强化分类思想 发展数学素养

[摘 要] 分类思想是重要的数学思想方法之一，其对培养学生的思维逻辑具有相当重要的作用. 在实际教学中，教师应重视加强分类讨论思维模型训练，指导学生合理应用分类思想解决问题，以此训练学生思维的条理性和概括性，发展学生的数学素养.

[关键词] 分类思想;分类意识;数学素养

无论在平时作业中，还是在大型考试中，因“分类不当”“忘记分类”等情况而失分的情况常有发生. 究其原因是学生缺乏分类意识，无法掌握分类对象的分类标准，加之学生平时做题后不重视反思归纳，使得学生在面对分类问题时常常出现错误. 在日常教学中，教师要加强学生分类意识的培养，适度增加应用分类思想解决问题，从而让学生在问题的解决中逐渐积累经验，升华认知，提升素养. 下面笔者就如何培养学生的分类意识，发展学生的分类思想，谈谈自己的看法.

在审题中发现分类信息

审题是解题的第一步，也是关键的一步. 通过审题理解题意，挖掘题设中的显性条件和隐性条件，寻找解决问题的突破口.

例1 在Rt△ABC中，已知AC=3，BC=4，求AB的长.

问题给出后，很多学生不假思索地直接给出AB的长为5. 为了让学生自己发现问题，教师引导学生说出思考过程.

师：说说你的解题过程. （教师点名让学生回答）

生1：我先画出Rt△ABC，其中∠C=90°，Rt△ABC的两条直角边长分别为3和4，根据勾股定理可以得出Rt△ABC的斜边AB的长为5.

师：其他同学也和生1的想法一样吗？

有些学生点头表示赞成生1的想法，有些学生提出异议，此时教师让给出“AB边的长为5”的学生重新仔细读题. 学生再次读题后找到了问题所在，顺利地解决了问题.

教学分析：在解题过程中，受定式思维的影响，有些学生或添加“∠C=90°”这一条件，或认为3和4就是直角边长，继而得到的答案不完整. 然本题中并没有指定∠C是直角，也没有说明AC和BC是直角边，所以在解决此类模糊性问题时，需要分类讨论. 本题分两种情况进行讨论：一是已知两条边为直角边;另一种是一条边是直角边，一条边是斜边. 在教学中，教师没有直接给出评价，而是让学生再次仔细读题，让学生自己发现问题所在，以此通过析错、纠错等过程培养学生思维的严谨性，推动学生全面发展.

在日常教学中，教师应重视读题训练，让学生明确问题的关键信息. 在解决几何问题时，应引导学生将文字语言和符号语言转化为图形语言，借助几何图形的直观寻找解题的突破口. 在解题过程中，当学生的思维受阻时，应鼓励学生重新读题，以此突破障碍，形成正确的解题思路. 对于例1，之所以很多学生解题时出现了错误，就是因为学生没有理解题意，想当然地认为给出的两条边是直角边，继而得出的答案不完整. 其实，例1中的模糊性语言就是关键信息，读题时应及时捕捉，并在解题时合理分类，以此形成正确的解题思路.

例2 画出函数y=x-1的图象，说说该函数具有怎样的性质. （至少说出2条）

教师预留2分钟的时间让学生读题，然后与学生共同交流.

师：谁来说一说，你是怎么想的？

生2：要想画出该函数的图象，首先应该去掉绝对值符号.

师：你能详细说一说该如何去掉绝对值符号吗？

生2：要去掉绝对值符号，需要对（x-1）进行分类讨论. 当x-1≥0，即x≥1时，函数为y=x-1;当x-1<0，即x<1时，函数为y=-x+1.

师：分析得很有道理，你是如何想到这样分类的呢？

生2：我是结合之前学习绝对值时的经验想到的. 在去掉绝对值符号时，需要看里面的数是正数、负数，还是0. 如果是正数或0，可以直接去掉绝对值符号;如果是负数，需要取它的相反数. 结合这一经验，可以将函数y=x-1进行分类.

师：说得很好，已知条件中没有给出自变量x的取值范围，这样我们也就无法确定（x-1）的正负，所以在面对x-1这一模糊条件时，需要进行分类讨论.

在日常学习中，会遇到许多类似的出现模糊信息的问题，解题时一定要引导学生认真读题，及时捕捉题设信息中的“弦外之音”，以此顺利找到解题的突破口，高效地解决问题.

在问题中确定分类标准

确定分类标准是实施分类讨论的关键. 数学对象的分类标准是千差万别的，若思考的角度不同，出发点不同，分类标准会有所不同，分类结果和解题过程也会有所不同，因此分类标准的确定需要具体问题具体分析.

例3 在圆O中，A，B是圆上任意两点，试探究弧AB所对的圆周角与圆心角之间的数量关系.

问题给出后，教师先让学生动手画图，然后组内交流.

追问：大家通过动手操作发现，弧AB所对的圆周角有无数个，那么这些角存在怎样的数量关系呢？它们与圆心角又存在怎样的数量关系呢？

学生通过观察和测量得到无数个圆周角的大小相等，且等于圆心角的一半的猜想. 但是猜想并不能作为结论，猜想的证明自然成了研究重点. 对于无数个角，显然逐一证明是不现实的，为此在验证时需要对其进行分类. 学生通过观察、思考、交流，明确根据所对的圆周角与圆心O的相对位置进行分类（如图1、图2、图3）：①圆心O在∠ACB边上;②圆心O在∠ACB内;③圆心O在∠ACB外. 得到图形后，可以根据三角形外角和、等边对等角等相关性质证明结论，这里就不一一阐述了. 这样通过分类讨论不仅解决了“无数个”的问题，也得到了同弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系.

很多时候分类标准不是一眼就能看到的，需要在解决问题的过程中逐渐确定. 在日常教学中，教师要引导学生不断地学习与积累，逐步提高自身分析和解决问题的能力，提高自身数学素养.

在反思中积累分类经验

反思是加深知识理解，积累活动经验，发展数学思维的重要途径，其在数学学习中是必不可少的. 在日常教学中，教师要创设一定的机会引导学生反思，充分发挥反思的力量，提升学生的数学能力和数学素养. 分类能力的培养是一个慢过程，需要在日常教学中不断引导学生去学习和感悟. 教师作为课堂教学的组织者，应为学生营造一个自我反思、自我归纳的良好的学习氛围，让学生在反思和归纳中逐步优化认知结构，提升分类能力.

为了让学生在反思中积累分类经验，提升数学学习能力. 针对以上3个案例，教师结合课堂生成创设如下问题：

（1）对于例1，你认为出错的原因是什么？通过问题的解决，你积累了哪些读题经验？

（2）对于例2，将x-1分类的原因是什么？你收获了哪些经验？

（3）对于例3，为什么要对∠ACB进行分类？你是如何想到根据圆心O所在的相对位置来分类的呢？从中你积累了怎样的经验？结合已有经验，你还能想到类似的实例吗？

在日常教学中，当一些典型的问题求解后，教师应鼓励学生回头看，除了看解题思路外，还要归纳自己所想、所思、所惑，体会蕴含其中的数学思想方法，感悟问题的本质，以此逐步将知识内化为能力. 对于问题（3），教师可以启发学生联想“三角形内角和的证明”. 三角形有无数个，对于这种“无限”的问题，首先要将其转化为“有限”，由此确认可以根据三角形的角进行分类，即分类为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形. 不过对于不同形状的三角形，其证明方法是相同的，所以证明时不需要逐一证明.

这样通过反复感知、反复锤炼，可以帮助学生深刻领悟分类讨论的内涵，帮助学生积累丰富的分类经验，从而为分类讨论的合理应用保驾护航.

在内化迁移中提升分类素养

在数学教学中，不仅要提升分类能力，还要将其转化为一种素养，这样学生在解决分类问题时，才能敏锐地捕捉分类信息，科学制定分类标准，形成逻辑严谨、层次分明的解题策略. 在具体教学中，应指导学生应用分类讨论方法解决问题，并让学生在问题的解决中不断探索、不断反思，逐步将知识内化为能力，升华为素养.

例如，针对例3中所研究的内容，教师不妨设计如下问题：在圆O中，AB是圆O的弦，C，D是圆O上的任意两点. 已知∠ABC=30°，∠ABD=45°，求∠COD的度数.

题设中没有明确C，D相对于AB弦的位置，若能捕捉到这一模糊信息，问题即可迎刃而解. 这样借助情境，引导学生捕捉关键信息，既能提升学生的探究欲，又能加深学生对知识的理解，让学生的分类素养在问题的解决中得以升华.

总之，学生分类素养不是一朝一夕养成的，需要在日常教学中不断发展与完善. 在日常教学中，教师要创造机会让学生自己去提炼、去感悟、去积累，逐步锻炼学生的数学思维，提升学生的数学素养.