基于真实情境问题链的项目化复习实践

[摘 要] 文章呈现了“几何最值”中考二轮专题复习课的问题情境设计，并进行分析和评述. 研究者指出，专题复习的问题情境设计要注意以下三点：以学生的认知基础为问题情境的起点;以数学的本质思考为问题情境的支点;以学习的主动探究为问题情境的拐点.

[关键词] 几何最值;真实情境;专题教学;问题链设计

问题起源

心理学家布鲁纳认为：“学习者在一定的问题情境中，经历对学习材料的亲身体验和发展过程，才是学习者最有价值的东西.”对于进入后课改时代的今天，数学教学的重心不在于需不需要创设问题情境，而在于问题情境创设的合理性及运用的灵活度，教师能否善于改进或舍弃一些不合理的元素，运用一些被实践证明的有效经验，使情境创设更为实效[1]. 问题源于情境，而高于情境，那情境创设后，又如何提出问题？如何进行探究？这就需要我们教师进行更深入的探索和研究.

中考模拟试题 点A，B均在由面积为1的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如图所示. 若P是x轴上使得PA-PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OQ ·OP为多少？

阅卷发现，这道题的得分率很低. 本题的关键在于求出OQ和OP. 孩子们普遍反映对于OQ而言，都能根据“将军饮马问题”模型，利用对称的知识得到点Q，再构造直角三角形，利用勾股定理，进而求出OQ的长度，但多数孩子不知道作对称的原因，只知道根据条件，能运用这一模型. 而对于OP，孩子们都没有思路，不知道怎样去找点P， OP长度怎么求，无从下手.

解决方法

学生在几何最值问题的理解和运用上都存在一定的困难，面对孩子们的困惑，如何降低难度，将问题具体化、形象化呢？笔者对如何学习几何最值问题，有更深层次的思考： 要揭示本题的深层结构，让学生真正理解题意，不仅要借助基本模型——几何最值模型，更要让学生明白模型的本质和原理，这样才能拓展和运用模型. 因此，笔者决定上一节几何最值问题的专题课，课堂采用“问题情境预设—问题情境解决—问题情境总结”的教学模式展开项目化复习，让学生能根据情境善于发现问题，敢于提出问题，并在师生和生生互动交流中，不断地研究和探索问题，在解决问题的过程中培养学生的能力，提升学生的思维.

基于真实情境问题链的项目化

复习建构案例

1. 预设问题情境阶段：利用认知性追问链，直击项目本质，启迪学生认知

第一步，展示动画 ——激活已有认知.

播放动画：甲、乙村庄分别位于直线公路的两侧，一辆汽车在公路上由东向西行驶.

师：你能用语言描述一下汽车在行驶过程中，离甲、乙村庄距离的变化情况吗？

（学生们齐刷刷地举起了手，教师找了一个基础相对薄弱的学生来回答）

生1：汽车离甲、乙村庄的距离先由远到近，再由近到远.

师：我们从实际问题中抽象出如图2所示的几何模型，其中点A，B分别表示村庄甲、乙. 汽车在运动过程中，你认为哪个位置比较特殊？你能画出来吗？

（生1上黑板，迅速地画出E，F两点，如图2，并说E，F两点分别到甲、乙两个村庄的距离最近. ）

师：大家同意他的观点吗？

（学生们都表示认同）

师：你能描述一下刚才的作法吗？能说说其中的道理吗？

生1：把甲、乙两个村庄分别看作一个点，过这个点向公路作垂线段，垂足就是我们要画的点. 理由是直线外一点到直线上一点的连线中垂loi6GnpjpNNqwKo6quVpuA==线段最短.

（教师板书：几何最值模型一：垂线段最短）

第二步，定向追问——启发思维碰撞.

师：公路上除了E，F 两点的位置比较特殊而外，你认为还有没有特殊的位置呢？我们用几何画板来模拟一下汽车O的行驶过程，请同学们仔细观察动画演示.

生2：还有一个点，它到甲、乙两个村庄的距离和最短.

（生2上黑板找出点P，如图3）

师：你能说出其中的原因吗？

生2：两点之间线段最短. PA+PB的最小值为AB.

师：其他同学还有其他想法吗？

生3：我来说一说. 其实这道题利用了三角形三边的一个关系，即在三角形中，任意两边之和大于第三边. 重合时便取到了最小值. 其实刚才生2找到的点P就是重合时的点.

（教师板书：几何最值模型二：两点之间线段最短）

……

案例简评 这里创设的问题情境没有华丽的语言，没有精心雕琢的情境，但教师适时提出问题“汽车在运动过程中，你认为哪个位置比较特殊？”. 有了问题，学生就有解决问题的愿望. 这一问题结合了原有的认知，能让学生形成从生活中的远近到数学中的大小之间的直观联系. 教师再追问“你能描述一下刚才的作法吗？能说说其中的道理吗？”. 表面上看这似乎不是纯数学问题，但这恰恰涉及如何用数学的观点看待和认识生活中的实际问题. 最后追问“公路上除了E，F 两点的位置比较特殊而外，你认为还有没有特殊的位置呢？”，让学生开始新的学习. 所以这一系列问题链恰恰成为生活知识数学化或者数学建模的重要前提，能让学生学会在这样的问题情境中提炼数学元素.

2. 解决问题情境阶段：利用方法性导问链，提炼项目内涵，助力方法剖析

第一步，自主提问 ——产生认知冲突.

师：通过刚才的动画，我们将距离最近的生活问题，化归为垂线段最短和两点之间线段最短的数学问题. 通过联想，你还能知道什么？能提出哪些类似的最短问题？

（这时举手的学生明显少了不少，教师留时间给孩子思考）

学生们经过思考，纷纷提出自己的问题. 教师经过筛选，出示下一个具有研究价值、又符合课堂教学目标的问题.

问题：如果甲、乙村庄位于公路的同侧，分别用点A，B表示（如图4），汽车在什么位置时，到甲、乙村庄距离和最短？

第二步，解决问题 ——拓展基本模型.

师：对于这一实际情境，你能转化为一个怎样的数学问题呢？

生4：这一问题可以转化为这样的数学问题——一条直线的同侧有两个定点，要在这条直线上找一个点，使得这个点到这两个定点的距离和最短.

师：很好. 对于这个数学问题，你有解决的办法吗？

生4：这符合“将军饮马问题”的条件，所以可以作一个定点关于这条直线的对称点，然后找到另一个定点与这个对称点的连线与直线的交点，这个交点就是我们要找的点. 即过点B，作直线的对称点B′，连接AB′，线段AB′与直线的交点P即为所求.

师：其他同学还有其他想法吗？

生5：我来说一说. 其实这道题作B点的对称点，就将求PA+PB的最小值问题转化为了求PA+PB′的最小值问题.

师：很好，生4对照条件，不仅联想到了将军饮马问题，还说出了具体的作法. 生5则说明了其中蕴含的数学思想.

……

案例简评 教师通过“通过联想，你还能知道什么？能提出哪些类似的最短问题？”来创设问题情境，揭示学生认知的矛盾，引起学生内心的冲突，从而唤起思维. 再通过“对于这一实际问题，你能转化为一个怎样的数学问题呢？”这一问题情境的创设，来揭示知识的内在联系，给学生提供展现自我、探索新知的机会.在此基础上，教师利用问题“对于这个数学问题，你有解决的办法吗？”使学生进入问题者的“角色”，真正“卷入”探究活动中.在这一过程中，问题链不仅仅只是“敲门砖”，更起到了方法层面的认知导向作用，能让学生真正成为主动的探索者、数学知识的生成者，从而获得有价值的数学模型，培养学生的创新精神和探究能力.

3. 总结问题情境阶段：利用策略性设问链，拓展项目外延，实现思维超越

第一步，类比归纳——寻找解题突破.

师：我们刚才求了两条线段和的最小值，那这两条线段的差有没有最值呢？我们是否可以将这一问题化归为上面已解决的类似问题？又如何解决呢？

（部分学生还是显得较为茫然）

师：请同学们针对这一问题的条件和要求，动脑想一想，动手画一画，然后作答.

（学生们立刻动手画了起来，经过画图思考，有部分学生已有想法并举起了手）

师：我建议小组内先交流一下，然后请一位同学，上台来画图解释、说明.

（全体学生早已按捺不住激动的心情，立刻在组内进行了激烈的交流）

生6：如图5，连接AB并延长交直线于点P，则点P就是我们所要求的点.

师：大家认为对吗？

（学生们大部分保持沉默，片刻后有少许议论）

师：你能解释一下你的理由吗？你是怎样想的？

生6：我们刚才求两条线段的和时，利用了三角形三边的一个关系，即在三角形中，任意两边之和大于第三边，重合时取到了最值.现在我们要解决两线段差的问题，我就想到了三角形三边的另一个关系，即在三角形中，任意两边之差小于第三边，也就是PA-PB≤AB.所以我先在直线上取一点P，根据三角形的三边关系有 PA- PB≤AB，所以当PA 和PB重合时，取到最大值.

师：如果大家认为他说的有道理，请把掌声送给他.

（教室中响起了一片掌声）

师：如果两个定点位于一条直线的异侧，要在直线上找一个点，使得这个点到这两个定点的距离差最大，这个问题还需要研究吗？

生：不需要！只要利用对称的知识，将异侧的两个点转化为同侧两个点，问题就转化为刚才的问题了.

第二步，总结提升 ——形成思维共识.

师：我们再来观察一下上面四个问题及其四张图（图2～图5）. 观察它们的共同点和不同点，以及作法，你有什么发现？

（学生有的在独自思考，有的在摇头叹息，有的在相互交流）

生3：（不等举手，高兴地说）我知道了，其实它们是一致的.

师：你来说说想法.

生3：前面两个问题的共同点是求线段和的最小值，后面两个问题都是求线段差的最大值，不同点是所给的条件不同，一个是2个定点在直线的同侧，另一个是2个定点在直线的异侧. 求线段和的最小值，我们只需要把同侧转化为异侧;求线段差的最大值，我们只需要把异侧转化为同侧，即利用对称进行转化，进而解决问题.

师：同学们说说看，有没有道理？

（学生们很兴奋，频频地点头称赞，并投以敬佩的目光）

教师在这一数学问题的基础上加了直角坐标系和网格背景，并给出开始试题的条件（中考模拟试题），学生们很自然地得到了答案.

……

案例简评 这里展现的情境很简单，没有多余的语言和背景，通过“我们是否可以将这一问题化归为上面已解决的类似问题？又如何解决呢？”这样的问题，使教学活动从形式延伸至思维，同时体现了为理解数学而教，为知识的迁移而教.而通过“针对这一问题的条件和要求，动脑想一想，动手画一画，然后作答”引导学生从直观经验出发，增加感性体验，更是从“定性”到“定量”的一个转换，为思维层面的分析起到了铺垫作用.再通过“我们再来观察一下上面四个问题及其四张图. 观察它们的共同点和不同点，以及作法，你有什么发现？”启发学生主动去思索和发现，去探索和建构，形成新的认知和思维的提升.

基于真实情境问题链的项目化

复习建构思考

1. 项目化复习要以学生的认知基础为真实情境问题链设计的起点

问题源于情境，“情境”是提出数学问题的背景，背景必须和学生已有数学认知结构和智能发展状况，以及生活经验和数学经验相关[2]，因此，在数学问题情境的设计上，首先要体现适用性，应根据学生原有的知识水平、生活经验和认知特点，设计具体、可感、实际、具有亲和力的问题情境，来激起学生的求知欲和探索欲，引导学生主动参与和投入学习.其次，要体现层次性，可设计一连串环环相扣、由简到繁、由浅入深、循序渐进的问题，使学生在具体情境中透彻理解相关知识点，从而揭示数学的本质和规律.第三，要体现有效性，要在学生原有知识和经验的基础上，有意识地让学生陷入新的困境，引起认知冲突，唤起学生对新知识学习的欲望.如本节课就以一个运动的小车和两个村庄的距离为问题情境，不仅基于学生的知识认知，而且适合学生的心理认知，然后以此为起点，不断地变化问题的背景，设置层层深入的问题情境，让学生的认知不断碰撞、不断生长.

2. 项目化复习要以数学的本质思考为真实情境问题链设计的支点

情境因数学思考而有意义，数学问题因情境而有生气.真正的问题情境要体现“理寓其中”，也就是要蕴含有价值的理性内涵.因此，首先，问题情境的设计要尽可能从学生的生活实际中提炼出有启发性的数学问题，设置蕴含丰富的数学信息的问题情境.其次，应该根据教学目标、学习内容去精选有利于目标达成的问题情境，把所学的数学知识具体化，进一步地放大核心知识的作用，并以此为中心拓展开来，发散开去，成为数学思考的动力源. 再次，问题情境的指向性要更加清晰明确，凸显数学知识的本质属性，要能够从情境中有效地引出与数学联系最直接、最重要的核心问题，从而激发学生深层次的思考.本节课的一个运动的小车和两个村庄距离远近的问题，本质就是线段和最小、差最大的数学问题，能让学生学会从问题情境中剥离出非数学问题，培养学生的数学思考方式，提高学生的数学思维品质.

3. 项目化复习要以学习的主动探究为真实情境问题链设计的拐点

从问题情境的理解到知识的主动建构，往往需要学生通过探索和研究，从而逐渐领会和掌握抽象的数学知识.因此，可以先设置一些学生熟悉的、直观的、可接受的探究情境，以探究为载体，给学生创设一个动手、观察、联想、抽象、概括、数学化的过程，从而将知识转化为能力，把实践内化为经验.其次，要以学生为主体，让学生主动讨论、探索研究，暴露知识的产生过程，以产生强烈的探究欲望和创造动机，让学生想学、乐学、主动学. 最后，情境探究要有延展性，能梳理研究方式，提炼数学思想，努力提升学生的反思能力，并重组自己新的数学活动经验，从而培养学生的探索精神和创新能力[3].本节课教师利用问题情境让学生从熟悉的小车运动情境出发，探究了距离和最短、距离差最长的问题，还给学生设置了同侧和异侧的探究坡度，使学生品尝到思维成功的乐趣，也实现了问题情境效益的最大化.

参考文献：

[1]陈锋，薛莺. 以问题引领，提升复习效能——对初三“圆的复习”课几个片段的感悟[J] . 中学数学，2013（10）：17-19.

[2]陈锋，薛莺，童伟伟. 多元化的“微探究”：从机械记忆走向理解建构[J]. 中学数学，2013（18）：76-78.

[3]陈锋，薛莺. 从课堂“微探究”谈初中数学有效教学[J]. 中学数学教学参考，2013（11）：16-18.