“双逻辑”下的教材资源优化重组策略

[摘 要] 教材是重要的课程资源，对其优化重组有助于加深学生对数学内容本质的理解，对数学知识结构、思想方法的感悟，能促进教师对学科特点、学生认知的理解，能充分发挥教师主导作用，突出学生主体地位. 文章通过对教材资源进行深入解读，提出“双逻辑”下的教材资源优化重组策略，即基于数学知识逻辑把握教材内容主线、关键要素、内在本质，并遵循学生认知逻辑，适当铺设台阶，调整呈现方式，提前渗透观念.

[关键词] 教材资源;重组;逻辑;主线;要素;本质

教材是重要的课程资源，合理应用教材，创造性地对教材中的教学资源进行优化重组，有利于加深学生对内容本质的理解，能充分发挥教师主导作用，引导教师深入理解学科特点、知识结构、思想方法，科学把握学生认知规律，突出学生主体地位[1].

当然重组并非毫无章法、随意而为，它需要建立在“双逻辑”即数学知识逻辑和学生认知逻辑的基础上，保证科学性，把握整体性，体现过程性，贴近学生现实并体现适度的弹性，这样才能真正促发学生思维的发展，激发创新意识，以此感受数学的价值和魅力.

由此，笔者结合优秀教师的先进理论及自身的经验，总结了三条切实可行的策略，下面结合具体案例进行阐述.

把握内容主线，铺设台阶

教材是重要的课程资源，它提供了学习主题、基本线索和知识结构;但是教材不可能详细而完整地介绍数学问题的发生与发展过程，其内容的编排顺序、呈现方式、知识本质、知识之间的逻辑关系，需要每位教师用心感悟[2].

案例1 人教版七年级上册“球赛积分表问题”.

人教版教材中出现了一张图表，仔细研读，可以发现给定的内容是有层次的（如图1所示）.

这样的解读遵循了数学知识的逻辑，把握住这条内容主线，接下来就是思考如何在符合学生认知逻辑的前提下，将教材资源合理地转化为教学形态，使学生自然而然地感受这个过程. 教师可以通过铺设台阶的方式，引导学生思考，让学生在解决问题的过程中逐步感受抽象的过程，体会字母的一般性.

层次一：阅读表格，获取数据含义.

问题1：怎么读表格呢？（读标题、首行、首列、单位，读联系……）

问题2：从这张表格中， 除了可以获取直观的信息，你还能获取什么信息？

（开放：表格简化、积分、钢铁队、最高分、最低分……）

【层次二】加工信息，会用字母表达.

问题3：由表格中的数据，你能获得比赛的积分规则吗？（即胜一场得几分？负一场得几分？）

追问1：你能从表格中的哪一行看出负一场积多少分？

追问2：你能进一步算出胜一场积多少分吗？

问题4：若我们班也参加比赛，请同学们想想，按照这样的积分规则，我们班可能得几分？你能用一个式子表示吗？

问题5：你能用式子表示总积分与负场数之间的数量关系吗？

【层次三】发现关系，构建方程模型.

问题6：若我们班参赛的总积分是26分，你能算出我们班的胜场数和负场数吗？

问题7：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由.

由此慢慢生成如图2所示的结构图.

一以贯之、循序渐进的认知方式，能有效地培养学生的抽象能力，而对表格背后规律的思考、概括也渗透了代数的一般化思想，能培育学生的理性思维.

又如：初中的函数概念，对学生来说抽象难懂，他们经常有似懂非懂的感觉. 对于函数的理解，不能一蹴而就，而需慢慢渗透. 比如，依据人教版教材，可以分三个阶段进行渗透.

第一阶段：通过联系已学的代数式求值、二元一次方程、平面直角坐标系中的点等相关内容，并结合一些具体实例，让学生感受数量的变化过程，以及变化过程中变量之间的对应关系，探索其中的变化规律及基本性质，尝试根据变量的对应关系做出预测，获得函数的感性认识，在感性认识的基础上，归纳、概括出函数的定义，以及函数的三种表示方法.

第二阶段：研究具体的函数及其性质，了解研究函数的基本方法，借助函数的知识和方法解决问题等，使学生能够在操作层面认识和理解函数.

第三阶段：了解函数与其他相关数学内容之间的联系（如与方程之间、不等式之间的联系），使学生能够一般性地了解函数的概念，并应用函数思想解决实际问题.

通过以上案例可以知道，教材对于知识的内在联系、知识的发生发展过程是无法具体而完整地呈现的，需要教师在深入理解数学知识逻辑的基础上，对教材资源进一步解读，把握内容主线，并在遵循学生认知逻辑的基础上，通过铺设台阶的方式，让知识的形成过程更加自然而然，水到渠成.这有利于学生对内容本质的理解，也有助于学生的学习，能让学生在解决一个个小问题的过程中学会知识，感悟方法，达到事半功倍的效果，从而提高学习自信心.

具体操作如图3所示.

突出关键要素，调整呈现

在把握内容主线的前提下，对各关键点进行庖丁解牛，以学生的角度去重新审视、理解所教授的知识，感受学生学习过程中会遇到的问题，让学生自然而然地经历知识的发生与发展过程.

案例2

许多课例都是先完整呈现表格，再通过问题“若删去最后一行，能否求出胜、负一场的积分？”让学生感受列方程的必要性，但这样的处理会导致观察角度过多，不利于学生把握关键要素.

因此，笔者对表格的呈现方式进行调整，先呈现有特殊行的半张表格，再呈现无特殊行的另外半张表格（如图5、图6所示）.

每张表格达成不同的学习目标：第一张主要引导学生观察标题、首行、首列、特殊行、特殊列;第二张的观察角度则为行与行之间的关联，让学生进一步用式子表示，使问题一般化，并建立相关模型.

又如：学习平行线要让学生感受延长后不相交，因此可以画出如图7所示的图形，让学生找找平行线. 通过横着看、竖着看、斜着看等方式，让学生充分感悟，避免产生只有横着放的才叫平行的错误观念.

再如：对于“频率估计概率”，课本呈现的是抛掷硬币的实验，让学生感受随着抛掷次数的增多，正面

从以上分析可以发现，当我们抓主要因素，削枝强干，选取与呈现有利于突出数学内涵的内容，能让学生更有方向地进行有逻辑的思考，从而更加快捷有效地达成教学目标.

具体操作如图8所示.

挖掘内在本质，渗透观念

教师要站在比较高的角度去认识、理解教材，挖掘出教学内容的真正教育意义，把数学教学放到一个学术的高度来看待，让学生感受更接近数学本质的内容，这样学生才能真正从数学教育中获益，从而体会到数学的魅力[3].

案例3 进一步分析图4中的表格可以发现，每行数据包含了两个等量关系，即二元一次方程组（如图9所示）.

而教师提出的问题“你认为至少留下几行数据，可以算出积分规则？”能让学生提前感受二元一次方程解的不唯一，为后面教学二元一次方程的解做铺垫.

这样的内容教材还有很多，如果教师有意识地渗透，能有效提高学生的好奇心、想象力、求知欲，能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习能力.

如：用刻度尺测量线段长度的本质是“叠合法”，让学生充分感受后，学生便能自行发现量角器测量角的本质也是“叠合法”.

又如：在两条直线相交、三条直线相交所成的角的关系探究中，两条直线相交形成四个角，四个角之间的关系怎样分类？从角的组成要素——顶点和边看，可以这样分类：顶点重合，一条边重合，另一条边互为反向延长线（邻补角）;两条边都互为反向延长线（对顶角）. 接着研究其数量关系[4].

在后续研究三条直线相交所成的角时，学生就能基于数学知识逻辑，先研究位置关系. 由于三线共点形成的角的关系与两条直线相交的情况本质相同，因此重点研究两两相交的情况.

基于学生的认知逻辑，教师可以这样引导学生：研究三条直线两两相交时角的位置关系. 这些位置怎样分类？重点研究顶点不重合的角.

首先，这些角都有一边在同一条直线上（如图10所示），因此可从另外一边的同侧和异侧考虑. 同侧的角有4个，两两组合就会有四种，但其实∠1与∠5，∠2与∠6对于位置的描述相同，因此可以归为同一种，而∠1与∠6，∠5与∠2，可选其中一种，告知后续研究更多的是同内的，接着用同样的方法研究直线异侧的角. 这样的类比探究过程，能让学生充分感悟几何学习的对象、内容和方法，符合学生的认知逻辑，能为学生后续学习几何提供一般路径的指引.

由此可见，基于数学内在本质对教材进行挖掘，渗透研究的一般路径、基本方法，学生才能在后续的学习中有方向，才能自主学习，从而达到学会学习.

具体操作如图11所示.

综上，以上三条策略具体操作如图12所示.

即教师要在认真解读教材的基础上，关注数学知识逻辑，理清教材资源中的逻辑连接和螺旋上升关系，把握内容主线、关键要素、内在本质，并基于学生的认知逻辑，从他们的心理特点和认知能力方面进行分析，通过适当的台阶铺设、教材内容的调整呈现、提前渗透一些学科观念的方式对教材资源进行优化重组，这样才能有效地将学科形态转化成教育形态. 这也是在践行章建跃博士提出的理解数学、理解学生的理念. 当然，要让课堂呈现更加符合学生的心理认知，还需要教师理解教学、理解技术，并让教学研究一直在路上.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]张鹤. 数学教学的逻辑[M]. 北京：首都师范大学出版社，2016.

[3]章建跃.章建跃数学教育随想录（上下卷）[M]. 浙江：浙江教育出版社，2016：20-29.

[4]章建跃. 研究平行线的数学思维方式[J]. 数学通报，2019，58（3）：6-10.