利用整体思想的价值 提高学生解题的能力

[摘 要] 整体思想方法是一种重要的数学思想方法，其在解题中有着广泛的应用. 教学中，教师要重视培养学生整体意识，引导学生从不同视角出发，寻求多种解决问题的方法，让学生在经历与体验中感悟知识间、方法间的联系，感悟整体思想的价值，真正提高学生的思维能力和解题能力.

[关键词] 整体思想方法;整体意识;思维能力;解题能力

整体思想着眼于宏观，从整体上把握问题的来龙去脉，避免“只见树木，不见森林”的局限性，可以帮助学生树立整体观念，提高学生学习能力. 不过，在初中数学教学中，为了降低问题的难度，教师常常引导学生将问题进行拆分，让学生通过小问题的解决来达到解题的目的. 要知道，对于一些问题的解决，有时从局部出发会使问题变得越来越烦琐，不仅会增加计算量，而且有时可能难以达到解题的目的. 因此，教师应重视培养学生的整体观念，引导学生从全局的角度出发，寻求已知与未知的联系，通过适度的渗透来增加学生思维的深度，拓展学生思维的广度，提高学生解决问题的能力. 另外，解题中教师切勿就题论题，要让学生追问一个“为什么”，以此通过深度思考提炼数学思想方法，领悟数学本质. 笔者以具体教学案例为切入点，就整体思想方法在解题中的应用提出了几点看法，若有不足，请指正.

问题呈现

复习“整式及其加减”一课中，在教师引导和师生互动交流中学生完成了对相关知识的系统梳理. 为了巩固知识，强化技能，教师又给出经典试题让学生练习，以此通过“讲练结合”的方式提升学生解题技能. 一道关于应用整体数学思想方法处理的题目，引发了笔者的思考.

例1 已知m2-2m-1=0，求4m-2m2+3的值.

教学片段回放

大多数学生认为要求4m-2m2+3的值，需要先求出m的值，但是学生还没有学习如何解一元二次方程. 为了帮助学生顺利解决问题，教师直接呈现解题过程.

师：我们还可以用整体思想方法来处理此题，将已知条件变形得2m-m2= -1，两边同时乘2得4m-2m2= -2，所以4m-2m2+3=-2+3=1.

教师给出类似的题目让学生练习：

在例1的基础上，学生很快运用整体代换得到答案.

教学思考：教学中，当学生遇到障碍后，教师简单分析解题方法后就直接呈现解题过程，然后让学生进行模仿练习，这样通过“示范+练习”的模式会有一定的教学效果，但是因为缺乏学生深度分析的过程，很难让学生形成深刻的认识，不利于学生提炼整体思想方法，提升善思善变解题能力. 因此，在实际教学中，教师还应对以上教学素材进行深度挖掘，充分发挥其教育价值，让学生深刻理解整体思想方法，培养数学核心素养.

改进策略

1. 多视角分析，理解整体思想

整体思想就是从问题的整体入手，善于用“集成”的眼光看问题，突出对问题整体结构分析和改造，运用整体代入、整体换元、整体联想等形式将某些式子看成一个整体，从更高的角度来把握问题的方向和解决问题的策略. 在日常教学中，很多学生习惯于从细节出发，关注单一问题的解决，使得在解决一些问题时走了弯路，影响了解题效率. 为了改变这一局面，教师要引导学生把注意力和着眼点放在整体上，发现问题的整体结构的特征，把一些看似孤立但却紧密相连的问题作为一个整体来处理.

初中生的思维处于由具体形象思维到抽象思维的过渡期. 在培养学生整体思想观念时，教师应从教学实际出发，基于学生的思维特点设计一些具体直观的实例，从而通过经历“观察—分析—联想—抽象”等过程，让学生领悟整体思想方法. 另外，教师要带领学生进行多角度分析，将抽象的思想方法转化为整体代入、整体换元、整体运算等具体方法，通过“抽象与具体”的转化，真正提高学生的数学思维能力和解题能力.

另外，对抽象的数学思想方法的理解是一个自我感悟的过程，是无法靠机械灌输达成的，因此，教学中教师要预留一定的时间和空间让学生去体会、发现、感悟，不能直接通过“示范—练习”的方式让学生机械模仿. “整体”是一个相对的概念，要将其放在限定的情境中，让学生结合具体问题进行分析、对比，最终确定最优方案. 对于例1，认真分析“已知”和“所求”不难发现，“m2-2m”与“4m-2m2”存在明显的联系，若从整体出发，运用整体代入法来求解可以有效避免烦琐运算，从而提高解题效率和解题准确率.

2. 多方位体验，积累解题经验

“一题多解，多题归一”是提高学生解题能力的重要武器，其有利于学生揭示问题的本质，提高举一反三的能力. 在实际教学中，教师要给予学生更多体验的机会，让学生在体验中积累活动经验，从而通过经历“举三归一”，促进“举一反三”的达成. 教师不仅要把自己的解题经验教给学生，也要预留时间让学生去体会、理解，从而将经验转化为能力.

例如，在探索例1的过程中，当学生求解碰壁后，教师不要急于呈现解决问题的方法，可以启发学生从“整体”角度出发，寻找其他解题路径. 同时，教师要提供时间让学生去思考、尝试，然后通过点拨和指导让学生自主发现求解方法. 在学生理解和掌握的基础上，教师再给出类似的题目并预留时间让学生思考，摸索规律，总结方法，最终形成个体宝贵的学习经验，发展学生的整体意识，提升核心素养.

因为个体间存在差异，所以学生看问题的角度也有所不同. 对此，教师不妨让学生多方位体验，从而积累丰富的活动经验，发散数学思维. 教师启发学生从“整体”出发后，预留时间让学生独立探索，学生给出了如下探索路径.

路径1：由已知得出一项.

方法1：已知变形得m2=2m+1，代入得4m-2m2+3=4m-2（2m+1）+3=1.

方法2：已知变形得1=m2-2m，代入得4m-2m2+3=4m-2m2+3（m2-2m）=m2-2m=1.

路径2：由已知得出两项.

方法1：已知变形得2m+1=m2，两边同时乘2，得4m+2=2m2，代入得4m-2m2+3=（4m+2）+1-2m2=2m2+1-2m2=1.

方法2：已知变形得2m-m2=-1，两边同时乘2得4m-2m2=-2，所以4m-2m2+3=-2+3=1.

路径3：将三项视为整体.

=-2（m2-2m-1）+1

=-2×0+1

=1.

教师展示学生解题过程，并让学生思考如下问题：

（1）对比以上解题路径，你的体会是什么？

（2）对于整体思想方法，你是如何理解的？

（3）你还有其他解决该问题的方法吗？能否求出m的值，然后代入代数式中求解呢？

（4）假设可以求出m的值，你认为还有必要应用整体代入法吗？

这样通过解后反思既可以帮助学生积累丰富的活动经验，又可以培养学生的整体意识，有利于学生理解、接受和记忆. 另外，问题3中，教师让学生思考如何求解m的值，激发了学生的探究欲，为今后学习解一元二次方程做好铺垫. 同时，在此过程中，通过多方位体验，让学生感知知识间的关联性、方法间的统一性，有利于打开学生的视野、拓展学生的思维、发展学生的数学核心素养.

3. 多层次分析，强化整体意识

对初中生而言，因受知识水平、思维习惯、学习习惯和教学方式等多种因素的影响，大多数学生的整体意识不强，在一定程度上影响了学生知识结构的建立，限制了学生思维能力的发展，因此教师应把培养学生整体意识作为一项基本任务. 所谓整体意识就是从全局上考虑问题的思维习惯和自觉意识，它是让学生领悟整体思想的关键. 当然，在培养学生整体意识的过程中，不能仅强调整体，还要强调整体与局部的关系，理解整体与局部是相对的，让学生学会用发展的眼光看待问题.

在以上教学中，教师引导学生从整体出发，得到了多种解决问题的方法，并理解了整体思想. 通过经历、体验、思考等过程后，教师应引导学生从全局上考虑，通过对知识的梳理和总结，强化学生整体意识. 在例1顺利求解后，教师可以引导学生从如下几个方面进行梳理：

（1）从解法的共性出发，利用已知确定代换的对象，通过经历“代换—化简”，最后求出代数式的值.

（2）从解法的不同出发，不同的路径其运算量不同，思维要么顺向要么逆向. 路径1是一项代入，在该路径的探究中学生得到了不同的方法. 方法1更具代表性，m2替换后，可以达到降幂的效果，以此将“未知”（一元二次方程）转化为“已知”（一元一次方程），运用已有经验轻松解决问题. 路径2是两项代入，将已知变形后再代入，充分利用已知条件与代数式间的联系，通过有效变形，整体代入求值. 路径3是三项代入，该方法对思维水平要求较高，先是“拼凑”变形，然后是整体代换，一般很少有学生想到应用路径3求解.

通过分析和梳理，让学生理解不同方法的优、缺点，此时教师还可以引导学生思考，对于例1，哪种方法运算最方便，哪种方法最易于理解，通过对比分析培养学生的最优意识. 另外，在知识梳理过程中，教师还需要指出，已知m2-2m-1=0是关于m的一元二次方程，以后会具体学习一元二次方程的解法，这样可以先求出m的值，再直接代入代数式求值，以此通过适当铺垫唤起学生探究新知（一元二次方程）的欲望.

4. 多角度引导，化解思维障碍

教师应多从学生的视角去思考和解决问题，捕捉学生在学习过程中出现的难点、疑惑点，从而通过重点教学帮助学生排难解惑. 从学生解决问题的过程来看，学生不能敏锐地感知代数式结构关系，没有很好地将知识与未知建立联系，进而在解题时陷入混沌，未能顺利解题. 为了帮助学生突破难点，教师要给予及时的指导、启发，让学生在学会的基础上会学，提高数学学习水平.

（1）整体分析，寻找解题入口

分析 通过观察题设信息，可以确定利用整体代换解决问题，但是具体如何替换？选择什么作为代换的对象呢？

思路2：设a=2m，则b=3m，代入求值.

思维3：将所求代数式变形.

（2）整体观察，优化运算

在以上解题过程中，教师不要急于呈现答案，应放手让学生去思考，并在学生遇到障碍时进行适度的启发与指导，鼓励学生从整体出发，通过整体分析与观察找到最优的解题办法，从而让学生在思考与探索中获得成功的体验，提升学习信心.

教学思考

解题时合理应用整体思想可以使数学问题变得简单，有利于学生提高解题效率. 在教学中，教师要有意识地培养学生的整体意识，引导学生从整体观点出发，运用整体观察、整体分析、整体运算等策略来优化解题过程，以此让学生感受整体思想的价值，提高数学应用意识.

从以上教学过程来看，因为学生整体性观察能力较为薄弱，所以在解决例1时并没有将已知与未知建立联系，从而在解题时受阻. 为了改变这一现象，教学中教师要避免单一地讲授和机械地模仿，应带领学生经历知识与方法的形成过程，让学生在问题的解决中总结规律，形成经验，领悟数学思想方法. 同时，教师应从学生实际情况出发，充分挖掘习题的教育功能，通过采用不同路径的解决策略来培养学生的整体意识，让学生在探索中发现多样的解题方法，通过对比分析强化学生的整体意识. 另外，教师既要认真研究教学，精心预设，又要结合教学实际灵活调整教学策略，还要进行有效的教后反思，以此推动以“学”为中心的教学策略的开展.

许多数学题目的解法是多种多样的，教师要利用好“一题多解、一题多变、多题归一”等多样的教学手段，鼓励和启发学生多角度、多维度地探究问题，以便在不断的探索与尝试中积累丰富的解题经验，提高解题能力.

总之，在日常教学中，教师不要越俎代庖，要充分发挥好学生的主体性，贯彻“以生为本”的教学理念，提供机会和时间让学生去经历、体验、感悟，进而有效发展思维能力，落实数学核心素养.