二次函数中系数对图象的影响研究

【摘要】二次函数中的系数与图象的关系问题，不仅是初中数学的重要内容，同时也是一种重要的数学思想，这种思想贯穿初中和高中数学，该知识点也是最近几年中考的热点和重点，在中考中占有相当重要的地位，而且常与其他知识点相结合进行考查.解决这类问题的核心是要搞明白数与形之间的转换问题.本文对中考数学中这类问题常用的解题技巧进行梳理.

【关键词】二次函数系数；图象；解题技巧

1 二次函数图象与系数代数式的符号问题

在根据二次函数的图象研究系数或者代数式问题时，首先要明确的就是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）（a，b，c是常数）的系数对于图象的影响，其中二次项系数a决定抛物线的开口大小和开口方向.另外还要注意对称轴的位置，二次函数图象与坐标轴交点的位置，等等，这都是我们获取系数或者代数式问题的关键信息.

例1 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论：①abc>0；②9a+3b+c<0；③b2<4ac；④2c<3b；⑤a+b>m（am+b）（m≠1）．其中正确的结论有（ ）

（A）1个. （B） 2个.

（C） 3个. （D） 4个.

解析 由图1可知，a<0，b>0，c>0，所以abc<0．故①错误．

因为抛物线的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点在－1和0之间，所以抛物线与x轴的另一个交点在2和3之间，又因为抛物线开口向下，所以当x=3时函数值小于零，即9a+3b+c<0．故②正确．

因为抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac．故③错误．

因为当x=－1时，函数值小于零，所以a－b+c<0．又因为抛物线的对称轴为直线x=1，所以－b2a=1，即a=－12b．所以－b2－b+c<0，即2c<3b．故④正确．

因为抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=1，所以当x=1时，函数取得最大值为a+b+c，则对于抛物线上的任意一点（非顶点），其函数值必小于a+b+c，即a+b+c&gt;am2+bm+c（m≠1），所以a+b>m（am+b）（m≠1）．故⑤正确．故选（C）.

2 二次函数图象与点及对称轴问题

利用二次函数图象研究点以及对称轴问题时，要注意二次函数图象中关于对称轴对称的每一对点，它们的函数值是相等的；反之，若二次函数图象中的两个点的函数值一样，则这两个点关于对称轴成轴对称.另外，要注意二次函数与x轴的两个交点是一对比较特殊的轴对称点．

例2 如图2所示，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于点A（－3，0）、点B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为x=－1．

（1）求抛物线的表达式；

（2）M是抛物线上的点且在第二象限，连接AM，MC，AC，求△MAC面积的最大值．

解析 （1）因为抛物线与x轴交于点A（－3，0）、点B两点，对称轴为x=－1，

所以B（1，0），所以抛物线的解析式可设为y=a（x+3）（x－1），

把C（0，3）代入其中可得3=a×3×（－1），解得a=－1，

所以抛物线的解析式为y=－（x+3）（x－1），即y=－x2－2x+3.

（2）设直线AC的解析式为y=mx+n，

把A（－3，0），C（0，3）分别代入其中可得

－3m+n=0n=3，

解得m=1n=3，

所以直线AC的解析式为y=x+3.

过点M作MN∥y轴交AC于点N，如图3所示，

设M（t，－t2－2t+3）（－3<t<0），则N（t，t+3），

所以MN=－t2－2t+3－（t+3）=－t2－3t，

所以S△MAC=12×3×（－t2－3t）=－32t2－92t，

因为S△MAC=－32（t+32）2+278，

所以当t=－32时，S△MAC有最大值，最大值为278．

3 利用二次函数系数符号研究图象问题

利用二次函数的系数符号研究图象问题，这类问题主要是考查数形结合思想，在解决问题时，要注意将题目中的“形与数”结合起来，融会贯通，找到两者间的联系，让数促形，尤其要注意题目中给出的抛物线开口方向、关键点的坐标位置，以及各项系数与图象的对应关系等，利用这些已知信息做出判断，即可研究出相关图象问题.

例3 已知二次函数y=ax2+bx+c满足以下三个条件：①b2a>4c，②a－b+c<0，③b<c，则它的图象可能是（ ）

（A） （B）

（C） （D）

解析 因为二次函数y=ax2+bx+c满足以下三个条件：①b2a>4c，②a－b+c<0，③b<c，所以由①可知：当a>0时b2－4ac>0，则抛物线与x轴有两个交点，当a<0时b2－4ac<0，则抛物线与x轴无交点；由②可知：当x=－1时，y<0，由③可知：－b+c>0，因为a－b+c<0，所以必须a<0，所以符合条件的有选项（C）和选项（D）.由（C）的图象可知，对称轴直线x=－b2a>0，因为a<0，所以b>0，抛物线交y的负半轴，c<0，则b>c；由（D）的图象可知，对称轴直线x=－b2a<0，因为a<0，所以b<0，抛物线交y的负半轴，c<0，则有可能b<c，故满足条件的图象可能是（D）.

4 结语

综上所述，对于二次函数系数与图象之间的关系问题，是初中的一个难点问题，涉及的知识点和方面也比较多，但是所有的考查点几乎都与系数密切相关，而且这类问题往往比较全面地考查学生对于二次函数知识点的掌握情况，因此在日常学习中，要牢牢抓住二次函数三个系数的各种性质，以及它们与图象之间的内在联系，如此才可以在解决有关二次函数的图象和性质的题目时做到游刃有余.