“自行车里的数学”教学实践及反思

一、教学目标

1.了解自行车的基本结构及内在原理。

2.理解自行车速度与车轮直径、前后齿轮的齿数、链条的运转等因素的关系。

3.运用数学模型解决有关自行车速度的问题。

4.提出及解决与自行车速度相关的数学问题。

二、教学过程

（一）激趣导入

师：咱们班有谁会骑自行车吗？

生1：老师，我会骑自行车。

师：你能给大家分享一下自行车的基本知识及结构吗？

生1：自行车有车轮、踏板、把手、座位等部分，还有链条及齿轮。

师：非常好！你说得很对。我们来看一下关于自行车的图片。

【教师通过多媒体设备展示自行车的图片】

师：请大家看这张图片，这是一辆普通自行车。同学们看到了车轮、踏板、把手、座位等部分了吗？还有没有其他值得注意的地方？

生2：看到了。我发现还有一条链条及两个齿轮。

师：很好！你观察得很仔细。确实，链条及齿轮是自行车中非常重要的部分。它们帮助我们转动车轮，使自行车能够行驶。有谁知道链条及齿轮的作用吗？

生3：我知道链条把踏板及齿轮连接起来，当我们踩踏板时，链条会带动齿轮转动，进而带动车轮转动，使自行车行驶。

师：看来大家对自行车都有一定的了解，那么我们这节课就深入探究一下自行车中的数学知识。

（二）初步探究

【教师推出事先准备好的一辆自行车】

师：现在，我想请几位同学通过测量来找出自行车蹬一圈能走的距离。我需要一位同学帮我踩踏板，另一位同学来测量车轮转的圈数，并在起点及终点做好记号。请两位同学上来协助一下。

【随机挑选两名学生上台来进行测量，其他学生注意观察自行车在行进时什么在动，思考自行车为什么能往前走】

师：通过实际测量和悉心的观察，大家有没有了解自行车蹬一圈能走的距离呢？

生1：2.2米左右。

师：很好，这是我们通过实际测量出来的结果，那如果不转动车轮进行测量，你们如何得出自行车转动一圈往前转动的距离呢？

生2：可以测量自行车的半径，然后通过2πr进行计算。

师：很好，这是我们前面学习过的圆的周长计算公式。

（三）分组讨论

师：现在请各小组讨论：自行车蹬一圈的距离可能会与什么有关？具体又是什么样的关系呢？

生1：跟自行车车圈的大小有关，应该是与车轮的周长有关。

生2：跟前齿轮和后齿轮转动的圈数有关。

……

师：很好，同学们观察得很细致，也很全面。跟车圈的周长相关，也就是跟车轮的直径或者半径相关，对不对？

生（合）：对。

师：自行车蹬一圈走的距离与前齿轮和后齿轮转动的圈数相关，大家想想，这具体又是什么关系呢？

生3：前齿轮的转动带动后齿轮的转动，前齿轮大，后齿轮小，前齿轮转一圈，后齿轮会转好几圈。

生4：后齿轮转动一圈，后车圈就随之转动一圈。

师：对，下面同学们可以讨论一下：前齿轮的转动和后齿轮的转动之间存在什么样的关系？

组1：前齿轮和后齿轮通过链条连接，链条是一扣一扣的，也就是说，前齿轮转动一扣，后齿轮也会转动一扣，那前后齿轮的转动关系就应该跟前齿轮和后齿轮的扣数相关。

组2：我们刚才观察了自行车前后齿轮的齿数，前齿轮的齿数是36，后齿轮的齿数是16，也就是说，前齿轮转动一圈，后齿轮就要转动2.25圈，车圈也就转动2.25圈。

师：非常好，同学们不仅观察入微，还计算得非常精准。比较了前齿轮和后齿轮之间转动圈数的差异，大家说说，前后车轮之间的转动存在什么样的差异呢？

生5：前车轮和后车轮之间转动的圈数是一样的。

师：那为什么前齿轮的转动是后齿轮的2.25倍，而后车圈的转动却和前车圈的转动一样呢？

生6：因为自行车是后车轮转动带动前车轮转动，两个车圈的转动圈数是一致的，要不然自行车怎么跑呀？

师：很好，同学们没有被前后齿轮“转”晕，认为前车轮的转动圈数是后车轮转动的2.25倍。同学们再想一想，前后齿轮转动的时候，它们转动的齿轮数是否一致？

生（合）：一样。

师：为什么？

生7：因为前后齿轮都是通过同一根链条连接，链条转动应保持前后均衡，否则就会出现过紧或者过松的情况。

师：很好，但是我们还是要经过实际认证，看看你们的判断结果是否正确。

【教师将自行车推到教室中央，然后划定起点，让自行车车轮转动一圈，让学生分别数一数前齿轮和后齿轮转动的齿数分别是多少】

生8：老师，后齿轮数不用数，因为车轮转动一圈，后齿轮也要转动一圈。前面我们已经知道后齿轮数是16，所以肯定还是16。

师：非常好，但我们还是要保持严谨的实验作风，分别数一下，验证你们的想法是否正确。

【教师转动自行车，让学生分别数一数前后齿轮转动的齿数】

师：同学们数清楚了吗，前齿轮和后齿轮分别转动多少齿数？

生9：后齿轮转动15。

生10：后齿轮转动16，不可能是15。

生11：前齿轮转动15。

生12：不可能，前齿轮转动16。（学生意见不一）

师：看来同学们的意见存在分歧，这下同学们是不是也能够发现我们理论上的认知和实际操作之间存在的差距。

生13：老师，其实我们不用数前齿轮和后齿轮的转动齿数，只需要数一数前后齿轮链条转动的扣数也是可以的。

师：很好的想法，但是前面同学们遇到的问题还是要解决。接下来咱们分为四组，两个小组分别数前齿轮和后齿轮转动的扣数，另外两个小组还是分别数前后齿轮转动的齿数，怎么样？

生14：我们还需要找到一种方法，能够避免同学们在数前齿轮、后齿轮齿数的时候又出现分歧。

师：没错，那应该怎么解决这个问题呢？

生15：咱们可以进行标记，如在转动齿轮的第一个齿上分别标上颜色，这样在车轮转动一圈之后，数一数这个齿距离原来位置轮齿之间的齿数就可以了。

师：好办法，就这么办。

【按照学生提供的思路，教师在齿轮上面标注颜色之后继续转动自行车，然后让四个小组分别数数并汇报结果。】

组1：前齿轮链条总共转动15扣。

组2：后齿轮链条总共转动15扣。

组3：前齿轮齿数总共转动16齿。

组4：后齿轮齿数总共转动16齿。

师：很好，这次我们得出了和前面推理一样的结论。那么通过这个事情，你们有什么心得体会？

生17：实践出真知，很多时候我们想的和实际做起来还是存在差距。

师：在以后的学习、生活乃至工作中，你们也会遇到类似的情形，这个时候一定要进行实践检验，遇到问题想办法解决。

（四）课堂练习

师：接下来，老师就要用实际题目来考验你们了。注意，老师要加大问题难度了。

（学生情绪高涨，跃跃欲试）

师：请同学们用公式的形式将前齿轮齿数、后齿轮齿数和前齿轮转动的圈数、后齿轮转动的圈数表示出来。

生：需要用字母的形式吗？

师：可以用字母的形式，也可以直接用纯文字的形式。

第一组讨论情况：

生1：自行车运行一定的长度，前齿轮和后齿轮转动的齿数一样，但是前齿轮和后齿轮转动的圈数不一样。

生2：对，关键就是要找出这二者之间的关系。

生3：假如前齿轮转动16齿，后齿轮也转动16齿，前齿轮转动16/36圈，后齿轮转动1圈，这样是不是就把前齿轮、后齿轮的转动齿数和转动圈数具象化了，咱们只需要按图索骥，找出其中的关系就行。

生4：好办法，这下咱们不是从自行车齿轮找关系了，咱们直接从这组数字中找关系。

第二组讨论情况：

生1：假设前齿轮齿数是a，后齿轮齿数是b，那么b/a就等于16/36。

生2：然后呢？

生3：然后就是设定后齿轮转动1圈，我们直接计算出前齿轮转动的圈数就可以了。

生4：我们设定前齿轮转动c圈，后齿轮转动d圈。那就应该是……

第三组讨论情况：

生1：这个问题应该怎么着手？

生2：这个简单，只需要找出他们之间存在的等量关系就行了。

生1：等量关系是什么？

生3：等量关系就是前齿轮转动的齿数和后齿轮转动的齿数是一致的。如果说前后齿轮转动齿数为a，那a/16就是后齿轮转动的圈数。

生4：对，a除以36就是前齿轮转动的圈数……

（学生讨论结束后，各小组汇报自己的讨论结果）

组1：我们得出的结论是前齿轮转动1圈，后齿轮转动n圈，n乘以后齿轮的齿数就是前齿轮转动1圈的齿数。

组2：我们设定前齿轮齿数为a，后齿轮转动齿数为b，前齿轮转动圈数为c，后齿轮转动圈数为d，最终得出的结论是b×d=a×c。

组3：我们得出的结论是前齿轮转动的齿数乘以前齿轮转动的圈数等于后齿轮转动的齿数乘以后齿轮转动的圈数。

师：很好，各个小组都得出了正确的结论。老师知道，这个结果并不是你们一次性得出的，而是在初始思路的基础上不断调整和修正后得出的。这也印证了前面我们说的，遇到困难要转换方法，进而解决困难。

（五）灵活运用

师：既然同学们已经知道了前齿轮和后齿轮齿数与前齿轮、后齿轮转动圈数之间的关系，那我们就来进行实际运用。

一辆自行车的车轮直径是0.5米，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿，自行车向前行驶一圈前进多少米？

生1：应该是1.57米？

师：看看，不少同学得不出结论，还有部分学生得出结论又不敢肯定，一道小小的数学题就揭露了你们学习的结果。

生2：老师，这个是不是跟我们今天学习的内容没有关系？

师：怎么没有关系，不都是自行车里的数学吗？

生3：这道题用不到我们今天学习的齿轮齿数和圈数的结论。

师：终于有人明白过来了，但是老师也没说这道题需要用到今天学到的结论呀。这道题之所以给出前后齿轮的齿数，就是为了迷惑你们，结果你们还真被迷惑住了。无论这道题是考周长还是考齿轮齿数、圈数，都是我们已经学习过的知识，你们要能够破开这层迷雾。

生4：老师再来一道，保证快速做对。

一辆自行车的车轮直径是0.8米，前齿轮有28个齿，后齿轮有14个齿，蹬一圈自行车前进多少米？

生4：这不是跟刚才一样的题目吗？

师：大家先计算结果，给出答案。

生5：自行车前行2.512米。

师：同学们仔细审题，这两道题一样吗？

（教师将两道题目同时显示在多媒体屏幕上）

生6：一个是自行车向前行驶一圈，一个是蹬一圈。

生7：一个是计算自行车车圈的周长，一个是计算自行车周长乘以转动的圈数。

师：对，重新计算。

生5：5.024米。

师：很好，你们说说这两个自行车哪个跑得快？

生8：哪个跑得快，那得看谁骑吧？

师：同一个人在相同时间内用同样的力量蹬车骑行，没有风的情况下。想一想，可以同桌讨论。

生9：跑得快主要看自行车车圈的周长和转动的圈数。

生10：对，很明显，第二辆自行车车圈的周长更长。但是还要结合转动圈数的快与慢。

生11：是的，第二辆自行车的齿数少，那它转动一圈的速度就应该更快。

生12：这么一结合，无论是从自行车车圈的周长还是转动速度来看，都是第二辆自行车的转动速度更快……

师：同学们得出结论了吗？

生13：第二辆自行车跑得快。

师：为什么？

生13：因为第二辆自行车的齿轮数少，它转动一圈的时间就少，而且第二辆自行车车圈的直径长，转动一圈行驶的距离更远，所以从哪个角度来看，在同等条件下，第二辆自行车的行驶速度快于第一辆自行车。

师：没错，这跟我们生活中的什么很类似？

生14：变速自行车。

师：对，那你们现在能明白变速自行车为什么行驶速度更快了吗？

生15：明白了。在同样车圈周长的情况下，前齿轮转动一圈，通过调节不同齿数的后齿轮就能够让它转动不同的圈数，后齿轮齿数越少，自行车的行驶速度就会越快。

师：非常好。现在大家明白了吧，自行车里面的数学知识真是不少。

（六）作业设计

小明骑着他的自行车，前齿轮有48个齿，后齿轮有18个齿，车轮直径为70厘米。假设他蹬一圈车轮转了4圈，他骑了多远？请计算出结果，并解答这样的问题：如果前后齿轮的齿数不变，但车轮直径增加到80厘米，蹬一圈车轮也转了4圈，结果会怎样变化？

【在设计作业时，教师要考虑学生的能力水平，并根据教学目标及内容进行合理的安排，确保作业有助于学生巩固所学知识，并提高他们的学习兴趣及思维能力。同时，教师应鼓励学生将数学与实际生活联系起来，培养他们的观察力及解决问题的能力。】

三、课后反思

（一）优点

通过提问和讨论，学生积极参与课堂，提高了他们的学习兴趣和动手能力。通过展示自行车图片和实物测量，学生更加直观地理解了自行车的结构和原理。

通过实际测量和数据记录，学生将理论知识应用于实际问题，提升了他们的理解和应用能力。

（二）需要改进的地方

1.课堂上有些环节的时间分配不够合理，特别是在讨论和测量环节，部分小组需要更多时间完成任务。下次可以控制时间分配，确保每个环节都能充分展开。

2.在汇报和总结环节，学生的反馈和总结有些简单，部分小组的讨论结果不够深入。教师可以考虑增加引导性问题，帮助学生更好地总结和反馈。

编辑：温雪莲