问题驱动的向量数量积的概念教学

摘 要：向量的数量积是重要的运算和核心的概念. 通过对向量线性运算功能与价值的反思，发现定义新运算的必要性. 基于问题驱动教学原理，以被改造过的余弦定理为本原性问题，驱动学生通过问题解决实现数量积的概念建构，利用解决过程中自然产生的投影向量揭示数量积的几何意义并建立运算律，实现概念理解. 最后对问题情境的适切性、投影变换保持认知方式的连贯性、数量积对认知发展的促进作用和促进向量方法的生长拔节等问题进行了反思.

关键词：向量的数量积；概念教学；问题驱动

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）05-0012-05

引用格式：李昌，朱松. 问题驱动的向量数量积的概念教学［J］. 中国数学教育（高中版），2024（5）：12-16.

在向量知识体系中，数量积既是核心的概念又是重要的运算. 因此，对数量积的学习既要理解概念本质，又要掌握运算技能. 运算技能的掌握只需要正确合理地操作训练就能实现，而对概念本质的深刻理解则要求学生的思维必须真正进入概念形成的过程中去. 对概念本质的深刻理解能够促进运算技能的快速掌握. 因此，做好数量积的概念教学显得尤为重要.

在高中数学中，数量积是通过与实数运算的类比，以物理学中“功”的计算为原型，将其抽象为力和位移这两个矢量“相乘”的结果，然后推广为向量的运算，并依据运算结果的数量特征来命名的乘法运算. 在教学实践中，由于数量积概念高度的抽象性，学生难以将其融合到功的原型中进行抽象概括，也就很难水到渠成地实现从功到数量积的意义建构. 而且，依照与实数运算进行类比的逻辑来引入数量积的概念，无法彰显数学内部发展的需求和动因，也就不能体现引入数量积的必要性和价值. 再加之数量积丧失了运算的封闭性和可逆性，学生关于运算的数学现实不仅无法进行概念同化，反而容易成为一种阻碍理解的思维定式.

综上所述，学生容易把机械记忆和文本复述作为理解数量积概念的主要途径，数量积的概念教学也容易走偏为直接告知. 那么，如何让学生认识到引入数量积的内在动因和价值？如何水到渠成地实现数量积的概念建构？如何让学生在数量积的概念教学中体会到蕴含其中的思想方法？笔者根据问题驱动教学的原理，对数量积的概念教学进行了实践和思考，期待大家批评和指正.

一、问题驱动的数学教学

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）强调：“教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题. 教学情境包括：现实情境、数学情境、科学情境……情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养.”问题驱动的教学是基于《标准》要求进行的理论和实践探讨，其核心观点是以发现数学结论的本原性问题为教学的出发点，通过教学法将其加工成适合学生认知的教育形态，从而引发学生火热的思考. 实施问题驱动教学的基本要求是，教师在设计教学时，要实现内容知识由学术形态向教育形态的转变，即要在整体把握教学单元、深入理解课时内容的基础上，联系学生的数学现实，提出真实的问题并赋予有效的情境；教师在实施教学的过程中，要基于“数学化”的方法组织教学内容，引领学生围绕问题情境进行探究、发现和解决问题，并在探究、发现和解决问题的过程中体验数学知识的再发现过程，获得相应的数学思想，构建具有联系的知识结构.

二、数量积的概念教学

1. 反思线性运算，体会引入新运算的必要性和目的性

问题1：通过与实数运算的类比，我们定义了向量加法、向量减法和向量数乘. 这些线性运算能够定量地描述线段平行、图形相似等几何性质，其中蕴含了数形结合的思想方法. 那么，能否利用这些线性运算来刻画向量的长度和夹角？为什么？用于计算长度和夹角的向量运算应该具有怎样的特征？

追问：类比实数的运算，在建立向量加法、向量减法和向量数乘的定义后，应该建立向量的乘法，并用于刻画长度和夹角. 对于同向向量的特例，如何进行乘法运算？理由是什么？

【设计意图】问题1旨在引导学生通过对向量线性运算的特点、意义和价值的回顾反思发现定义新运算的必要性和目的性，并为学生提供发展质疑能力和理性思维的契机和载体. 追问旨在用特殊向量如何相乘的问题引发学生合情推理，激发学生的求知欲望，并为学生在后续学习中产生积极的情感体验提供机会.

实际的教学反馈是，大多数学生认为同向向量的乘法是其模相乘. 他们的理由集中于两点：一是从几何上看，两个同向向量在直线上的位置与两个正实数在数轴上的位置相同，因此它们的乘法应该与实数的乘法相似；二是与向量加法相对照，同向向量相加时，只需要对模相加，类似地，它们相乘时，也只需要将模相乘. 笔者认为，这两点理由虽然牵强，但以此进行合情推理，与学生的认知相符.

2. 以计算和向量长度的问题，驱动数量积的概念建构

问题2：根据向量加法的三角形法则，容易得到模的关系式[a+b≤a+b]，若记非零向量[a，b]的夹角为[θ]，则当[θ=0]时，其中的[“=”]成立. 那么，当[θ≠0]时，[a+b， a， b]和[θ]之间是否也存在某种等量关系？先以[θ]取特殊值时的情形为例进行探究.

追问1：当[θ=π2]时，由[a，b]和[a+b]确定了直角三角形，三边长满足勾股定理，即[a+b2=a2+b2]，变形为[a+b2-a2-b2=0]. 若记[f=a+b2-a2-b2]，

则当[θ≠π2]时，[f≠0]. 那么，[f]的值是多少？与哪些因素有关？不妨先保持[a， b]不变，观察并想象[f]随[θ]的变化情况，再保持[θ]不变，观察并想象[f]随[a， b]的变化情况.

追问2：如图1，[△ABC]是由[a，b]和[a+b]确定的，[a]和[b]的夹角[θ≠π2]. 如何将这些三角形转化直角三角形，进而求得前述[f]的值？

追问3：求得的[f=2abcosθ]对于[a，b]共线的情形是否成立？

追问4：数学上把[abcosθ]定义为向量[a，b]的数量积，用符号[a ∙ b]来表示，即[a ∙ b=abcosθ]，并规定[0 ∙ a=0].“积”是乘法的称谓，乘法是一种二元关系，表达某种不变性或规律性. 据此谈谈你对[a ∙ b]的理解，说明以“数量”修饰“积”的道理. 此外，现实中有数量积的例子吗？例如，物理中计算物体在力的作用下发生位移的功，是数量积吗？

追问5：当非零向量[a，b]具有某种特殊关系时，如[a∥b]，[a⊥b]，[b=a]等，[a ∙ b]的数值或形式有什么特殊性？能由此得到计算向量长度和夹角的路径吗？

【设计意图】余弦定理与数量积具有相同的数学本质. 以被改造了表达形式的余弦定理为建构数量积的本原性问题，能够展示数量积概念形成的过程和逻辑，并驱动学生思维的发展. 向量加法的三角形法则和模的关系式[a+b≤a+b]都是学生熟悉的基础知识，在此情境中可以自然地提出探索三条边长和向量夹角之间是否存在等量关系的问题，而不会让学生感到突兀.

追问1以向量夹角为直角的特殊情形，引发学生关联直角三角形，提取勾股定理，既肯定了等量关系的存在性，又提供了改造余弦定理、引入变量[f]的基础，也为后续问题提供了转化的方向和解决的支架. 引导学生观察并想象[f]随[θ]和[a， b]的变化情况，目的是让学生建立[f]与[θ]和[a， b]紧密相关的感性认知.

追问2要求学生在由[a，b]和[a+b]确定的几类三角形中计算[f]的值，这既是对问题2的具体解决，也是数量积概念教学的关键所在. 因为问题解决的过程，能让学生看到数量积运算与向量长度和夹角的紧密联系，问题解决的结果为学生提供了根据运算理解数量积概念的特定视角.

现在以图1（a）为例展示问题解决的思路. 如图2，引导学生作三角形高线[CD]，分别构造以[a+b]为斜边和以[θ]（或[π-θ]）为内角的两个直角三角形. 先在直角三角形中用[θ]的三角函数表示有关线段的长度，再由勾股定理建立[a+b]和[a， b，θ]之间的等量关系，进而求得[f=2abcosθ]. 并在问题解决的过程中凸显向量与三角函数之间的关联.

追问3是以验证[f=2abcosθ]在[a，b]共线时也成立来说明[f]具有一般性，从而满足数学概念在概括性和一般性上的要求，也为引出模的计算公式[a=a ∙ a]作铺垫.

追问4旨在引导学生从运算的视角把[abcosθ]理解成[a]与[b]的乘法运算. 运算是一种规律，体现为一种代数不变性. 事实上，向量加法确定的三角形（共线向量的加法满足异化了的三角形，其高为0）形状各异且大小不同，但其三边长之间存在的数量关系[f]是一个取决于向量长度和夹角的代数不变关系，而不受三角形其他特征的影响. 这种不变性就是规律，也是两个向量之间的运算，之所以命名为“数量积”，是为了强调运算结果的数量特征. 最后列举功的例子，为数量积建立概念原型，促进概念理解，也让学生看到数量积在现实生活中的应用，感悟数学应用的广泛性.

追问5旨在让学生通过对[a，b]的特殊化验证之前猜想结论的正确性，获得积极的情感体验，并让学生看到数量积在刻画平行和垂直这对几何关系时的简洁与直接，感悟蕴含其中的数形结合思想. 更为重要的是，让学生通过向量的自乘看到数量积定量刻画长度的过程和机制，进而通过运算推理发现向量的夹角公式和数量积的内在联系.

3. 借助投影向量，揭示数量积的几何意义并建构运算律

问题3：探讨[b]在[a]上的投影向量[BD]具有的特征，计算[a ∙ BD]并与[a ∙ b]进行比较，能得出什么结论？

追问1：满足[a ∙ b=a ∙ c]的非零向量[b，c]一定相等吗？即[a ∙ b=a ∙ c][⇒][b=c]成立吗？

追问2：由[b=BD+DC]，得[a ∙ b=][a ∙ BD+DC]. 那么[a ∙ BD+DC=a ∙ BD+a ∙ DC]是否成立？能否推广到[a ∙ m+n=a ∙ m+a ∙ n]的一般形式？

【设计意图】问题3旨在引导学生探索[b]在[a]上的投影向量[BD]的特征，进而认识到它是[b]和[a]共同作用的结果，因为[BD]的方向由夹角[θ]和[a]共同确定，[BD]的模由[b]和夹角[θ]共同确定. 然后在运算推理中得出[a ∙ BD]与[a ∙ b]的等量关系，从而得出数量积的几何意义，以深化概念理解. 追问1旨在引导学生根据垂直投影的不可逆性来理解乘法消去律在数量积中不能成立的原因，以帮助学生突破认知难点. 追问2运用垂直投影的正交分解功能对代数等式进行变形，促使学生由代数等式的形式自然联想到乘法对加法的分配律是否成立的问题. 并在此揭示历史上将这种运算命名为数量积的道理. 因为在一个具有加法和另外一种代数运算的系统中，对加法满足分配律的另一种运算都可以称为乘法.

三、向量数量积概念教学的思考

1. 数量积的问题情境应该抑制疑虑并驱动思维

学生根据“积”的称谓容易想到数量积和乘法运算紧密相关，而乘法是基于加法的简便运算. 学生如果顺着这个思路来理解数量积，自然会产生“为什么还要定义另一种乘法？”的疑虑，因为实数与向量的乘法恰好与此相符. 这种疑虑如果不及时清除，势必会阻碍学生对数量积的接纳和理解. 因此，数量积概念教学的问题情境还应该发挥帮助学生消除疑虑的功能，而最恰当的问题情境应该既能抑制疑虑的产生，又能激发学生的探究欲望. 为此，本文教学中先要引导学生反思向量线性运算的功能和价值，促使学生建立“只有定义新的运算，才能用于刻画向量长度和夹角”的感性认知. 这种感性认知既能够抑制上述疑虑的产生，又能促使学生期盼新运算的建立. 然后，在向量加法的三角形法则中，以对三边长度之间数量关系的探索来驱动学生进行观察、联想和转化等思维活动，在问题解决的过程中实现了对数量积的概念建构和理解. 在这样的情境中进行问题探索和数学建构，符合学生的认知基础，遵循学生的认知规律，既彰显了引入数量积运算的目的和价值，又为学生的思维和探究提供了正确的方向和强劲的动力.

2. 投影变换能延续认知路径并奠定学习基础

虽然向量投影与数量积并没有本质的联系，向量投影源于距离，但从联系的观点看，投影变换赋予了数量积几何意义，使抽象的数量积有了直观的几何意象. 这为学生设定了一条洞察数量积概念本质的几何通道. 这个通道既是对数形结合思想的自觉运用，又是向量运算理解路径的自然延续. 因为它与学生用三角形（平行四边形）理解向量加法和减法、用伸缩变换理解向量与实数乘法的路径如出一辙. 由此观之，这种理解路径的延续使得学生建构向量运算体系的方式保持了前后的一致性和逻辑的连贯性.

垂直投影为后续学习奠定了基础. 一方面，垂直投影是建立坐标表示向量的基础. 如图2，[b]在[a]上的垂直投影实现了对[b]的正交分解，即[b][=BD+DC]. 若以[BD， DC]的单位向量为基底，则由向量共线定理可以实现对[b]的坐标表示. 另一方面，图2中[b]在[a]上的投影向量[BD]不仅携带了[b]和[a]的位置关系和数量特征，而且在它们确定的[Rt△BCD]中隐藏了点到直线的距离情境，构成了用向量方法求空间距离的几何模型. 因此，以垂直投影为知识的节点和纽带，便于学生建立相关知识之间的多元联系，从而获得结构优良、提取便捷和迁移灵活的知识体系.

3. 数量积发展了几何研究的方式和人的认知

数量积是向量几何属性和代数属性的集中体现. 向量的长度和夹角是数量积运算的基本要素，数量积反过来又可以定量刻画向量的长度和夹角. 例如，[a=a ∙ a]表明了向量的长度是其自乘结果的算术平方根，用单位向量[e1，e2]取代[cosθ=a ∙ bab]中的[a]和[b]则有[cosθ=e1 ∙ e2]，这揭示了两向量夹角的余弦值是其单位向量的数量积. 数量积对长度和角度的这种定量刻画的方式不同于线性运算的直观描述，也有别于实验几何和推理几何的综合论证. 由于长度和角度是最基本的几何量，其度量方式的改变必然促使几何研究方法的更迭和人类认知的发展，前者如项武义教授所言：向量几何在本质上是坐标解析几何的返璞归真，它自然而然地化解了原先在坐标解析几何中由坐标系的选取所引入的各种各样非不变量的困扰. 后者集中体现在角的内涵概括上. 在此之前角是一个静态或动态的几何图形，两边和顶点是构成角的基本要素且必不可少，而在此后角被进一步抽象为两个方向的差异，顶点和边已不再是必不可少的要素了. 这种认知对于立体几何中空间角的学习和理解十分必要.

4. 数量积的教学应该促进向量方法的拔节生长

向量方法是研究几何的一种方法论，不是具体的显性知识，而是内隐于向量概念和运算体系的思维策略，是凝聚人类理性精神和体现向量价值旨趣的大观念，也是贯穿在高中数学课程体系中的核心思想. 策略性知识不是通过简单记忆和机械重复就能习得的，它需要学生先经历问题解决的过程并获得过程性体验，然后在实践应用中将过程性体验进一步转化成数学活动经验，最后在总结反思的内省活动中得以形成. 如果说向量数乘运算的教学应该促使向量方法的萌生，那么向量数量积的概念教学则应该促进向量方法的拔节生长. 因为数量积的概念引入、运算规则的确立和几何意义的揭示等，都是对向量思想方法的集中体现或直接运用. 对数量积概念的深刻理解需要学生融合代数运算和几何直观，还需要学生感悟数学知识之间的相互关联、反思数学知识结构体系的完整统一. 由此观之，对数量积概念进行深度的教与学，不仅可以促进向量思想方法在学生认知体系中的拔节生长，还可以提升教师的教学品位.

四、结语

知识具有内容、形式和旨趣的三重意涵. 向量数量积的概念教学形式上是学生对特定的概念、命题与理论等知识的掌握，但是根本上是要通过对方法、思想和思维的孕育，来生长学生的智慧，涵育学生的人文情怀和科学精神.

参考文献：

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