大单元视角下基于抽象能力培养的初中数学教学实践与探索

[摘 要] 文章以“锐角三角函数的概念”教学为例，基于大单元视角下抽象能力发展的数学教学展开了研究与思考. 首先从单元教学内容与学情分析出发，根据实际情况分别从“梳理知识，确定研究路径”“创设情境，认识知识特征”“类比分析，抽象共性特征”“抽象概念，应用符号表达”“理解概念，辨析加以应用”“总结归纳，提炼知识架构”等方面展开教学实践与探索.

[关键词] 大单元;抽象能力;教学

初中阶段是培养与发展学生数学抽象素养的关键期，随着新课标的落地，单元教学理念被推上了空前的高度. 如何基于大单元视角下培育初中阶段学生的数学抽象素养呢？对此笔者进行了多维度的探索与研究，认为基于大单元视角下注重对学生抽象能力的培养，不仅能体现学科教育“立德树人”的价值，还能有效挖掘学生的潜能，促学力发展.

活动设计

（一）单元教学内容分析

锐角三角函数的核心是对图形的定量研究，本节课所探索的锐角三角函数是后续高中三角函数教学的基础. 为此，我们应尤为关注对这部分内容的研究，本单元的研究是基于直角三角形特殊的边角关系，借助相似三角形的相关性质，对其边角关系实施量化分析的过程. 将本单元主要涉及的知识点与研究方法等罗列到一起，形成图1.

（二）学情分析

此为九年级的教学内容，该阶段的学生已经接触过勾股定理、角的互余、相似与全等三角形、函数等知识，这些内容都是本节课教学的基础. 结合课前测的反馈来看，百分之八十几的学生能直接应用“勾股定理”与“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这个结论;百分之七十几的学生能应用相似的性质与判定定理. 基于学生实际认知水平与活动经验，为本节课设计教学活动，可引导学生从实验、观察、猜想与验证中归纳结论，感知数学从特殊到一般的思想，发展学生的抽象能力与逻辑推理能力.

（三）教学简录

1. 梳理知识，确定研究路径

大单元背景下的数学教学，需从结构化与体系化的角度出发，对知识点进行架构性梳理，以便探寻新知的研究路径，为形成研究的通性通法奠定基础，提高教学效率. 本节课，所研究的核心知识与直角三角形相关，结合知识的上下位关系，教师可引导学生在课堂伊始一起回顾并整理三角形相关的知识结构，为本节课教学夯实基础.

设计意图 梳理三角形相关知识，可让学生从宏观的角度来理解本节课教学内容在整个三角形知识体系中所处的具体位置，感知本节课将要探索问题的合理性与必要性，从而确定基本的研究路径.

2. 创设情境，认识知识特征

问题1 一位小朋友在放风筝，风筝在此时处于与水平方向成30°角的位置（∠A），已知在空中的风筝线长AB=100 m，求风筝所处的位置点B与牵线的手点A的高度差BC的值.

若从数学的角度来分析这个情境，可将该情境进行如下转化：如图2，在Rt△ABC中，已知∠A=30°，AB=100 m，求BC的长.

此问难度不大，学生很快就解决了问题. 为了让学生明确本节课的知识特征，教师顺应学生的思维提出如下问题：①当AB的长度分别为120 m、140 m、a m时，分别计算BC的长;②说说你的判断依据;③通过以上几组数据的探索，分析30°角的各条边间存在什么联系？所获得的结论是否能应用在所有含30°角的直角三角形中？

如表1，师生活动过程中，将不同大小，且满足条件的边角关系填入表格，以便进行研究.

45°角的探索：

如图3所示，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A=45°.

关于60°角的研究过程如下：

如图4，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°.

如表2，学生将探索结论填入表格.

设计意图 从对30°角的对边与斜边关系的探索，拓展到对45°角与60°角的研究，学生在多轮探索中进一步领悟“当角为固定值时，不论直角三角形的大小怎样，其边的比值恒为不变. ”

3. 类比分析，抽象共性特征

问题3 通过对表2的观察，说说你的感受.

问题4 在Rt△ABC中，若∠C为直角，∠A为度数确定的非特殊角，其对边和斜边的比值恒定不变，对吗？

师生活动：借助几何画板进行演示、验证，让学生从可视化的图象中体验猜想是否正确.

如表3，师生共同将各个角度的对应值填入表格.

师：这个猜想是否可以求证？

师生活动：在教师的引导下，学生以分组合作交流的方式进行求证并展示（如图5、图6）. 如果Rt△ABC中∠A（锐角）的度数是确定的，那么它的对边与斜边的比恒为固定值.

设计意图 随着类比与抽象两个步骤的实施，进一步发展了学生的抽象素养. 此环节，基于特殊角将问题进一步拓展到直角三角形中任意锐角的问题，并要求学生自主求证猜想. 学生充分体验了合理猜想的重要性，并感知这是研究数学问题的重要途径之一，关于猜想是否正确，还需通过合理论证才能确定. 方法的形成为后续学习更多、更复杂的知识奠定基础，同时也有效提升了学生的抽象能力与推理能力.

4. 抽象概念，应用符号表达

问题5 结合表3，说说根据直角三角形两边之比的固定值，会因为∠A度数的改变而随之变化，据此能联想到以前接触过的什么内容？

师生活动：在教师的引导下，学生通过对表3的观察，探寻新、旧（函数）知识间的联系，提炼“变化与对应”的数学思想.

追问：该函数与我们之前所接触的函数一样吗？

设计意图 如此设计的精髓在于帮助学生建立新、旧知识间的联系，揭露函数本质及变化所对应的数学思想. 正弦的定义也在问题的启发与学生的交流中，自然而然形成.

5. 理解概念，辨析加以应用

问题6 如何理解sin30°，sin45°，sin60°？它们的值分别是多少？

值得注意的是正弦的正确表达方式有三种，分别为：sinA，sin30°，sin∠BAC，其中sinA要注意省略角的符号. 此环节还可以设计一些辨析问题供学生课堂思考、练习，以进一步深化对概念的理解.

设计意图 概念教学需关注学生对概念内涵与外延的理解，具体实例的应用可帮助学生进一步辨析概念，从真正意义上掌握概念本质. 问题6是对正弦概念的辨析过程，如此设计意在帮助学生更好地理解正弦概念. 此环节，涉及概念的应用问题，学生经历抽象的第三个阶段，即由系统到运用的普适.

6. 总结归纳，提炼知识架构

大单元背景下的概念教学，需基于整体的角度去教学. 课堂尾声，教师可引导学生思考以下几个问题：①本节课的核心知识是什么？②应用了什么方法进行了研究？③还有什么是你想要研究的？

师生活动：在问题的引导下，学生独立思考、描述，课堂尾声借助多媒体完善本节课所涉及的知识结构图（见图7），以进一步完善知识体系.

设计意图 如此设计主要是为了促进学生自主总结、归纳教学内容，并在总结过程中提炼数学思想，进一步完善认知体系，形成知识架构，为后续教学奠定基础.

思考与感悟

（一）将概念置于结构体系中探索

没有任何一个数学知识是独立的个体，知识与知识之间存在一定的逻辑关系. 教师在正式授课之前，可带领学生基于大单元的视角梳理知识结构，帮助学生厘清知识脉络，以便更好地理解知识逻辑的连贯性. 本节课探索的主题为锐角三角函数的概念，与之相关的内容有直角三角形以及边角关系等，教师则将待探究的问题置于大单元知识体系内，让学生从知识结构出发，以便更好地同化与顺应锐角三角函数的概念. 学生的抽象能力则在知识的整理与探索中得以发展.

（二）问题是发展抽象能力的关键

问题是数学的心脏，本节课从一个生活情境出发引出问题，让学生基于已有的认知经验上探索相应的问题. 学生亲历了30°角、45°角、60°角的探索过程，初步形成猜想，并经过验证抽象出完整的概念. 由此可见，恰当的问题与适当的点拨是提升学生抽象能力的关键.

总之，学生是课堂的主人，基于大单元背景下培养学生的数学抽象能力，需给予学生更宽裕的探索时间，让学生亲历观察、猜想、验证与总结的过程，从类比分析与归纳中发展数学抽象能力，提升核心素养.