动态几何示例探

[摘 要] 动态几何与函数问题的综合性极强，问题往往涉及了几何、函数、不等式、方程等知识内容. 问题的解析过程需要理解运动过程、把握动态特性，再结合相应的解题策略来构建转化. 研究者结合实例开展动态几何与函数问题的解析探究.

[关键词] 动态几何;函数;旋转;平移

动态几何是初中数学的重点知识，主要研究动态几何中的特殊性质，包括角、线段与图形的位置和特征关系. 实际考查时常以函数为背景，构建动态几何与函数问题，该类问题融合了几何运动与函数的相关知识，往往以点、线和图形的规律运动为主线，集几何与函数知识为一体，构建综合性问题，下面举例探究.

示例探究

分析：本题目为以三角形旋转为基础的反比例函数综合题，知识主线为三角形旋转，求解反比例函数的特征参数k的值.

对于本题，根据三角形旋转过程，绘制变换后的图象即可（画△AOB即可）. 当点A在y轴上，点B，C在x轴上时，根据△ABC为等边三角形且AO⊥BC作图，可构造△BFO∽△OEA模型. 从而可推出S=3，进而根据反比例函数k的几何意义可求解.

比例函数k的几何意义，可解得k=6.

评析 本题以反比例函数中的三角形旋转为背景，综合考查了反比例函数的性质、k的几何意义、相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键. 解析动态几何与函数问题，总体上分为三步，具体如下：

第一步，理解几何运动过程，绘制图象.

第二步，把握运动特性，提取其中的特殊模型.

第三步，结合函数与几何的相关性质求解.

策略探究

动态几何与函数综合题，涉及几何运动与函数的相关知识，具有“数”与“形”的双重属性，该类问题的破解过程应注重在运动中分析，变化中求解. 探究学习时建议总结方法思路，形成对应的解题策略，教学中建议从以下四个方面进行引导.

1. 关注解题的核心思想

对于动态几何与函数综合题，解题的核心思想是化归转化，即解题的本质是将问题转化为一般性问题. 转化过程包括多个方面，具体有以下几点.

“化大为小”，即转化多解或复杂问题，转化为一般的问题.

“化动为静”，即将动态问题转化为静态问题，在“静”中求解，因此解题时需要理解动态过程，把握动点规律.

“化繁为简”，即转化其中的复杂条件，如化面动为线动，化线动为点动. 因此深刻理解转化思想，灵活运用是解题的关键.

2. 构建破题的基本策略

破解动态几何问题的基本策略较多，需要解析问题的方方面面，重点是解析图象、转化条件. 可从以下几个点切入.

看图找点，即把握图象中的关键点，如静态点（可作为参考点）、动态点（形成动态几何的关键点）、分界点（改变图象整体属性的点）.

见形思式，即根据图形来书写公式，根据几何的特性来构建代数式，实现几何特性的数量化，如根据等边三角形特性推理等线段条件.

数形结合，是解析该类问题的重要策略，即解析问题中的位置与图形，动态与静态之间的关联，从变化的图形中探寻“变”与“不变”量的关系，逐步实现动态条件的定量化.

建立模型，解析过程中需要分析其中的关系，构建代数与几何两类模型，如建立函数关系式、方程式、不等式模型，建立特殊关系及特殊图形的几何模型.

3. 把握解题的立足点

动态几何与函数综合题的立足点为动面、动线和动点，理解感悟其中的构建精髓是解题的关键，即点动成线、线动成面、面动成体. 实际考查时，常构建三类问题，动点问题、动线问题、动面问题，上述示例就为动面问题，对于不同类型问题，解题的立足点有一定的差异.

动点问题，可归为单动点和多动点两类，需要把握动点的运动轨迹，包括起始点、终止点，必要时把握其运动方向.

动线问题，即线段运动，常见的有线段平移和旋转，需把握线段平移中的起始和终止位置，以及关键的交点;而线段旋转中，需把握其旋转角度和方向. 通常解动线问题，将其转化为动点问题，利用动点规律来研究.

动面问题，本质上为动线问题，解析时把握线段与几何的关联，利用线段运动来研究几何，提取其中的运动规律.

4. 破除分析的“瓶颈”

“分界点”是动态几何与函数问题分析的“瓶颈”，思路探索中需要找准解题的“分界点”，利用该点来实现问题的转化，构建具体模型. “分界点”一般隐含在几何运动变化中，需要从“动态”中提取关键信息.

点遇点，即两点重合，此时可将其视为一个点，构建模型时视为同一点.

点遇线，即点位于线段上或经过该线段，构建模型时关注点与线段的位置关系.

线遇线，即两线相交或重合，构建模型是特别注意两线相交的交点位置，关注该点的特性.

拓展探究

上述研究示例的破解过程，总结了动态几何与函数的解题方法，形成了相应解题策略. 理解运动过程，把握几何规律，实现动态问题静态化，合理构建静态模型是解题的关键. 整个解题过程注意合理利用分类讨论、数形结合、化归转化、模型构建等思想方法. 下面结合实例，进一步开展拓展探究.

1. 点平移与反比例函数

（1）求n，k的值;

（2）当m为何值时，AB·OD的值最大？最大值是多少？

（2）因为点B横坐标大于点D的横坐标，所以点B位于点D的右侧，过点C作x轴的垂线，分别交AB于点E，交x轴于点F，如图3.

因为EF=y=8，则CE=CF=4，可得C（8，4），根据题意可知将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B，所以B（m+4，8），则BE=DF=m-4，可推得D（12-m，0），OD=12-m，所以AB·OD=m（12-m）=-（m-6）2+36. 分析可知，当m=6时，AB·OD取得最大值36.

评析 上述为围绕点平移构建的函数综合题，即点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B，根据点平移规律推导点A和B之间的坐标关联是解题的关键. 对于点平移的函数类问题，需要关注两点：一是把握平移的单位量;二是构建平移前后点坐标的关联.

2. 线段旋转与抛物线

（1）求点A，B的坐标;

（2）随着点E在线段BC上运动.

①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由;

②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值;若不存在，请说明理由;

（3）当线段DE的中点在该二次函数图象的UIc2nAtUQgs7XK6tL8NgHDw6wVVFIFgQSNR3u67GKyk=对称轴上时，△BDE的面积为______.

（2）①在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，如图5.

分析可知抛物线对称轴为x=1，即ON=1，由题意可知将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC. 所以∠BAC=60°，AB=AC，可得△BAC是等边三角形，所以AB=AC=BC，∠C=60°.

推理可证△BED≌△MEA，所以DE=EA，又知∠AED=60°，所以△AED是等边三角形，即∠ADE=60°，即∠ADE的大小不变.

（3）设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，如图6.

因为OA=OB=AC=BC=2，则四边形OACB是菱形，可推得BC∥OA.

结合条件可证△MBE≌△MHD，所以DH=BE. 因为∠ANM=90°，可推得∠MBE=90°=∠ANM，∠NMA+∠NAM=90°.

评析 上述为围绕线段旋转的函数综合题，即线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC. 理解旋转过程，根据旋转过程提取几何条件是解题的关键. 对于涉及线段旋转的函数问题，需要关注两点：一是提取几何旋转特性，如线段关系，角度关系;二是几何线段旋转与函数的关联，提取特殊模型.

写在最后

探究动态几何与函数问题，需要经历探索、归纳、猜想、获得图形的运动规律，用运动变化的眼光来审视其中的图象，构建或提取特殊模型，实现问题静态化.

问题分析中注意数形结合，把握动态几何特性，探寻其中的变量关系，结合函数来参数化几何量，如线段长、点坐标. 教师注意引导学生利用函数与几何的基础知识分析问题，构建几何定理与代数公式的联系，提升学生分析处理、运算推导问题的能力.