以微课题开展数学探究活动的教学实践与思考

摘 要：以函数单元为例，选择悬链线作为研究主题，聚焦函数的核心概念和思想方法，进行数学探究活动的设计与实施. 在课题实施前要精心选择主题、设计驱动性问题；在课题实施过程中，要明确教师的角色定位；在课题探究时，要关注信息技术的合理使用.

关键词：数学探究活动；微课题；悬链线

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）05-0017-06

引用格式：张程艳. 以微课题开展数学探究活动的教学实践与思考［J］. 中国数学教育（高中版），2024（5）：17-21，31.

数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程，是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动. 具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论. 以微课题的形式开展数学探究活动，可以让学生充分经历数学研究的全过程，积累数学活动经验，培养数学思维，提升数学素养，养成独立思考与合作交流的学习习惯.

本文以研究与悬链线相关的函数[fx=aex+be-x]为例，尝试探索以微课题形式开展数学探究活动的有效性.

一、内容解析

1. 内容分析

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型. 在研究函数时，通常遵循“背景—定义—性质—应用”的路径逐层展开. 而对于函数性质的研究又可以从几何直观和代数运算两个视角展开. 因此，本课题的研究重点在于通过探究函数[fx=aex+be-x]的性质与图象，发现规律，归纳研究函数的一般路径和方法，进而体会数形结合数学思想的应用价值.

2. 学情分析

在进行该课题研究之前，学生已经经历了对指数函数、对数函数和幂函数的性质与图象的研究，具有一定的研究方法和研究路径的经验积累. 但是目标函数[fx=aex+][be-x]的解析式的代数结构较为复杂，学生将面临以下困难：能否通过对代数结构的分析进行结论的猜想；能否通过代数运算对猜想进行严谨的逻辑论证；面对含有参数的问题，能否进行逻辑清晰的分类讨论；能否借助信息技术手段开展数学探究；等等. 同时，学生没有进行数学探究活动的经验，没有经历过完整的“选题—开题—做题—结题”课题研究过程. 因此，本课题研究需要以学生自主探究和教师指导相结合的方式开展.

3. 目标设置

（1）通过完成对函数[fx=aex+be-x]的探究，经历发现问题、提出问题、猜想与论证的过程，总结研究函数的一般路径和方法，提炼数学思想和数学研究的本质.

（2）通过对含有参数的函数的研究，体会合理分类的必要性，同时提升逻辑推理、直观想象、数学抽象等数学核心素养.

（3）经历课题研究的完整过程，积累数学探究的基本活动经验，提升自主探究能力，培养创新意识和批判性思维.

二、过程设计

在本课题实施过程中，遵循如图1所示的教学实施流程.

首先，教师选择以下生活情境激发学生的探究兴趣.

情境：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆. 这些现象中都有相似的曲线形态. 事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线. 悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有着广泛的应用. 与悬链线有关的函数解析式为[fx=aex+be-x]（其中[a，b]是非0常数，无理数[e=][2.71828…]）. 同学们，你们是否注意到了生活中的这些现象？

然后，以“悬链线——神奇的‘微笑’曲线”为主题，设置驱动问题“对于悬链线，你能想到需要研究哪些问题？”开启学生的数学探究之旅.

在开题环节，教师引导学生进行问题解读，组织开题汇报；在做题环节，教师引导学生进行深入思考，全程跟踪关注，适时进行指导和过程性评价；在结题环节，教师指导学生进行成果梳理，组织结题汇报. 而学生则围绕探究主题，通过查阅资料了解悬链线的起源与实际应用，并借助函数的具体知识或信息技术等工具发现问题、提出猜想. 同时，学生通过独立思考和小组合作探究得到相关数学结论，形成结题报告，并制作海报进行研究成果展示. 最终学生在结题汇报活动中开展自评、互评，教师进行结题总结和终结性评价. 本课题研究共安排2个课时，分别进行开题汇报和结题汇报.

三、开题汇报

环节1：开题汇报，开展互评.

引导语1：同学们，数学探究活动是借助数学知识解决数学问题的一类综合实践活动. 聚焦主题“悬链线——神奇的‘微笑’曲线”，经过前期的准备，大家查阅了与悬链线相关的文献，并得到了与函数[fx=aex+be-x]相关的一些性质. 今天，我们将针对大家的前期成果进行开题汇报. 下面请第一小组的代表阐述选题意义、研究内容、研究方法和预期成果.

第一小组通过查阅相关文献，明确了通过此课题的研究不仅能够对函数[fx=aex+be-x]有所了解，还能梳理研究函数的一般思路，掌握数学探究的方法，培养数学逻辑、数学思维和数学价值观. 该小组确定的研究内容包含三个方面：悬链线的历史及发展，函数[fx=aex+be-x]的基本性质，悬链线在实际生活中的应用. 采用的主要研究方法是归纳法和文献研究法. 在预期成果方面，该小组梳理了悬链线的发展历史、展示了关于函数[fx=aex+be-x]的性质的初步研究成果，以及悬链线在工程、航空航天、运动等领域的应用价值. 其中，在函数性质的研究过程中，小组成员聚焦[a=b]和[a=-b]两种情况，利用GeoGebra软件绘制函数图象，如图2所示.

通过观察、归纳得到函数的性质，并进行代数推导. 具体内容如下.

易知函数[fx=aex+be-x]的定义域为[R].

当[a=b]时，由[fx=aex+be-x]，可得[f-x=fx]，函数[fx]为偶函数. 利用函数单调性的定义可以证明：当[a=b>0]时，函数[fx]在[-∞，0]上单调递减，在[0，+∞]上单调递增；当[a=b<0]时，函数[fx]在[-∞，0]上单调递增，在[0，+∞]上单调递减.

当[a=-b]时，由[fx=aex+be-x]，可得[f-x=-fx]，函数[fx]为奇函数. 利用函数单调性的定义可以证明：当[a>0]时，函数[fx]在[-∞，+∞]上单调递增；当[a<0]时，函数[fx]在[-∞，+∞]上单调递减.

引导语2：通过第一小组的汇报，我们了解了悬链线的发展历史，你有什么样的感受呢？对于他们研究函数性质的方法和结论，你作何评价呢？

学生活动：大家各抒己见，对第一小组的汇报内容进行评价. 其中，针对函数性质的研究，大家认为第一小组的研究路径是借助函数图象得到相关性质，然后再进行逻辑推理. 不过，只针对参数[a=b]和[a=-b]这两种特殊情况入手展开研究，虽然能使函数解析式变得简单，更易于研究，但是并不全面. 可以借助从特殊到一般的方法进行深入探究.

引导语3：大家对第一小组研究的优势和不足进行了点评. 第一小组的成员可以基于大家提出的问题规划下一阶段的任务. 下面请第二小组进行开题汇报.

第二小组分别对选题意义、研究内容、研究方法和预期成果进行了汇报. 对于函数性质的探究，第二小组同样是通过观察函数图象得到函数的性质. 小组成员借助几何画板软件绘制了函数图象，如图3和图4所示.

通过改变参数[a]和[b]的值进行猜想，得到更具一般性的结论.

结论：当[ab>0]时，函数[fx]关于[x=12lnba]对称.

进而得到：当[a>0，b>0]时，函数[fx]在[-∞， 12lnba]上单调递减，在[12lnba，+∞]上单调递增；当[a<0，b<0]时，函数[fx]在[-∞， 12lnba]上单调递增，在[12lnba，+∞]上单调递减.

引导语4：通过第二小组的汇报，对于他们研究函数性质的方法和结论，你觉得有哪些优势和不足？同时，对自己的研究有没有启发？

生1：第二小组对函数性质的研究比第一小组更进了一步，并没有局限在[a=b]和[a=-b]这两种特殊情况上. 而且他们利用信息技术软件对结论进行了有效猜想. 不足之处就是并没有对猜想的结论进行严谨的代数推理.

生2：我认为第二小组的研究有三个方面值得学习. 首先，对性质的研究遵循研究函数的一般路径展开；其次，在研究函数对称性的过程中采取了控制变量的方法，通过固定其中一个参数使另一个参数变化来发现规律；最后，关注到函数[fx=aex+be-x]是由基本初等函数[y=aex]和[y=be-x]通过运算得到的，将陌生的函数转化为熟悉的函数进行研究.

生3：对于函数的对称性，第二小组只考虑了[ab>0]的情况，当[ab<0]时，函数是否具有对称性呢？

师：我也有这样的困惑，请第二小组回答一下，是否考虑了当[ab<0]时函数的对称性呢？

第二小组：我们确实没有考虑[ab<0]的情况. 当[ab>0]时，通过几何画板软件绘制图象后，我们发现该图象与二次函数的图象类似，所以猜测该函数可能具有对称轴，从而进行了进一步验证.

师：原来是类比熟悉的函数进行了合理猜想，很多数学结论的产生都源于猜想.

引导语5：上述几名同学不仅对第二小组的研究成果进行了点评，而且提出了自己的困惑. 下面请第三小组进行汇报，他们的研究能否解答我们的困惑呢？

第三小组除了对选题意义、研究内容、研究方法和预期成果进行了汇报外，在函数性质的研究上遵循了从性质到图象的研究路径. 对于[ab>0]的情况，先分析函数解析式的代数结构，利用基本不等式猜测函数的对称轴，然后根据函数对称性的概念进行严谨的代数论证，最后通过类比的方法猜测[ab<0]的情况，具体结论如下.

当[ab>0]时，[fx+lnba=aex+lnba+be-x-lnba=aexelnba+]

[be-xe-lnba=bex+ae-x=f-x]，所以函数关于直线[x=12lnba]对称.

当[ab<0]时，[fx+ln-ba=aex+ln-ba+be-x-ln-ba=]

[aexeln-ba+be-xe-ln-ba=-bex-ae-x=-f-x]，所以函数关于点[12ln-ba，0]对称.

同时，第三小组利用函数单调性的定义分四种情况对函数的单调性进行了代数推理：[a>0，b>0]；[a<0，b<0]；[a>0，b<0]；[a<0，b>0].

引导语6：对于第三小组的汇报内容，大家觉得有什么值得借鉴和完善的地方吗？

生4：第三小组能够发现函数解析式的代数结构与基本不等式的结构相同，进而得出猜想，并对结论进行了严谨的理论证明. 同时，第三小组根据具体问题对参数进行了有序分类.

生5：对于单调性的研究，我觉得还可以优化一下. 对于[a>0，b<0]和[a<0，b>0]这两种情况，可以从运算的角度得到函数的单调性. 例如，当[a>0，b<0]时，函数[y=aex]在[R]上单调递增，函数[y=be-x]也在[R]上单调递增，所以函数[fx=aex+be-x]在[R]上单调递增.

师：第三小组对函数性质的研究充分体现了对函数核心概念的理解和灵活运用. 同时，在证明的过程中对数学运算能力也有较高的要求.

环节2：提出质疑，反思改进.

引导语7：针对各小组的汇报内容和同学们的评价，大家认为对前期的研究需要进行哪方面的反思和改进呢？

学生活动：在教师的引导下，学生对研究方法、数学思想、解题策略等方面进行了反思. 例如，有的学生提到在进行函数性质研究之前应该对解析式的代数结构进行分析，以便猜想相关结论；有的学生意识到要根据具体的问题情境对参数进行合理分类；有的学生体会到数形结合在解决问题中的重要作用；有的学生指出要充分利用信息技术手段进行数学探究；等等.

同时，在此环节，教师带领学生基于前期的研究进一步梳理了研究函数的一般路径和方法，如图5所示.

对于函数，通常遵循“背景—定义—性质—应用”的路径展开研究. 其中，对于性质，应该按照“定义域—整体性质（周期性、对称性、单调性、最值等）—局部性质（导数、极值等）”的顺序进行研究. 而函数的应用则包含在数学内部、跨学科和实际生活中的应用. 研究函数的一般方法有数形结合、分类讨论和转化与化归，在该课题研究中都有充分的体现.

环节3：明确方法，制订方案.

引导语8：作为学习者和倾听者，老师今天的收获很大，相信在座的各位同学都与老师有同样的感受. 下面我们开展小组讨论，明确下一阶段的研究内容、研究方法、实施方案和预期成果. 对于预期成果，除了进一步完善上述研究成果外，你还想研究哪些问题呢？

学生活动：交流讨论，小组内完成具体方案的制订，并提出了大量拓展性问题，明确了下一阶段的研究任务. 拓展性问题有参数对函数性质的影响、每类函数之间的关系、构造新的函数进行研究、搜集与悬链线相关的数学问题、生活中的悬链线、在悬链线的实际应用中选择一个感兴趣的领域继续研究等.

结束语：通过今天的开题汇报活动，相信大家对后续要做什么、怎么做已经有了更清晰的认识. 华罗庚先生曾经总结做研究的四种境界，即照葫芦画瓢地模仿、利用成法解决几个问题、创造方法解决问题、开辟方向. 希望通过努力，我们能够不断提升自己的研究能力. 期待大家在结题汇报中的研究成果！

四、实践反思

1. 数学探究活动要精心选取探究主题

选题是开展数学探究活动的起始阶段，也是决定数学探究活动成败和成果价值的关键环节. 主题的来源可以有多种途径，可以利用现有的资源，如教材、教学参考书、专业网站，由教师选择、设计、提供；也可以是动态的生成性问题，如学生在学习和生活过程中提出的问题、学生解决已有问题后提出的发展性问题等. 同时，教师应该遵循价值性、探究性、可行性、吸引性、开放性等原则对选题进行筛选，保证学生的数学核心素养和数学研究水平在探究问题的过程中切实提升. 例如，本主题“悬链线——神奇的‘微笑’曲线”的选取聚焦函数核心概念和思想方法，学生可以通过不同手段实现探究，不同层次的学生都能体验到研究的乐趣，收获不同的研究成果.

2. 数学探究活动要明确教师的角色定位

探究性学习活动是学生成就自我的学习，是学生对知识渴求的一种内驱力，体现的是学生的主体性，教师在其中的引领作用不可或缺. 在数学探究活动的实施过程中，教师要在恰当的时间节点予以引导、启发和评价. 例如，在本课题的做题环节，教师持续关注学生的研究进展，适时给出研究方向和研究方法指导；在开题和结题环节，教师引导学生进行评价和反思，激励学生不断发现问题、解决问题，促进学生深入思考；在课后进行访谈，及时了解学生遇到的困难，给出相关建议，推动研究有序开展；等等.

3. 数学探究活动要恰当使用信息技术

信息技术是学生学习、探索和解决问题的重要辅助手段，可以为学生的自主探究启发思路，提供直观、丰富的资源. 例如，在研究函数性质的过程中，由于函数解析式的代数结构较复杂，大多数学生无法直接通过代数推理得到结论，此时信息技术的使用可以帮助学生探寻解决问题的方向，猜想问题结论再进行证明，确保研究的顺利进行. 同时，借助信息技术的动态演示功能，学生进一步提出了新的研究问题. 因此，在数学探究活动中充分利用信息技术的强大功能，可以改变学生的学习方式，提高探究的实效性，拓展探究的深度和广度.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］叶启垦. 基于“课题研究模式”的数学探究活动教学模式建构［J］. 中学教研（数学），2022（11）：4-9.

［3］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［4］陆恬，沈新权. 基于问题驱动的高中数学探究性教学：以双曲线拓展教学为例［J］. 数学通报，2021，60（6）：36-39，44.

［5］李青霞. 从类比、模仿到自主创新：“探究活动：从圆到球”课例点评［J］. 中国数学教育（高中版），2023（6）：54-55.