二元一次方程组课时设计3:应用

[摘 要] 文章以“二元一次方程组课时设计3：应用”为例，从内容及其解析、教学目标及其解析、教学问题诊断分析、教学过程设计几个角度给出其“大立意设计、大情境引领、大任务驱动、大概念统摄”下的课时教学设计，以期为后续相关课例提供参考.

[关键词] 二元一次方程组;大单元;大概念;应用

内容及其解析

（一）内容

“二元一次方程组的应用”是鲁教版七年级下册第七章的教学内容，是章精学课，也是过渡课，共3课时，位于教材第13～19页，主要内容为列二元一次方程组解决实际问题，能为后续章小结课奠定基础.

本节课重在引导学生明确列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，学会利用填空、表格等方式理清复杂的数量关系，并进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.

（二）内容解析

第一课时的内容位于教材第13～14页. 以“鸡兔同笼”问题引入，呼应章前图，例1是我国古代的“以绳测井”问题. 这两个问题均来源于我国古代数学著作中的相关记载，意在使学生在运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，明确解决问题的一般过程，并感受数学文化的熏陶. 第二课时的内容位于教材第14～16页. 以盈利问题引入，例2是数量关系复杂的“营养品配制”问题. 这两个问题能让学生进一步经历用二元一次方程组解决实际问题的步骤和方法. 这两个情境中的等量关系均不易直接获得，需要借助表格进行分析，找出问题中所蕴含的等量关系. 第三课时的内容位于教材第17～19页. 以图文并茂的形式呈现“里程碑上的数字”问题，意在让学生感受二元一次方程组表示数字问题的简便性. 例3是一道复杂的数字问题. 这两个情境问题的数量关系更为复杂，以此为载体展现了分析数量关系、建立方程组解决数字问题的优越性，突出了方程组作为数学模型应用的广泛性和有效性.

在上述分析的基础上，为体现单元整体设计和数学课程育人价值，我们结合时政热点，创设了以杭州亚运会为主题的大情境，在保证完成教材例1、例2、例3基本技能的基础上，培养学生用数学的思维思考现实世界，提高数学应用意识与能力，增强学生的爱国意识与民族自豪感，培养学生团结协作、顽强拼搏的奋斗精神.

（三）教学重点

基于以上分析，可确定本节课的教学重点是：

能根据等量关系，列出二元一次方程组.

教学目标及其解析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称“《a9s/GiEdWMuf0nzOTK3oRQ==课标2022》”）对本节课的要求如下：能应用二元一次方程组解决现实生活中的实际问题.

（一）教学目标

通过上述分析，可确定本节课的教学目标为：

1. 在问题1教学中，引导学生总结出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.

2. 对于问题2和问题3，学生能找出其中的数量关系，并列出二元一次方程组解决.

3. 在经历解决实际问题的过程中，让学生进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的爱国情怀与奋斗精神，发展模型观念、运算能力、应用意识等核心素养.

（二）目标解析

目标1达成的标志是：学生能够用自己的语言，相互补充，总结出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.

目标2达成的标志是：学生能够自己借助填空、表格等方式理清具体问题中的等量关系，并列出二元一次方程组加以解决.

目标3达成的标志是：学生体会到二元一次方程组学习的必要性，以及其在解决问题中的简便性;在课堂学习中，学生的爱国情怀与民族自豪感产生共鸣，再次激发努力拼搏的勇气. （本目标属于情感、态度与价值观目标，需要在长期的过程中慢慢形成. ）

教学问题诊断分析

（一）学生已有基础分析

知识层面：学生已经系统学习了二元一次方程组的定义及解法，并且在六年级“一元一次方程”的学习中，已经具有列方程解决实际问题的经验.

思维层面：七年级的学生好奇心与求知欲强，善于表达，有一定的逻辑思维能力，但水平参差不齐，思维的深度与广度有待提高.

（二）学生基础与目标的差距

学生在六年级已经能够利用一元一次方程解决简单的实际问题，不过问题中的等量关系简单、单一，容易解决，假如遇到数量关系多，等量关系复杂的实际问题，学生在解决时缺乏分析策略，便会存在一定的困难. 具体分析如表1.

（三）教学难点

通过上述分析，可确定本节课的教学难点是：

在具体情境中找出两组等量关系.

教学过程设计

（一）创设情境，疑点反思

播放“2023年杭州亚运会比赛精彩瞬间”记录短片，师生共同观看，引导学生感受祖国国力的日益强大及“更高、更快、更强”的体育精神，引导学生用数学的眼光观察亚运会，用数学的思维思考亚运会相关问题.

问题1 9月23日杭州亚运会拉开帷幕，我国共派出886名运动员征战亚运. 已知男运动员比女运动员多12人，请问男、女运动员各多少人.

思考：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？

预设：根据问题1的解决过程，学生总结出“设未知数，列方程，解方程，回归实际问题（答）”.

师生活动：教师问，学生答，学生先自己补充，教师板书学生总结的步骤. 教师在此基础上强调与补充“找等量关系，检验解的正确性及是否符合实际情况”.

设计意图 列二元一次方程组解决实际问题是本节课的重点. 学生在第二课时学习解法时已经列出并解出该方程，因此此问题直接出示上一课时学生的作答，根据作答，引导学生总结和归纳运用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤. 虽然学生在学习定义、解法时已经涉及，但是没有具体化. 因此，问题1意在明确二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.

（二）自主探究，目标反思

问题2 田径和游泳作为两个大项，我国所获金牌数都是两位数，共47枚. 在游泳金牌数右边接着写田径金牌数，得到一个四位数;在田径金牌数右边接着写游泳金牌数，也会得到一个四位数. 已知前一个四位数比后一个四位数大891，请问我国田径和游泳各获得金牌多少枚？

思考：设田径获得金牌_______枚，游泳获得金牌_______枚.

在游泳金牌数右边接着写田径金牌数，所写的数可表示为______;

在田径金牌数右边接着写游泳金牌数，所写的数可表示为_______.

师生活动：学生独立思考，回答空格处的答案，之后尝试在导学案上写出解题过程. 教师巡视指导，指定一名学生黑板板演. 对于学生板演，先让学生自评，其他学生评价，最后教师评价，强调解答过程中出现的问题及注意事项.

设计意图 金牌获得数是学生感兴趣的问题，易于激发学生的探究热情与欲望. 此问题是数字问题，对应教材中的例3. 学生已经掌握二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，问题2中的等量关系相比问题1复杂，找等量关系由问题1中的直接获得到这里借助填空的形式理清. 在此过程中，引导学生经历建模过程，探索分析问题的方法，提高学生利用二元一次方程组作为数学模型解决问题的能力，进一步体会方程思想在实际问题中的应用.

（三）合作探究，问题反思

问题3 比赛期间，为给运动员提供安全、优质的食物，运动员食材由中标单位甲与乙供应商统一配送. 甲供应商每天每车运送蔬菜2 t和肉类4 t;乙供应商每天每车运送蔬菜3 t和肉类2 t. 亚运村运动员餐厅每天需要蔬菜12 t和肉类16 t，那么每天甲、乙供应商各运送多少车能恰好满足餐厅需要？

小组讨论：时间3分钟，完成表2.

预设：读完题目，很多学生可能不会做，主要在于不能独立找出题目中存在的等量关系.

师生活动：课件出示问题3，学生读题并理解题意. 教师询问“会做的同学请举手，不会做的同学请说一下你的困难”. 在学生提出“找不到等量关系”的困惑后，教师出示表2，引导学生对于数量多、等量关系复杂的问题可以借助表格来理清. 组织学生先独立思考，然后小组讨论，教师指定小组代表汇报交流成果. 最后，放手让学生独立解决问题，投影展示学生的作答.

设计意图 《课标2022》提出，教学要帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养. 而学生的核心素养只有在运用这些素养解决问题的过程中才能有效形成，这就要求学生完成挑战性学习任务. 因此，设计了问题3. 由问题1到问题3，情境中的等量关系由易到难，学生在经历“感到困惑—倒逼思考—小组交流—茅塞顿开”的过程中，提高了分析问题、解决问题的能力，强化了模型观念，感悟了数学应用的价值. 此外，学生在小组合作过程中，受到同龄人的启发，更容易产生思维火花的碰撞，不仅激发了数学学习的欲望，还拓宽了逻辑思维的广度. 学生独自解决不了的难题，借助集体的力量就能迎刃而解，借此向学生进行德育渗透，能让学生感受到集体的力量是强大的，感悟到学习与生活中团结协作的重要性.

练习：

亚运村运动员餐厅用甲、乙两种原料为运动员配制营养品. 每克甲原料含5单位蛋白质和10单位铁质，每克乙原料含7单位蛋白质和4单位铁质. 若运动员每餐需要350单位蛋白质和400单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好能满足运动员的需求？

师生活动：学生独立完成，教师巡视指导，投影展示学生作答，师生共同评析.

设计意图 学生趁热打铁，巩固用二元一次方程组解决实际问题的方法，再次体会用表格理清数量关系的简便性. 这道变式题是对课本第15页例2的改编，结合亚运会大背景，对教材进行整合、利用，再次将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，使学生在掌握基本技能（列二元一次方程组解决问题）的基础上，发展核心素养（运算能力、数学应用能力）.

（四）整合提高，总结反思

师生活动：播放微视频，学生观看，之后用自己的话说一说实际问题可以用二元一次方程组解决的条件、思路、策略等.

设计意图 在前面经历问题1、问题2、问题3探究的基础上，利用微课，以思维导图（如图1）的形式生动形象地引导学生从宏观角度体会二元一次方程组作为数学模型解决实际问题的建模过程，帮助学生进行知识迁移，建立新的知识框架与体系;引导学生领悟方程思想及模型思想在问题解决中的应用.

师生活动：学生各抒己见，自由畅谈，相互补充. 教师对于学生的收获给予及时的肯定与鼓励.

设计意图 从知识、方法、思想、素养等方面引导学生对本节课的收获进行总结（如图2），培养学生学习后自我反思的良好习惯，对所学知识的理解加以升华，使知识系统化，从而帮助学生建立新的知识体系.

（五）布置作业，梳理反思

达标检测：

云云和小亚以大学生志愿者的身份参与了杭州亚运会，两人收集了一定数量的亚运会吉祥物徽章作为纪念. 云云收集的徽章数量比小亚多1个. 如果小亚给云云1个徽章，那么云云收集的数量是小亚的2倍. 请问：云云和小亚各收集了多少个吉祥物纪念徽章？

师生活动：学生在学案上独立完成，之后教师出示正确答案，询问作答情况及正确率，同桌相互批阅，对照答案订正.

设计意图 达标检测是对学生能否达到学习目标的定量测评，是教师了解学生对本节课基础知识、基本技能掌握情况的途径.

布置作业：

1. 基础作业：课时作业，共10题，其中选择题4题，填空题3题，解答题3题，每种题型均分层呈现试题（要求当天完成，限于篇幅，此处略去）.

2. 实践作业：

查阅亚运会相关资料，编一道与“二元一次方程组”有关的题目，同桌相互解决.

预设及师生活动：达标检测独立完成，教师订正答案，学生交换批改. 短作业（基础作业）课后20分钟内完成;长作业（实践作业）贯穿本章学习始终，提高学习能力和兴趣，为后续知识的学习做铺垫.

设计意图 通过一组练习巩固本节课学习的“用二元一次方程组解决问题”，实现“堂堂清、日日清”. 作业是学生巩固知识、形成能力、培养习惯的重要载体，也是教师了解学情、完善教学管理的重要手段，在“双减”背景下上述作业设计力求做到“让不同的学生在数学上得到不同的发展”，体现控制数量、提高质量;分层作业，面向全体;注重基础，培育素养.