新课标背景下初中数学几何作图价值与方法的探索

[摘 要] 《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出图形与几何是发展数学核心素养不可或缺的一部分. 但实际教学中，仍有些教师只关注学生逻辑推理的培养，却忽略作图教学的重要性，导致学生在解决实际问题时常束手束脚. 文章从数学几何作图的价值与方法等方面展开实践与探索，与同行交流.

[关键词] 作图;几何;图形

图形是平面几何的核心，是数学符号系统的重要成员之一. 初中阶段对图形的研究，从最基本的点、线、面、体出发，发展到两条直线之间的关系，再逐渐过渡到对多边形的探索，作图是该过程中不可或缺的一部分. 但在实际教学中，仍有些教师还没有充分认识到作图的价值. 事实证明，作图过程承载着“做数学”的基本理念，学生通过手脑协作，经历观察、分析、理解与感悟，可有效促进数学建模、几何直观与逻辑推理等素养的发展.

数学几何作图的价值

1. 转变育人方式

新课标强调核心素养背景下的数学教学要转变教学方式，根据不同教学内容的特点与学生的实际认知经验设计教学方案. 几何作图需要学生亲自动手操作，属于“做数学”与“发现式学习”的范畴，教师为学生提供明确的作图方向，引导学生自主设计作图方案，即将学生的“被动式学习”转化成“主动式学习”. 学生在一些关键性问题的启发下开动脑筋、积极参与，完成作图的同时发展核心素养，体现了作图的育人价值.

2. 增强学习体验

动作表征、表象表征、符号表征是人类对数学事物的三种表征方式，三者联合起来形成完整的表征系统，学生通过不同的表征方式全方位地认识数学事物. 这三种表征方式互相作用、相辅相成，是促进学生认知发展的核心. 处于初中阶段的学生，对数学事物的表征仍需要动作与表象的支持，而几何作图恰好需要学生手脑协作，属于整合间接经验的过程，学生调动学习经验与思维方式，借助已有的知识结构来解决作图问题，对发展数学核心素养具有重要意义.

3. 自我知识建构

每一个学生都是独立的个体，都有自己独特的思想. “做数学”的几何画图过程，需要学生发挥自身特长，配合积极思考进行作图分析与操作. 从本质上而言，这也是促进学生进行知识自我建构的过程. 以实操的方式来认知并理解图形基本特征，以推理论证来辨析作图的合理性等，都是促进学生个体思维发展的举措. 当然，几何作图也离不开团体协作模式的应用，学生通过合作学习，可进一步拓宽思维，发现作图的基本逻辑顺序，这是进一步巩固知识基础，发展数学直观的过程.

几何作图的方法

1. 自然、合理是作图的基础

观察现行的各个版本的初中数学教材，发现有很多几何作图都以直接告知的方式呈现，即在教材中直接展示规范的作图方法. 这种呈现方式对于初中阶段的学生而言直接明了，但每一个学生的思维方式不一样. 在这种作图方法的引导下，有几个学生能做到知其然且知其所以然呢？作为一线数学教师，首先要将学生的思维发展放在教学首位，教材呈现的方式针对的是大众，那么作为执教者则需要根据学情特点，引导学生在自然、合理的背景下主动去作图，对作图产生探索欲.

案例1 作一个角与已知角相等.

探究1：如果想要做一把扇子与图1展示的折扇一样，该怎么操作呢？

探究2：根据探究1的操作，若想在草稿纸上画一个与∠AOB相等的角，该如何操作？

探究3：若你只有一把没有刻度的直尺和一个圆规，能否画一个角与已知角相等？

设计意图 以上三个探究活动的设计，由浅入深地揭露了如何作一个与已知角相等的角，学生的思维随着每一个问题难度的加深而深化. 几个探究活动的设计意在引导学生从生活实际中的物品出发，体会生活中所存在的拥有相同大小角的物品，并由此联想到如何“复制角”，学生的思维随着探究的深入自然地过渡到借助工具绘制角中来. 思维随着探究的深入而明朗，对画角的认识愈发明确.

师：要画一个角和某已知角完全相等，能否不通过扇形的“复制”，而通过对其他图形的“复制”来完成呢？

在这个问题的引导下，引出图2（《几何原本》介绍的作图方法）.

学生通过对自己所熟悉的情境探索，思维经历了从特殊到一般的转化过程，深化了对“复制”这个词的理解. 接下来引发学生进一步思考：究竟该怎样应用尺规作出一条线段的长度与已知线段相等呢？为了帮助学生探寻到解决问题的方向，笔者在此处设计了问题串，达到启发点拨的作用.

问题1：如何用一把有刻度的直尺测量一条线段的长度？

问题2：如何用一把刻度不清的直尺测量一条线段的长度？

问题3：怎样应用尺规作图法，作出一条线段的长度与已知线段相等？

设计意图 循序渐进的问题让尺规作图法的形成更加自然、合理. 一般情况下，学生都将教材作为作图学习的参考，但关于作图过程涉及的一些思想方法需要经过分析、理解与思考才能产生，自主操作往往能有新的突破. 因此，追求几何作图的自然、合理是形成良好作图能力的基础，也是发展数学核心素养的基石.

2. 思辨、综合是作图的关键

新课标背景下的尺规作图并非单纯地作图，而是结合实际问题展开作图与分析. 基于每一个学生的知识经验与思维方式的差异性，面临同一个问题时，不同个体会产生不同的解题方案，那么作图方法也就会出现差异. 因此，几何作图需从思辨、综合的角度去分析，同一个问题，或许存在多种作图方法，我们应正确地对待每一种作图方法.

案例2 垂线的作图法.

如图3，线段AB与点C为已知条件，如何用圆规与刻度模糊的直尺过点C作出线段AB的垂线呢？

关于这个问题，有学生以图4的方法来解决，也有学生以图5的方法来解决（将AC作为圆的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”的定理顺利解决问题）.

图5这种作图方法在课堂预设之外，却又在情理之中. 从学生的作图方法来看，确实是以问题结论为出发点进行思考，只是另辟蹊径，从另一个角度灵活作出了图形. 这是学生的创新思维，充分体现了作图的思辨性与灵活性，这也是作图教学所追求的目标之一.

3. 多样、灵活是作图的灵魂

随着时代的发展，作图工具也越发丰富，限制使用尺规作图显然已经不符合时代的发展需求，根据实际情况选择合适的作图工具是提高作图效率的基础. 在教学中，教师要突破尺规作图的思维束缚，鼓励学生选择灵活、多样的作图工具实施作图，以更好地发挥几何作图“教”与“学”的功能.

案例3 方格纸内作图.

已知△ABC的三个顶点A，B，C分别落在边长为1的方格纸的格点上（见图6），若想借助一把刻度不清晰的直尺辅助作图，如何作出点E位于BC边上，同时满足EB ∶ EC=1 ∶ 3;并让点F位于AB边上，且满足∠AEC=∠FEB. 简要说说你是怎样找到点E，F的位置的（不需要证明）.

设计意图 本题综合性较强，涉及三角形相关的众多知识点，如勾股定理、相似性等. 本题目测为作图问题，从本质上来说意在综合考查学生的数学思维水平与应变能力.

如图7，在格点上分别取点M，N，连接MN与CB相交于点E（获得点E）;连接A′E并延长，与AB相交于点F（获得点F）;连接AE，点E，F满足∠AEC=∠FEB.

案例4 正方形ABCD的边长为4，E为正方形DC边的中点，现有一把没有刻度的直尺，该如何将图8中的线段AC围绕正方形的中心逆时针旋转45°？怎样将线段AC向上平移1？

设计意图 这也是一道综合性较强的作图题，涉及图形旋转、平移等基础知识. 设计本题意在引导学生学会分析题设条件，充分理解题意，并从正方形的性质与全等三角形的判定定理等着手进行作图，以发展数学反思能力与逻辑推理能力.

案例3、案例4均符合高立意、巧设计的思想. 带领学生从不同的维度探索作图过程，不仅促使学生积累了相应的经验，还让学生实现了思维从感性向理性的成功转变，发展了数学创新意识. 因此，我们应注重作图的灵活性与多样性，这也是发展数学核心素养的关键.

对于几何作图的思考

1. 课堂作图发展符号意识

数学是研究物体的数量关系与空间形式的一门基础学科，其中空间形式以“图形”为代表，画图能力的高低体现学生符号意识的发展程度. 课堂作为作图训练的主阵地，学生可在教师的引导下不断提升作图的准确性、熟练度与美观性，这是发展直觉思维与符号意识的重要渠道. 纵观当前初中数学教材，作图教学并非独立的单元，而是贯穿整个数学学习的过程，这就需要教师利用课堂做好作图指导，带领学生在全学段养成作图思考与分析问题的习惯.

如本节课的教学，就将观察、尝试、作图等活动贯穿教学的始终，学生在“作角”这个主线的牵引下不断完善认知结构，感知作图对数学探索的价值与意义，有效提升了数学符号意识，此为发展核心素养的重要通道.

2. 文字作图发展空间观念

新课标将发展学生的空间观念作为教学的重要目标之一，空间观念主要表现在学生能否根据语言描述作出与之意思相符的图形. 借助图形展示语言描述或文字描述的内容，刻画运动与变化发展情况是发展空间想象力的基础. 教师可带领学生通过对图形所针对的问题、典型例题等进行梳理，并在操作与研究中加深学生的理解.

随着作图活动的开展，学生不仅从理论上理解了作图的方法，还深刻体会了作图对探索数学问题的辅助作用，获得了良好的空间观，这也为发展学生的创新意识夯实了基础.

3. 尺规作图发展推理能力

新课标对尺规作图提出的要求为：会用尺规或基本图形完成作图，了解作图的原理. 整体来说，尺规作图的难点在于作图工具的限制性，这要求学生要有良好的分析能力，能从结论出发进行追根溯源，以明确作图的方法与顺序，这也是发展数学逻辑思维的过程.