基于“教学生学会思考”的初中数学思维课堂的建构

[摘 要] 教育的目的不仅是学会知识，而且要习得一种思维方式，数学作为一门思维的科学，教师更应该注重教学生学会思考. 研究者以一类周长最小值问题的教学设计为例，旨在教学生学会思考，提升学生的数学思维能力.

[关键词] 学会思考;数学思维;周长最小值;初中数学

数学是一门特殊的学科，正如我国著名数学家、数学教育家张奠宙先生所说：数学的对象是具有抽象性的形式化思想材料. 对于“思想材料”的学习，要依靠“思想实验”而不是“物质实验”. 所以数学学习就是大脑对“思想材料”进行“思想实验”的思维活动，即思考[1]. 数学课堂就是学生在教师的带领下进行思维活动，数学教学的本质就是“教学生学会思考”. “教学生学会思考”才是有效教学的根本，才能形成高质量的初中数学课堂.

如何在课堂教学中教学生学会思考，本文将以一类周长最小值问题的教学设计为例：先通过“创设情境—提出问题”的原理，教学生学会发现问题、提出问题;然后用“从无到有探究”的原理，教学生寻找解决问题的方法;再利用“反思性教学”的原理，教学生把握数学对象的本质;最后通过“归纳总结”，教学生学会形成知识系统.

教学设计

1. 创设情境，提出问题

情境：如图1，在某一儿童体能训练馆的地面上画有一正方形ABCD，其边AB长为10. 现教练布置其中一项训练任务，每一位小朋友从点A出发，快速奔跑至边CD的中点P处，然后快速奔跑至边BC上某处Q，最后回到点A.

问题1：在这个生活情境中，同学们认为小朋友从点A到点P奔跑的路径应该是什么样的？蕴含了什么数学原理？

问题2：对于这个生活情境，你们还会提出什么样的数学问题？

设计意图 ; 呈现生活中体能训练的情境，可以给学生切身的感受，容易引起学生的学习兴趣和求知欲望. 问题1让学生从生活情境出发，发现数学问题，抽象出数学原理. 问题2激发学生积极思考，教学生从情境中提出相关的数学问题.

2. 引导探究，解决问题

问题3：如图2，认真观察△APQ的各边长，求△APQ的周长的最小值，如何思考、分析？

设计意图 通过暗示学生观察三角形的三条边，让其发现一条边长AP为定值，求△APQ周长最小值只需确定PQ+AQ的最小值，引导学生进行“从无到有”的自主探究，探索问题对象的本质属性，寻找问题解决方法，让学生经历知识发现、本质探究、方法解决的思维活动.

师生活动1：小组合作，求出△APQ周长最小值.

活动设想：学生会给出下面两种解答.

问题4：解答过程用到了哪些知识和方法？

问题5：通过比较，哪种更简便些，为什么呢？这给我们什么启示呢？

设计意图 首先通过小组合作的探究活动，引导学生经历思考、交流，求出△APQ的周长的最小值. 问题4旨在让学生归纳问题解决过程中用到的对称、转化、勾股定理的知识和方法，从而真正实现“从无到有的探究”. 问题5让学生比较、分析两种作对称的方法，引导学生对问题解决的方法进行质疑与反思，培养学生思维的深度和广度，发展学生严谨的思维能力.

3. 举一反三，把握本质

问题6：请同学们思考，是否可以改变题设条件，继续探究周长最小值问题？

设计意图 数学是抽象的思想材料，学生不可能一次性直接把握数学对象的本质，所以要通过反思性教学来实现. 问题6，引导学生对问题的条件进行改变，培养学生学会举一反三的学习习惯，激发学生反思性学习，以其让学生洞察数学对象的本质特征.

师生活动2：改变上述问题，P还是CD的中点，现在Q，R为BC和BD上的两个动点，如图5，求△PQR的周长的最小值. 小组交流，合作完成.

问题7：和前面求△APQ的周长的最小值有什么不同之处？

设计意图 通过改变条件，让学生进行小组交流，合作探究，经历方法的再运用和思维的再提升. 同时，学生进行对比、分析，归纳出不同之处：（1）此处作了两次对称变换，而之前只作一次;（2）取最小值时，此处最终是当四点共线时，而之前是三点共线时. 通过改变问题条件的反思性教学，教学生把握数学对象的本质，让学生的思维力和认识力再生长.

师生活动3：改变条件，P是CD的中点，Q，R为BC上的两个动点，且QR=2，如图8. 求四边形APQR的周长的最小值. 继续小组交流，合作完成.

问题8：此处用到了什么变换？它们有什么共性？

设计意图 将三角形周长最小值问题进一步深化到四边形周长的最小值问题，让学生进行小组活动：通过变换、转化，四边形周长最小值问题本质上还是两点之间线段最短的数学原理. 问题8，让学生发现，要先进行平移变换，再进行对称变换，归纳其共性实质都是等量变换.

师生活动4：再次改变条件，P，Q分别是CD，AB上的两个动点，且AQ=PD，如图11，求四边形APCQ的周长的最小值. 学生独立思考并完成.

设计意图 此题是求四边形周长最小值的另一种变化形式，让学生进行自主探索，再次运用变换、转化的方法. 通过反思性教学，教学生形成问题的一般结论，即能分析出一类数学对象的本质，真正学会解决一类问题而不是一个问题，从而加深对知识概念、思想方法的理解，加强对数学对象本质的把握，达到数学思维力和认识力真正意义上的提高.

4. 归纳总结，形成系统

问题9：通过本节课的学习，你学习了一类什么数学问题，是怎样解决问题的？

设计意图 课堂小结的意义在于让学生对学习的内容进一步吸收消化，反思梳理知识方法，形成知识系统，从整体上把握知识内容、思想方法，进而真正达到教学生学会思考的教学本质.

教学思考

1. 问题从哪来：“创设情境—提出问题”的原理

问题从哪来，即如何教学生提出问题？由于数学对象是具有抽象性的形式化思想材料，所以正处于思维发展阶段的中学生不可能完全靠自己提出问题，故而需要教师创设情境来引导学生提出问题[2]. 所以，这里的情境就是能够启发学生发现问题、提出问题的适当情境，其实质就是“问题情境”. 当然，问题情境要生动有趣、源于生活、贴近学生，更重要的是要便于学生理解而提出问题，同时利于学生把握数学对象的本质. 例如本节课设计的跑步路径的问题情境，学生很容易发现从点A到点P奔跑的路径是线段，全程路径是一个三角形，学生很自然会想到如何使得全程路径最短，进而提出三角形周长的最小值问题. 所以创设情境是学生提出问题的前提，教学生提出问题是创设情境的目标和核心.

2. 问题提出之后如何解决：“从无到有探究”的原理

问题提出之后如何解决？正确的方式就是引导学生去寻找解决问题的方法，这个过程实质就是探究的学习过程[3]. 数学教学中常遵循“从无到有的探究”的原理来进行，即逐步从不懂到懂、++yWm1zN09xyMl6ohpN6BXYLtDgs/LRJ5WxdOEHPjeA=不会到会的探究过程. 本节课中，先让学生进行发现式探究，即独立活动下的自主探究，学生观察发现：在△APQ中，AP为定值，求其周长的最小值只需求出PQ+AQ的最小值;然后再进行引导式探究，学生利用对称变换，将PQ+AQ的最小值转化为两点之间线段最短的数学本质. 所以，“从无到有的探究”的教学方式.其本质亦是通过引导学生思考，从已有的“无”到新的“有”，从而达到教学生学会思考的教学目的.

3. 问题解决之后如何把握本质：“反思性教学”的原理

“反思性教学”是引导学生通过反思性思维活动，对思考过的对象和解决后的问题进行信息转换加工，使获得的知识更加清晰和完整，以帮助学生深刻把握数学对象的本质. 反思性教学可以是引导学生对涉及的知识、有联系的问题、思考的过程、涉及的数学思想方法等方面进行反思.

参考文献：

[1]涂荣豹. 数学教学设计原理的构建——教学生学会思考[M].北京：科学出版社，2018.

[2]段志贵. 教学生学会思考是数学的根本——访南京师范大学涂荣豹教授[J]. 中学数学教学参考，2019（Z1）：8-11.

[3]李锋雷，胡恩良. 教学生学会思考，回溯数学教学根本[J]. 中学数学月刊，2020（09）：11-12+18.