初中数学解题技巧探微

【摘要】关于圆相关的问题是中考必考题型，学生应在理解题目的基础上分析题目选择所需的条件，再选择需要用到的相关概念、知识理论进行详细解读，最后借助计算、添加辅助线等方式进行问题求解.本文对初中数学圆相关问题的解题思路、解决方法进行深入探究，以期为初中数学教学中圆相关教学活动的开展提供帮助.

【关键词】圆；初中数学；解题技巧

初中阶段，教材内关于圆的知识点很多，并且这些知识内容与其他知识点之间也互有联系，所以圆的题型综合性强、内容丰富，导致很大一部分学生对圆相关知识掌握得不够熟练，在解题过程中经常出现知识使用混乱，甚至找不到解题关键点等问题.因此，教师需要以圆的概念、性质定理出发，基于中考考纲中的考点问题进行题型的归纳与分析.

1 有关圆性质的问题求解技巧

例1 如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（ ）

（A）18cm. （B）14cm.

（C）10cm. （D）6cm.

分析 本题中已知条件较多，主要考查学生对圆的性质相关知识的掌握程度，学生需基于“垂径定理”对题目进行细致化分析：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧［1］.基于此对图形中各个点与线的位置进行仔细分析，从而获取解题思路.

解析 根据垂径定理，过O点作一条垂线OM，使OM⊥CD于点M，因为点M是CD的中点，根据CD=8cm可得出MD=4cm.连接OD，因为AB=10cm，所以OD=12AB=5cm，再根据勾股定理可以求出OM=3cm，基于梯形中位线定理，得出A、B两点到直线CD的距离之和等于3×2=6cm.

2 直线与圆的位置关系

例2 PQ是⊙O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ = QB = 2，动点A在⊙O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC.那么线段AB所在的直线与⊙O相切时，△ABC的面积如何计算.

分析 本题考查学生对直线与圆三种位置关系的掌握情况，尤其是直线与圆相切时应如何解题.本题中由于直线AB与⊙O相切，且B点在PQ这一圆外延长线上，所以可以知道AB与⊙O的切点为A，想计算三角形面积，需要求出AO的长度，然后再根据已学的三角形性质求出△ABC其他边长，最后求得面积.

解析 首先将点A与点O相连，根据已知条件中给出的OQ=QB=2，可以求出AO=OQ=2，OB=4，利用勾股定理的性质可以求出AB的长.又因为△ABC是等边三角形，根据等边三角形的面积公式可以得出最终答案.

3 圆切线的性质定理

例3 如图2，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B，将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C，若∠A′=25°，则∠OCB是多少度.

分析 此过程中，考查学生对圆的切线定理、三角形外角性质的掌握程度.圆的切线定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；三角形的外角定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和［2］.通过综合分析得出利用画辅助线的方式可以顺利完成解题.

解析 根据圆的切线定理可以明确∠OBA=90°，解题过程中，连接OO′，基于此根据旋转的性质得出结论：∠A=∠A′，∠ABA′=∠OBO′，BO=BO′，那么就可以作出如下判断：△OO′B是一个等边三角形，进而证明∠OBO′=60°，接下来可判断∠ABA′=60°，最后再利用已经学习过的三角形外角性质计算出∠OCB的度数：∠OCB=∠A+∠ABC=25°+60°=85°.

4 圆中的计算问题

在学习圆相关知识的过程中，学生在解题过程中除掌握圆、三角形的概念、性质和定理，还需要在涉及面积计算问题时，掌握作差法、平移法、等积法、割补法等各种方法辅助计算，从而在解题思路清晰的情况下，得出正确答案.

例4 已知A、B两地相距1km，要在A、B两地之间修建一条笔直的交通轨道，根据具体测量得出以下两个信息：C地在A地的北偏东60°方向、C地在B地的北偏西45°方向，该地有一个以C为圆心，半径长为350m的圆形的儿童主题乐园，修建的这条交通轨道是否会穿过主题乐园？

分析 本题考查学生对圆的基本性质、圆的切线定理以及三角形性质、三角形内角定理等方面知识的掌握程度.想明确以C为圆心的公园是否会与AB边相交，必须求圆形的半径以及C点到线段AB的距离，若⊙C的半径长度大于C点到线段AB的距离，则轨道穿过主题乐园，若⊙C的半径小于C点到线段AB的距离，则修建这条轨道不会穿过主题乐园.

解析 首先过点C作CD⊥AB于点D，那么可以根据已知条件得出∠CBA=45°，∠BCD=45°，因此，可以求得CD=BD，我们可以假设CD的长度为xkm，那么BD的长度也为xkm，再根据C点在A点的北偏东60°方向，可以得出∠CAB=30°，基于此求出AC的长度为2xkm，基于勾股定理计算出AD=3xkm，而AD+BD=1km，那么求得3x+x=1，x ≈ 0.37km，370m＞350m，所以以直线AB修建的轨道不会穿过儿童主题乐园.

5 结语

深入分析初中数学圆相关问题及解题技巧后，教师未来应着重培养学生的逻辑推理能力与灵活思考能力，保证他们在建立完整的知识体系后，面对各类圆的题型都能积极探索、从容面对，为后续的学习与发展奠定基础.

参考文献：

［1］左朋法.初中数学解题教学中“圆”的解题解析［J］.数理天地（初中版），2023（21）：26-27.

［2］孙明松.初中数学圆的解题技巧研究［J］.数理天地（初中版），2022（05）：84-85.