二元一次方程组在实际问题中的应用探讨

【摘要】二元一次方程组是一种重要的数学工具，它在日常生活、生产实践中具有广泛的应用．本文将探讨二元一次方程组在解决行程问题、工程问题、销售和利润问题中的应用，旨在为读者提供对这一数学工具更深入的理解和认识．

【关键词】二元一次方程组；实际问题；应用

二元一次方程组在实际问题中的应用非常广泛，解决这类问题的基础是熟练地解二元一次方程组，并理解各种解法的意义，才能在实际问题中根据题目要求列出二元一次方程组．

1 运用二元一次方程组解决行程问题

例1 随着人们健康意识提升，运动锻炼需求增多，越来越多的人愿意为保持健康付出更多努力．跑步作为老少皆宜的运动方式，进入门槛低，吸引了大量群众加入，掀起全民跑步热潮．甲、乙两人相约去环形运动场进行跑步锻炼，绕环形运动场跑步一圈的里程为400米．

（1）甲进行变速跑训练．先以一定的速度绕运动场跑完2圈后立即提速20%并以该速度跑完2圈后停止跑步，若提速后所用的时间比提速前少1603秒，求甲提速前每秒跑多少米？

（2）甲、乙同时同起点出发（甲、乙两人分别以一定的速度匀速跑步）．若同向而行，640秒后两人第一次相遇；若相向而行，6409秒后两人第一次相遇．已知甲比乙跑得慢，求甲、乙两人每秒各跑多少米？

解析 （1）设甲每秒跑步m米，由题意可得，

2×400m－2×4001.2m=1603．解得m=52．

经检验，m=52是原方程的解．

所以，甲每秒跑步2.5米；

（2）设甲、乙每秒分别跑步为x米，y米，由题意可得

（x+y）×6409=400（y－x）×640=400，

解得，x=52，y=258．

所以，甲、乙每秒分别跑步为52米，258米．

点评 本题主要考查了二元一次方程组在处理行程问题中的应用．第（1）问中，需要先表示出提速前所用的时间，提速后所用的时间，再根据时间差为1603列出分式方程，再求出解即可；第（2）问中，根据两人所跑的路程和等于400，再根据两人所跑的路程差等于400列出方程组，再求出解即可．

2 运用二元一次方程组解决就工程问题

例2 某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元．

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（1）请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元？

（2）为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低．

解析 （1）设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元，

依题意列方程得：2x+0.3=3yx+y=2.6，

解得：x=1.5y=1.1，

所以，甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为1.1万元；

（2）根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需：30÷1.5=20（天），则工期为20天，

所以单独完成这项工程需20天，乙单独完成这项工程需20+5=25天，

设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工20－a天，

根据题意得：120+125a+12520－a≥1，

解得：a≥4，

总费用为：1.1+1.5a+1.120－a=22+1.5a，

当a=4时，总费用最少，为22+1.5×4=28（万元），

所以，甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低．

点评 本题主要考查了二元一次方程组在处理工程问题中的应用．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组及不等式求解．第（1）问中，设出两工程队每天所需的施工费，根据题意，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元，列出方程组即可求解；第（2）问中，单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需20天，乙单独完成这项工程需20+5=25天，设乙工程队施工a天，设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工20－a天，根据甲乙合作的工作量加上乙单独完成的工作量大于等于总工作量，列出不等式，求解即可，最终找到最优解．

3 运用二元一次方程组解决销售和利润问题

例3 青少年近视已经成为困扰我国中小学生的严重问题，根据《儿童青少年学习用品近视防控卫生要求》中对学生用品——护目灯的光照度、色温、蓝光、频闪等参数都有明确的合格要求，某企业生产的A，B两种型号的护目灯均符合要求．已知出售1件A型号和3件B型号护目灯共收入1100元，出售2件A型号和5件B型号护目灯共收入1900元．

（1）求A型号和B型号每件护目灯的售价；

（2）若出售A，B两种型号（均有销售，且总件数不超过13件）共收入3000元，则出售A，B两种型号的护目灯各几件？

解析 （1）设A型号的售价x元，B型号的售价y元，由题意得

x+3y=11002x+5y=1900，解得x=200y=300，

所以，A型号的售价200元，B型号的售价300元；

（2）设出售A型号a件，则出售B型号b件，

由题意得200a+300b=3000，化简得2a+3b=30，

因为a，b为正整数，且a+b≤13，

所以a=3b=8或a=6b=6或a=9b=4，

所以出售A型号3件，B型号8件或A型号出售6件，B型号出售6件或A型号出售9件，B型号出售4件．

点评 本题主要考查了二元一次方程组在处理销售和利润问题中的应用．第（1）问中，设A型号的护目灯的售价x元，B型号的护目灯的售价y元，根据出售1件A型号的护目灯和3件B型号的护目灯共收入1100元，出售2件A型号的护目灯和5件B型号的护目灯共收入1900元，列出方程组进行求解即可；

第（2）问中，设出售A型号的护目灯a件，则出售B型号的护目灯b件，根据题意列出二元一次方程进行求解即可．可以看出，二元一次方程组能帮助企业实现利润的最大化．

4 结语

二元一次方程组作为一种简单而实用的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用．在工程问题、行程问题、销售问题、人口预测和资源分配中，它都发挥了重要的作用．因此，应该加强对二元一次方程组的了解和应用，以更好地解决实际问题．尽管二元一次方程组在实际问题中具有广泛的应用，但仍有许多领域可以进一步研究．例如，如何利用计算机技术和算法优化，提高二元一次方程组的求解速度和精度；如何将二元一次方程组与其他数学工具和模型相结合，解决更复杂的问题等．这些都是未来研究的重要方向．二元一次方程组在实际问题中非常重要和实用，希望本文能对读者了解和应用二元一次方程组提供有益的参考．

参考文献：

［1］许艳.二元一次方程组在实际问题中的应用［J］.科教文汇（下旬刊），2013，（24）：144+152.

［2］于保生.利用数学思想解决实际问题——以一元二次方程组的应用为例［J］.中学数学教学参考，2016，（24）：60-61.

［3］陈永华.例析二元一次方程（组）的应用［J］.中学数学，2022，（22）：52-53.

［4］叶建耀.二元一次方程组在实际问题中的应用［J］.中学教学参考，2023，（29）：16-18.