在数学建模中“悟”中生有

【学习目标】

1.使学生进一步认识复杂分数问题的一致性，掌握复杂的分数实际问题的解决策略，能正确解答分数实际问题。

2.通过对比练习，发现“分数和比”相关知识与实际问题之间的联系。培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

3.使学生进一步体会数学知识和方法在解决实际问题中的价值，增强应用意识；培养独立思考、相互交流的良好学习习惯。

【重点难点】

1.掌握复杂分数实际问题的解决策略。

2.体会“分数和比”与实际问题之间的联系。

【教学过程】

一、我分辨

通过视频呈现数学建模在生活中的广泛应用，让学生知道掌握一种数学模型可以解决一类实际问题。

师：本单元我们学习了分数四则混合运算，请大家看屏幕上的第一题（课件出示：[25]×[37]+[25]×[47]），谁来说一说怎么算？

生：用简便方法[25]×（[37]+[47]）。

师：（课件出示：[25]÷[73]+[25]×[47]）现在变得稍微复杂了，怎么算呢？

生：把÷[73]变成×[37]再计算。

师：（课件出示：[25]×[37]+[45]×[27]）复杂程度升级，现在你还会吗？

生：可以类比乘法交换律，把[45]×[27]的分子部分交换位置。

师：用到了转化的策略（师板书“转化”）。那下面请你们来当个小老师，把（[113]+[17]）×91这题改编成复杂的计算吧。

生1：可以改编成（[113]+[17]）÷[191]。

生2：还可以改编成（[113]+[17]）×13×7。

……

师：改编得一个比一个复杂呀，一起来解决一下吧。

生1：（[113]+[17]）÷[191]，首先把÷[191]变成×91，再用乘法分配律进行简便计算。

生2：（[113]+[17]）×13×7，把13×7看作一个整体，再运用乘法分配律进行简便计算。

师：你能用字母形式总结一下这类型的简便计算方法吗？

生：字母形式应该就是（a+b）×c×d=a×c×d+b×c×d。（学生板演。）

【设计意图】本环节通过计算练习帮助学生复习旧知识，并培养学生改编题目的能力。

二、我分析

师：看来计算是难不倒大家了，看看屏幕上这4道分数应用题你会做吗？试试看。

课件出示：

1.一根彩带长[45]米，剪去一些后，还剩[34]，还剩多少米？

2.一根彩带长[45]米，剪去[34]，还剩多少米？

3.一根彩带长[45]米，剪去[34]米，还剩多少米？

4.一根彩带长[45]米，剪去的与剩下的比是3：1，还剩多少米？

生：第一题中的分率[34]表示还剩下全长的[34]，求还剩多少米？用[45]×[34]=[35]（米）。第二题是剪去[34]，求还剩多少米？用[45]-[45]×[34]=[15]（米）。

师：思路很清晰，在讲第三题之前你们觉得这一题和上面哪一题相似？

生：第二题。

师：哪里像？哪里又不像？

生：题目和问题都很像，但题目中的[34]一个有单位另一个没有单位。

师：有什么区别吗？

生：[34]没加单位表示分率。而[34]米表示具体的数量。（师板书[34]表示分率，[34]米表示数量。）

师：那么第三题怎么做？

生：直接用[45]-[34]=[120]（米）。

师：做题细心很重要，给你们点赞！最后一题，哪位小老师来讲一讲？

生：剪去的与剩下的比是3：1，得出剩下的占全长的[13+1]，列式是[45]×[13+1]=[15]（米）。

【设计意图】本环节通过四个相似的问题，让学生感受简单问题和复杂问题、分率和数量之间的区别，以及分数应用题和比的应用题之间的联系，提高学生分析问题、解决问题的能力。

三、我归纳

师：从第1、2题中你发现了什么？

生1：都是单位“1”的量已知，用乘法计算。

生2：第1题中的分率“还剩[34]”与问题“还剩多少米？”相对应，用一步；而第2题中的分率与问题不对应，用两步。

师总结：是啊，单位“1”已知，用乘法。当分率与问题对应时，用一步乘法。当分率与问题不对应时，用多步乘法。（课件呈现总结并板书。）

师：根据第1、2、4题你发现了什么？

生：分数应用题可以转化成比的问题。

师：是啊，“转化”是我们在解决问题时很重要的一种策略，很多分数应用题都可以转化成比的问题解决。

【设计意图】本环节注重引导学生通过比较，发现新旧知识间的联系和区别，建立数学模型，使学生知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径。

四、我应用

师：下面用今天你学到的方法来解决一下我们身边的实际问题吧。

课件出示：

1.云湖实验小学10月用水60吨，11月份用水比10月节约[16]，11月用水多少吨？

2.云湖实验小学10月用水60吨，比11月多用水[15]，11月用水多少吨？

生1：第1题中分率与问题不对应，用多步乘法。60-60×[16]=50（吨）。

生2：第2题分率与问题也不对应，用60-60×[15]=48（吨）。

生：第2题不应该用乘法，因为单位“1”未知。

师：那怎么办呢？

生3：可以将这题转化成比的应用题来做，通过画图可以看出11月用水量和10月用水量的比是5：6，10月用水量是60吨，用60÷6×5=50（吨）。

学生投屏：

师：是啊，利用转化的策略，结合画图，让题目变得更加直观易懂了。

【设计意图】本环节通过一组对比练习，深化本节课的学习内容，进一步加强学生对此类数学问题的理解，提高学生应用数学模型解决相关问题的能力。

五、我总结

师：通过这节课的学习，你有哪些收获呢？

生1：解决复杂的分数乘法应用题要关注问题和分率对不对应，分率和问题对应时，一般是一步计算，分率与问题不对应时，多步计算。

生2：分数应用题可以和比的应用题相互转化。

生3：可以通过画图让题目变得更直观更简单。

师：是啊，掌握获得知识的策略和方法很重要！

【设计意图】“授人以鱼不如授人以渔。”在数学课堂上教师更应该注重培养学生读题审题的能力，使其能够运用对应的策略和方法帮助分析问题和解决问题。

（作者单位：江苏省灌云县云湖实验小学）