系的扩充. 其次，数系的扩充解决了负数开方的关键[-1]这个基本单位，引入新数[-1=i]突破了“虚数单位”这个难点. 再次，形成复数的代数表示，归纳复数的概念；对复数的概念纵向联系、横向拓展，理解复数与实数的关系，理解复数是由实部和虚部共同确定的一类二元数，加深对复数概念的理解；在代数理解的基础上，类比二元数，探究复数的几何意义，复数既与复平面内的点一一对应，又与平面向量一一对应. 最后，深化应用复数的几何意义，理解复数的模、共轭复数的概念，以及同类模长的复数（即具有同样类型、性质、特征的与模长有关的复数）对应点的轨迹图形. 最终能从代数与几何两个方面描述复数是一类怎样的数.

根据上述分析进行任务分解，以任务的有序解决统领整个学习过程，发展学生的数学核心素养. 把任务、内容和过程有机结合，做到任务解决明确，过程逻辑清晰，具体如表1所示.

2. 课时学情分析，明确任务难点

根据上述内容及子任务，结合第1课时的内容进行学情分析，明确课堂教学的难点和策略，具体如下.

（1）学生已经具有数的概念，能理解集合的包含关系，能在实数集中求解方程. 但由于学生不了解数系扩充的原因，对数的生成和发展的历史规律没有深入思考，只知其果，不知其因，这正是子任务1的教学难点所在. 因此，教师应该借助合适的资源帮助学生了解数系的扩充历史，设置问题和活动引导学生探究数系扩充的规律. 借班上课的学生数学基础较弱，对于一元三次方程的求根公式，在形式和理解上都存在较大困难，不利于任务的聚焦. 基于具体学情，在复数引入时略过一元三次方程的求根公式.

（2）学生对虚数单位i的理解容易出现问题，导致后续对虚部的认识出现偏差，误以为bi是虚部，这正是子任务2的教学难点. 因此，教师要从具体到一般，帮助学生归纳理解“单位”的含义，突破“虚数单位”的理解困境.

（3）学生对复数的“虚”及不可触摸性，缺乏直观的感受，难以理解. 第2课时“复数的几何意义”从“形”的角度帮助学生直观理解“数”. 例如，复数与复平面内点的对应，复数与平面向量的对应等，点的坐标、向量的坐标都是由一个有序实数对共同确定的. 因此，子任务3的解决显得尤为重要，教师要引导学生认识到复数的本质是由实部和虚部两个实数共同确定的一类二元数，这为子任务4的解决和第2课时的教学做好了铺垫、打好了基础.

（4）学生对复数的认识容易停留在形式层面. 教师要立足单元整体，以任务为统领，通过情境、问题、活动等方式引导学生探究和思考，使学生知道为何学、学什么、怎样学，从而提升对复数概念的整体性、结构性、联系性和思想性认识.

3. 基于任务与目标的一致性，制定教学目标

基于内容分析的任务分解，在了解学情的基础上，有序设置适切性、针对性的第1课时教学目标，并进行目标解析，实现任务解决和教学目标的一致性，提升教学的有效性.

（1）教学目标.

① 通过观看数系扩充的视频，了解数系扩充的历史，感悟数系扩充的意义，体会数系扩充的一般规律；通过求解方程，重走数学家的研究道路，经历数系从实数系扩充到复数系的过程，理解引入复数的必要性.

② 通过对负数开方问题的分析和解决，理解引入虚数单位i的意义和运算规则，提升学生的逻辑推理能力和数学运算能力.（突破教学难点.）

③ 通过对复数的归纳，理解复数的基本概念和代数表示，提升学生的数学抽象能力.（突出教学重点.）

④ 能根据数系扩充的一般规律，知道复数与实数、虚数、纯虚数的关系；类比向量的概念，理解复数相等的含义，提升逻辑推理能力.

（2）目标解析.

① 能叙述数系为何要扩充及数系扩充的一般方法，能叙述从自然数系扩充到实数系的历史；感受数学是源于现实、又服务于现实的，是促进理解和改造世界的工具，体会数学家为追求真理做出的不懈努力.（对应子任务1.）

② 能说出负数开方要解决的关键是[-1]，理解[-1=i]是为了解决所有负数开方问题而引入的一个单位；明确解决问题的关键60vlc+M7QDvXfhI+8gCKrA==是对实数系进行扩充，增加新数，能叙述引进新数i的性质及历史.（对应子任务2.）

③ 能根据求根公式写出方程[x2-10x+40=0]的解及复数的代数表示，明确复数的代数表示中各部分的含义.（对应子任务3.）

④ 能利用Venn图表示复数、实数、虚数和纯虚数之间的关系，能说出实数、虚数和纯虚数的代数表示中实部、虚部的取值规律；能类比向量的概念说明复数不能比较大小，能写出两个复数相等的充要条件.（对应子任务4.）

4. 基于任务解决的逻辑链，构建深度教学

（1）创设情境，探究复数的起源.

子任务1：类比探究，感知方程解的问题与数系扩充紧密相关.

情境1：解方程[x2+1=0，x+1=0].

情境2：播放“数系的发展史”视频.

情境3：解下列4个方程，并完成表2.

问题1：在填表过程中，添加了新数，解决了什么问题？运算法则是否成立？

追问1：观察方程[x2-10x+40=0，x∈R]，如果用求根公式表示方程的根，会是什么形式呢？

师生活动：学生给出方程的根为[x=5±-15]. 师生一起研究发现若要使方程有解，负数要能开方才行.

追问2：前三个方程有解是不断扩充数系的过程，若要使第四个方程也有解，类比思考，应该如何解决？

【设计意图】情境1引起认知冲突，激发兴趣；情境2帮助回顾数系扩充的历史；情境3引导学生充分经历数系扩充的过程，通过问题1和两个追问，引导学生归纳数系扩充的方法和规律，明确问题的根本是解决负数的开方问题，初步感知数系扩充的需要. 教师聚焦子任务1，有针对性地进行情境设置、问题引领、活动实施等，让学生参与探究、交流、反思的学习过程，引导学生自然探究. 在该过程中，教师自然地成为课堂探究的组织者、设计者和引导者，能够帮助学生“学”，特别是让学生理解“为何学”.

（2）深入探析，突破“虚数单位”难点.

子任务2：归纳概括，理解“虚数单位”定义的合理性.

问题2：根据数系扩充的规律，引入新数，那么要解决什么问题？

追问1：若要定义某数的平方等于一个负数，是否要定义无数个数？

师生活动：教师呈现若干个数，如[-15]，[-11]，，[-8]，[-5]等，引导学生通过[-15=15×-1]，[-11=11×-1]，[-8=8×-1]，[-5=5×-1]归纳规律，得出任务的本质是解决[-1]的问题，理解[-1]是一个基本单位.

追问2：数学具有简洁美，它的定义也应该简洁. 我们只需要定义一个数的平方等于-1即可. 那么，这个数叫什么？用什么符号来表示呢？

师生活动：教师呈现PPT，解读复数的发展历史，对新数的命名尊重历史习惯. 法国数学家笛卡儿给新数取名为“虚数”，意思是“想象中的数”；瑞士数学家欧拉用imaginary（想象的，假想的）的词头“[i]”来表示虚数，使[i=-1]，即[i2=-1]；德国数学家高斯发展了复数理论，使复数的应用逐步广泛.

【设计意图】通过问题2和追问1，逐步引领学生思考如何引入新数，通过师生活动引导学生归纳推理出[-1]是所有负数开方的一个单位，初步感知虚数单位i与实数之间的运算；追问2及相应的师生活动，在尊重历史的基础上，引入了新数i，在[-1]是所有负数开方的一个单位的基础上，突破了虚数单位这个难点，引导学生理解了新数的运算法则，即实数[b]与i相乘记为[bi]，解决了负数不能开方的问题. 在子任务2的解决过程中，教师通过设置问题，立足整体视角，纵向联系数系扩充的经验，引领学生重走数学家的研究道路，像数学家一样思考，归纳概括，真正理解虚数单位i，知道为何引入，有何性质，明确学什么、怎么学才能合理有意义. 在概念教学的过程中，教师要有效发展学生的理性思维和创新思维，而不是只让学生知道虚数单位的性质是[i2=-1].

（3）归纳概括，形成复数概念.

子任务3：归纳概括，形成复数的初步概念（代数表示）.

问题3：能否求解方程[x2-10x+40=0]？

追问：我们以后还会遇到很多类似的方程，负数开方后可以得到方程的解，如[1+2i]，[2-34i]，[-13+32i]，能否把这类解（数）写成一般的代数形式？

师生活动：学生观察归纳，师生交流，教师点评，渗透复数的发展史. 复数的一般代数形式记为[z=a+bi][a，b∈R]，这种由实数与虚数“复合”而来的数定义为复数. 其中，i为虚数单位，[a]为复数z的实部，[b]为复数z的虚部，全体复数所构成的集合[C=][zz=a+bi a，b∈R]为复数集.

【设计意图】问题3及其追问的求解过程就是子任务3的解决过程. 教师引导学生实践操作、观察归纳，通过师生活动得出复数的代数表示，提升了学生的数学抽象能力. 在尊重历史的基础上，形成了复数的初步概念.

（4）拓展联系，深化复数概念.

子任务4：纵向延伸，理解复数与实数的联系；横向拓展，理解复数是一类二元数.

问题4：复数是由实数扩充而来的，实数[a]能否写成复数[a+bi]的形式？

师生活动：学生交流后给出“当[b=0]时，复数[a+bi][a，b∈R]便是实数a，即[a=a+0i]”. 教师追问，复数去掉实数后剩下什么数，如何分类？学生讨论，师生归纳得出虚数的分类，即当[b≠0]时，[a+bi]为虚数，当[a=0]且[b≠0]时，[a+bi]为纯虚数.

追问：能否利用Venn图对复数进行分类？

【设计意图】通过问题4和追问，引导学生从数系扩充的角度纵向思考实数与复数之间的联系，延伸了对复数概念的理解，即复数不是一个孤立的概念，而是数系扩充过程中的一个子概念.

问题5：实数能比较大小，向量不能比较大小，复数能否比较大小？

师生活动：师生共同讨论，可以得出复数与向量类似，是一类二元数，不能比较大小，只能判断是否相等. 类比向量相等，得出复数相等的充要条件为“当且仅当[a=c]且[b=d]时，复数[a+bi]与[c+di]相等”.

【设计意图】问题5引导学生展开深度思考，把复数与实数、向量进行横向联系，从而认识到复数是一类二元数. 类比向量，理解了“复数不能比较大小，只能判断是否相等”这一性质. 在广度上促进了复数知识网络的重新构建，理解了复数不仅是数系扩充的一个概念，还是二元数的一种具体数学对象，再次加深了学生对复数概念的理解，也为学习第2课时“复数的几何意义”做好了铺垫.

（5）评价反思，概念应用升华.

练习：完成下列题目.

① 在0，[i]，[0.618]，[i2]，[-3i]，[-2+13i]，[5i+8]，[i1-3]中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？指出其中的实部和虚部.

② 当实数[m]取何值时，复数[z=m+1+m-1i]是实数、虚数、纯虚数？

③ 复数[z1=a+3i]，[z2=2+bi]，若[z1=z2]，求实数a，b的值.

师生活动：学生独立完成练习，教师点评，学生互评.

问题6：回顾整个学习过程，能否描述复数是一类怎样的数？你是如何学习的？

师生活动：学生先独立思考，然后小组内进行讨论，最后分小组展示、学生互评，教师适时点评并追问. 学生提炼最具代表性的观点，即学习过程就是“重走数学家的研究道路，像数学家一样思考”的过程.

【设计意图】练习题检测了学生对复数概念的掌握程度. 问题6通过引导学生回顾整个学习过程，反思任务的解决过程，提升了学生对概念的逻辑形式和意义的认识，真正实现了对概念的深度理解，做到了转识为智.

三、建议及反思

任务统领的概念课的深度教学，适合由现实问题和任务解决生成的数学概念. 通过任务解决，促使教师立足单元视角，深化对概念本质的理解，有效分解子任务，使单元视角下的课时教学实现单元的育人功能，有效提升了学生的数学核心素养；通过任务解决，促进了教师进一步转变观念，从而想方设法引导、帮助学生逐步解决任务，真正落实“以生为本”，有效帮助教师突破“重讲解、轻探究，重结论、轻过程，重单一、轻联系”的概念教学困境，帮助学生理解“为何学？学什么？怎么学？学得怎么样？”等问题，提升学生的理性思维，将冰冷的数学概念转化为火热的数学思考，真正发挥概念教学的育人功效.

参考文献：

［1］李邦河. 数的概念的发展［J］. 数学通报，2009，48（8）：1-3，9.

［2］郭元祥. 知识的性质、结构与深度教学［J］. 课程·教材·教法，2009，29（11）：17-23.

［3］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.