初中数学解题中数形结合思维的妙用

【摘要】目前数学课程教学中，需要教师能够以多元化、多样化授课模式开展相关教学活动，在使学生形成完善、良好数学思维系统的基础上提升综合学习能力.在数学思想体系中，数形结合是一种初中常见的数学解题思想，在数学教学中通过引进数形结合思想，能够有效降低教学难度，有助于提高学生解题效率与质量.本文以函数最值问题为例，针对初中数学解题中数形结合思维的应用策略加以探索研究.

【关键词】初中数学；数形结合思想；解题

对于初中学生来说，数学是一门很有挑战性的学习科目.数学主要是“数”和“形”相结合的一门学科，要正确解决“数”与“形”之间的关系，才能准确解决相关问题.数形结合思想是初中学生必备的一种解题思路，在解决问题的过程中进行有效的应用，能够帮助学生更好地掌握数学知识，根据知识关系来建立一个知识系统，从而提高解题能力.

1 数形结合思维在初中数学解题中的作用

“数”与“形”是数学发展中两个重要的研究对象.“数形结合”是数学最基本的特点，也是一种重要的思维方式，许多问题都可以用数形结合的方式来解决，在此过程中，需要学生充分发挥图形特有的形象性、直观性特点，深层次体现数字思维的标准化和严谨性［1］.

“数形结合”也是一种极具数学特色的信息转换方法，主要特点是可以通过数学的抽象特性解释“具象”的数学知识现象，又能解释事物本质.从这一意义上讲，数形结合是一个必不可少的数学知识转化过程.

2 数形结合思维在初中数学解题中的运用策略

数形结合求最值，主要是通过将某些抽象的解析形式赋予几何意义，再利用图形性质和数量关系，实现数学模型中“数”和“形”之间的信息转化，将代数问题等价于几何求解，从而使求解过程变得更加简便、快捷［2］.

例1 如图1所示，抛物线顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3） .

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点F （0，-3），在抛物线的对称轴上是否存在点G，使得EG+FG最小？如存在，请求出其坐标，如不存在，请说明理由.

解答 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，

将点E（0，3）代入得3=a（0-1）2+4，

解得a=-1，即抛物线的解析式为

y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3.

（2）如图2所示，可以先在函数图象上找一点E′，使其与点E关于抛物线的对称轴对称，同时连接E′F交对称轴于点G，此时便可以得知，EG+FG的值为最小.因而存在点G.

因为E点坐标为（0，3），对称轴为直线x =1，

所以E′（2，3），根据E′和F的坐标易求得直线E′F的解析式为y=3x-3.

当x=1时，y=3×1-3=0，

所以G点坐标为（1，0）.

解题策略 对于此题来说，需要在原有图象上添加辅助线，利用图形直观性、形象性特征进行分析，从而求出要求的点坐标.

例2 求函数fx= x2+1+ （x-2）2+1的最小值.

分析 观察题干，可以将所求关系式转化为求一个动点到两个定点的距离之和，因而可以将原函数化为fx= （x-0）2+（0-1）2+ （x-2）2+（0-1）2，原题即转化成“已知点P（x，0），求它到两定点A（0，1），B（2，1）的距离之和的最小值”，并将其与图形相结合，从而有效解决相关问题.

解答 原函数可化为

f（x）= （x-0）2+（0-1）2+

（x-2）2+（0-1）2，

如图3所示，

函数f（x）的最小值即为|AP|+|PB|的最小值.对此，可以作一个定点A′，使其与A点关于x轴对称，从而直观化呈现相关图象，可知|AP|+|PB|=|A′P|+|PB|，以此得到，当A′，P，B共线时，有最小值|A′B|=2 2.

即fxmin=2 2.

解题策略 从这个问题中可知，原函数是一个二次根式，如果用代数的方式来求解，将非常困难.但是通过分析将此代数问题几何化，同时借助图形求解，便可以帮助学生更好地理解问题，而且解题过程也将显著简化［3］.

例3 对于每个实数x，设f （x）是y=4x+1，y=x+2，y=-2x+4三个函数中的最小值，求f （x）的最大值.

分析 首先要掌握y=4x+1，y=x+2，y=-2x+4中的最小值与x的取值之间存在的关系.对此，可以在同一直角坐标系中分别作出y=4x+1，y=x+2，y=-2x+4的函数图象，以直观观察图象关系.

解答 如图4所示，可以很明显地看出，x为何值时4x+1最小，x为何值时x+2最小，以及x为何值时-2x+4最小，并由此得出f （x）的图象.易知f（x）的最大值是y=x+2与y=-2x+4交点的纵坐标.

解方程组y=x+2y=-2x+4，可得y=83.

所以f （x）的最大值是 83.

解题策略 在函数图象帮助下，学生既能更好地理解相关问题，又能够很容易得到f（x）的最大值.否则，必须先求解不等式组将函数f（x）进行分段表示，然后再找出各段上的最大值，再得出结果，这一过程可能导致出现更多的错误，并且还加大了学生解决问题的难度，无论对函数知识学习，还是对数学整体学科的学习，都无法起到有效地推动和帮助效果.

3 结语

综上所述，初中阶段函数问题一直都是数学教学中的重点所在，同时对于学生来说也是一个难点.针对此种情况，教师在实际教学过程中，应当充分考虑到目前学生在解决函数最值问题时所遇到的各种问题，积极革新传统解题教学方式、改变授课模式，从而使数形结合思想的教育教学价值得到更好的发挥与利用.只有这样，学生才能够在图形帮助下，对相关问题加以深层次分析和解决，更为有效、全面地解决数学函数最值问题.

参考文献：

［1］高英凯.数形结合在初中数学解题中的应用［J］.数理化解题研究，2023（35）：20-22.

［2］香钦源.数形结合思想在初中数学解题中的应用［J］.数理天地（初中版），2023（17）：20-21.

［3］周利明.初中数学解题中数形结合思维的妙用——以“函数的最值问题”为例［J］.数学之友，2023，03（07）：43-45+49.