数学建模在初中教学中的实践

【摘要】数学建模作为数学教育和学习的一个重要组成部分，对于全面提升学生的数学核心素养和推进中学数学素质教育具有深远影响.本文通过结合具体的教学案例，总结出数学建模在初中数学教学中的具体实践路径，主要有构建函数模型，体会数量关系；构建方程组模型，探索问题的本质；构建几何模型，进行变式训练；构建概率与统计模型，激发学生思辨能力；构建不等式模型，培养发散思维.

【关键词】初中数学；数学建模；核心素养

数学在生活中无处不在，从简单的购物计算到复杂的工程设计，都需要数学的支持，数学建模是一个将生活问题转化为数学问题，再利用数学工具进行求解的过程，这个过程需要抽象思维、逻辑推理和创新能力，对于培养学生的核心素养具有重要意义.这也有助于培养他们的逻辑思维能力、创新能力和实践能力，培养学生数学核心素养.

1 构建函数模型，体会数量关系

数学建模思想确实是一种强大的工具，能够将复杂的现实问题转化为简化的数学形式，以便于分析和解决.在数学教学中，为了使学生更好地理解数学建模，教师可以选取一些与学生生活密切相关的问题作为建模对象.例如，可以探讨如何通过数学建模来优化学校的时间表安排，或者预测某种商品的销售趋势等.

例如 以一次函数的应用为例，这一章节的任务旨在让学生理解并掌握一次函数的基本概念和性质，学会从实际问题中抽象出一次函数模型，并通过不同的信息来源（如文字描述、数据表格、图像等）来确定一次函数的表达式.这一章节的学习不仅为学生后续学习更复杂的函数（如反比例函数、二次函数等）打下基础，而且通过实际问题的解决，培养学生的数学建模能力和问题解决能力.如某体重秤称重有效范围是0～100kg，体重x（kg）与指针的转过角度y的对应值如下表1所示：

请问，如果小华的体重是60kg，他站在体重秤上后，指针会指向哪里？通过这样的问题，教师可以引导学生分析题目中的信息，帮助他们理解体重和指针位置之间的一次函数关系.通过表格，学生可以直观地看到数据的变化趋势，从而更容易理解一次函数的概念和性质；在这个过程中，教师可以鼓励学生利用描点画图的方式来分析函数表达式，这种教学方式不仅能够激发学生的学习兴趣和主动性，还能够培养他们的自主学习能力和探索精神，通过这个过程，学生能够实现知识由表象到本质的深化，真正理解和掌握一次函数的应用.

2 构建方程组模型，探索问题的本质

方程模型是数学中一种非常重要的工具，广泛应用于各种实际问题中，这种转化过程不仅有助于学生更深入地理解问题的本质，还能够提高他们的创造性思维能力.为了帮助学生更好地掌握这种能力，数学教师在教学中可以通过设置分层分类的问题，逐步引导学生选择和运用数学概念、公式和定理等构建数学模型来描述变量之间的关系，这种教学方式不仅有助于提高学生的数学技能，还能够培养他们的逻辑思维能力和创新能力.

例如 以应用二元一次方程组为例，以增收节支教学为例，教师采取了一个富有创意和实用性的教学策略，即将学生引入实际生活的场景，通过收集和分析家庭水费数据，理解并掌握如何应用二元一次方程组来解决实际问题.在此基础上，教师进一步引导学生将这种方法应用到更复杂的实际问题中，如公司利润的计算，通过分析去年的利润、今年的总产值和总支出的变化率，学生需要列出二元一次方程组来求解去年的总产值和总支出.“某公司去年的利润（总产值—总支出）为200万元.今年总产 值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出分别是多少万元？”为了解决这个问题，我们需要使用数学模型.设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元.根据题目，我们可以建立以下方程：

去年的利润是x－y=200 万元（总产值-总支出）；

今年的总产值比去年增加了20%，即今年的总产值为1.2x 万元；

今年的总支出比去年减少了10%，即今年的总支出为0.9y 万元；

今年的利润是1.2x－0.9y=780万元；由此，我们得出一元二次方程组：

x－y=2001.2x－0.9y=780

通过解决这类实际问题，学生不仅可以掌握方程模型这一有效的数学工具，还可以增强他们的经济意识和资源意识，这种综合性的学习实践过程对于促进学生的全面发展和提高他们的综合素质具有重要意义.

3 构建几何模型，进行变式训练

初中数学教材中蕴含了丰富的模型思想，尤其是在几何图形的学习中，几何图形，如三角形、四边形和圆等，不仅是数学的基础知识，也是培养学生数学建模能力的重要载体.为了帮助学生更好地掌握数学建模的思想和方法，教师可以通过不断地练习和反思，学生可以逐渐学会培养他们的创新思维和问题解决能力.

例如 初中数学几何中的勾股定理，李叔叔检测石狮雕塑底座，如图1所示：

李叔叔想确定正面的AC边和BD边是否都垂直于底边AB.他只带了一个卷尺，已测得AC=30厘米，AB=40厘米，BC=50厘米.我们如何帮助李叔叔判断AC边是否垂直于AB边呢？另外，如果小亮只有一个20厘米的刻度尺，他能否用这个工具来检测AC和BD边是否垂直于AB边？

对于李叔叔的情况，我们可以使用勾股定理来验证，如果AC2+AB2=BC2，那么AC边就是垂直于AB边的.我们计算得到：AC2+AB2=2500，BC2=2500，所以AC边是垂直于AB边的.

对于小亮的情况，他有一个20厘米的刻度尺，要检验AC边是否垂直于AB边，他可以尝试以下方法：

如果AC的长度小于20厘米，他可以直接在AC上测量一个点E，使得AE的长度为10厘米（因为20厘米的一半是10厘米）；

然后，小亮使用刻度尺从A点沿着AB方向测量10厘米到点F；检查EF是否与AB垂直.如果EF与AB垂直，那么由于AE和AF的长度相等，并且都是10厘米，根据等腰直角三角形的性质，AC也应该与AB垂直.

对于BD边是否垂直于AB边，小亮同样可以使用类似的方法，但这次他需要在BD上测量.

在勾股定理的模型应用中，教师应该注重学生的探索和实践能力，设计一些与现实生活相关的问题情境，让学生运用所学的数学知识进行解决，从而提高他们的数学应用能力和问题解决能力.

4 构建概率与统计模型，激发学生思辨能力

统计建模和概率建模是数学在现实生活中的应用，特别是在处理大量数据和随机现象时，在初中阶段，学生开始接触这些概念，为他们在更高层次上的学习和将来的职业生涯打下基础.统计建模是一个系统的过程，它包括数据的收集、整理、分析和解释.这个过程旨在从数据中提取有用的信息，建立数学模型以预测或解释某些现象.在初中阶段，学生通常会学习如何进行抽样调查，如何计算基本的统计量（如平均数、中位数、众数、方差等），以及如何绘制图表（如条形图、折线图、饼图等）来直观地展示数据.概率建模则关注随机事件发生的可能性.概率是一种数学工具，用于描述随机现象的结果.在初中阶段，学生将学习基本的概率概念，如事件、随机事件、独立事件、互斥事件等，此外，学生还将学习如何使用概率来解决实际问题，如预测比赛结果、评估风险等.

例如 为了估计池塘的螃蟹数量，我们采用了“抓、放、抓”的方法，首先，我们抓上来n只螃蟹，给它们打上标记，然后再放回池塘，之后，我们再次进行捕捞，并观察每a只螃蟹中有b只是有标记的，目标是利用这些信息来估算池塘中总的螃蟹数量.根据题目，我们可以建立以下模型：

第一次捕捞并标记了n只螃蟹；

第二次捕捞时，每a只螃蟹中有b只是有标记的；

因此，我们可以得出以下结论：

在第二次捕捞的a只螃蟹中，有标记的螃蟹所占的比例应该与池塘中所有有标记的螃蟹所占的比例相近，即：nT≈ba.现在我们要来解这个方程，找出 T 的值，计算结果为：T=anb.

通过这个问题，学生可以体验到数学在现实生活中的应用，并且学习到如何运用数学知识和逻辑思维来解决实际问题.在解决这个问题时，他们首先需要理解问题的本质，即如何通过有限的样本信息来估计总体的数量；然后运用统计和概率的知识来建立数学模型.这种从具体到抽象、从简单到复杂的教学方法有助于学生逐步深化对数学知识的理解，并培养他们的数学建模能力.

5 构建不等式模型，培养发散思维

不等式模型是数学中一种强大的工具，特别适用于解决现实世界中那些涉及不确定数值或需要确定某个量变化范围的问题，这些问题通常存在于各种实际场景中，如最佳方案选择、交通运输规划、生产规划以及方案设计等.在这些领域中，不等式模型能够帮助我们理解和分析问题的本质.这种方法不仅有助于我们更全面地理解问题，还可以为制定决策提供科学依据.

例如 某工厂计划生产两种产品A和B，其中A产品的利润为每件30元，B产品的利润为每件20元.工厂的总投资为100000元，且用于生产A产品的资金不能超过总投资的60%.同时，工厂每天最多能生产A产品100件和B产品150件.如果工厂想要最大化总利润，应该如何安排生产？

解决这个问题首先要定义变量，设生产A产品的数量为x件，生产B产品的数量为y件，总利润为Z，之后构建不等式模型：

利润最大化，Z=30x+20y（总利润是A产品和B产品利润之和）；

资金限制，30x+20y≤60000（A产品和B产品的总成本不能超过总投资的60%）；

生产能力限制，x≤100和y≤150（每天最多能生产A产品100件和B产品150件）.

这个例题展示了如何使用不等式模型来解决一个涉及资源分配和利润最大化的实际问题，通过构建合适的不等式模型，我们可以找到满足各种限制条件的最佳解决方案.

6 结语

数学建模是一个多元化且广泛应用的领域，它可以从不同的角度进行分类，为了更有效地增强学生的数学建模意识，初中数学教师可以从学生日常生活中熟悉的问题入手，并运用数学方法进行求解，帮助学生形成一个数学建模的框架，提升他们的数学核心素养，并为他们未来的学习和职业生涯打下坚实的基础.

参考文献：

［1］宾朝路.基于数学学科核心素养的初中数学解题教学研究——以2023年重庆中考数学为例［J］.数理天地（初中版），2024，（03）：35-36.

［2］雷业红，王小琪.渗透建模思想，强化数学能力——初中数学教学中学生建模素养发展路径［J］.中学数学，2024，（02）：16-17.