初中二次函数中几种常见的解题方法

【摘要】新时代发展视域下，初中数学教学应当强调学生知识技能与方法手段的有效掌握，帮助学生切实把握问题解决的思路和能力，有利于拓展学生数学思维，促进初中学生数学学科的长远学习发展.初中二次函数问题解题方法主要包括待定系数法、数形结合法以及数学建模法三种方法，本文结合人教版初中数学例题对二次函数的各种解题方法进行简要分析.

【关键词】初中数学;二次函数;解题方法

二次函数是初中数学课程中的重要板块，在代数和几何范围内都具有重要影响.初中二次函数常见解题方法中待定系数法是以二次函数解析式为基础的解题方法，主要包括一般式、顶点式和交点式，数形结合法是将二次函数与几何图形结合起来的方法，主要包括几何求解法、辅助线法和三角函数法，数学建模法是以数学模型为核心进行建构求解的解题方法.

1 初中二次函数中待定系数法解题应用

待定系数法是指基于二次函数解析式y=ax2+bx+c进行代数推理的解题方法，旨在引导学生以充分了解二次函数为前提利用已知条件进行未知量的求解［1］.初中二次函数的待定系数法主要包括一般式、顶点式、交点式三种类别.

例1 根据下列条件，分别确定二次函数的解析式.

（1）抛物线y=ax2+bx+c过点（-3，2），（-1，-1），（1，3）；

（2）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标分别是-12，32，与y轴交点的纵坐标是-5.

解析 本题取自人教版初中数学教材九年级上册二次函数单元小结复习题版块，是初中二次函数类型题中典型的基础题型，主要应用待定系数法进行函数求解.其中第（1）问应用一般式法解题，已知抛物线上的三点坐标，可以直接代入y=ax2+bx+c进行求解，可得出y=78x2+2x+18；第（2）问可以应用待定系数法中的交点式进行解题，已知二次函数与x轴的两个交点坐标以及与y轴的交点坐标，可以代入y=ax-x1x-x2a≠0交点式，可得出解析式为y=203x2-203x-5.本题充分体现了二次函数的基础概念，是待定系数法在二次函数求解中的应用基础.

2 初中二次函数中数形结合法解题应用

数形结合思想是初中数学教学活动中，学生应当具备和掌握的基础数学思想，是发展学生抽象性思维的重要举措［2］.初中二次函数问题不仅在代数领域，在几何问题中也有广泛应用.初中二次函数中应用数形结合法主要包括几何求解法、辅助线法以及三角函数法三种类别.几何求解法是针对二次函数中的几何图形，利用几何学知识通过周长或面积公式进行问题求解的方法，有效实现代数问题到几何问题的转换.辅助线法是指在二次函数坐标系中通过添加辅助线的方式进行解题，为问题求解提供新的已知量，将复杂问题转化为常见问题的求解方法.三角函数法是针对二次函数问题中的三角形问题，利用三角函数进行问题求解的方法.

例2 如图1，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大，并求出P点坐标及△PBC的面积最大值.

解析 针对P点坐标求解问题，可以引入三角函数以及辅助线法的数形结合法进行坐标求解.过点P作BC的平行线l（二次函数的切线），当直线l与抛物线有唯一交点时，△PBC边BC上的高最大，则△PBC的面积最大，如图2.由二次函数解析式可知直线BC的解析式为y=x+3，则直线l的解析式可设为y=x+b.由公式可得，x+b=-x2-2x+3，所以x2+3x+b-3=0，由Δ=32-4（b-3）=0，得出b=214，x=-32，M（0，214）.此时BC上的高h最大，h=MC×sin∠CMP=MC×sin∠OCB=94× 22=9 28.S△PBC=12BC×h=12×3 2×9 28=278，P点坐标为（-32，154）.

本题通过结合题目需求增设辅助线，借助三角形的几何性质、三角形面积公式以及三角函数等几何知识进行二次函数问题的求解，有效助力初中学生数形结合解题思维方法的吸收掌握.

3 初中二次函数中数学建模法解题应用

数学建模法是指结合题目需求进行解析模型的构建，借助普适性的数学模型掌握题目解题规律，再代入已知量进行求解的过程.数学建模法能够有效促进学生模型思维、建模意识以及数学理性思维的形成与发展.

例3 某玩具进价8元/件，若售价为10元/件，则销售量为100件/天.该店意图通过提高售价增加利润，已知玩具每提高1元售价，日销售量就会减少10件.问该店售价定为多少的情况下能获得最大利润.

解析 将玩具每件提高价格设为x元（x≥0），该玩具的利润为y元，则每天销售额为（10+x）（100-10x）元，进货总价为8（100-10x）元，因此0≤x≤10.由利润=销售总价-进货总价可以建立数学模型为y=（2+x）（100-10x）（0≤x≤10），由此可以转化为二次函数的最值问题求解.

利用数学模型将应用题目转化为常见的基础题目，实现复杂问题到简单问题的转化，促使学生将数学眼光和数学思维应用到实际问题解决中来，充分发挥了数学建模法的教学价值与育人价值，有助于学生从根源角度体会和感受应用问题中的数学的独特魅力.

4 结语

总而言之，新课程标准视域下，初中数学教学应当注重学生学科知识与学科素养的均衡发展.初中数学教学应当注重学生多元解题方法的掌握，强调通过不同的解题方法帮助学生深入掌握数学基础知识技能，促进初中学生数学学科素养的形成发展.本文结合例题对待定系数法、数形结合法以及数学建模法进行了研究分析，有效助力初中学生二次函数版块问题解决能力的发展提升.

【本论文系白银市教育科学“十四五”规划课题《5G时代推动在线教育高质量发展的策略研究》的阶段性研究成果.课题批号：BY【2021】G242号】

参考文献：

［1］苏春荣.初中数学二次函数应用题解题教学研究［J］.数理天地（初中版），2023（13）：25-27.

［2］郑子飚.初中数学解题方法和技巧研究——以二次函数解析式为例［J］.新课程导学，2023（14）：56-59.