二元一次方程组课时设计2:解法

[摘 要] 文章以“二元一次方程组课时设计2：解法”为例，从内容及其解析、教学目标及其解析、教学问题诊断分析、教学过程设计几个角度给出其“大立意设计、大概念统摄、大任务驱动、大情境引领”下的课时教学设计，以期为后续相关课例提供参考.

[关键词] 二元一次方程组;大单元;大概念;解法

内容及其解析

（一）内容

“解二元一次方程组”是鲁教版七年级下册第七章的教学内容，是章精学课，也是过渡课，起着承上启下的作用，共2课时，位于教材的第6～12页，主要内容为解二元一次方程组.

本节课重在引导学生理解将二元一次方程组转化为一元一次方程的“消元”思想，在解决问题中体会化繁为简、化未知为已知的化归思想，并不断练习强化代入消元法和加减消元法.

（二）内容解析

教材从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程组的解法——代入消元法和加减消元法. 对于二元一次方程组来说，强调“消元”的思想和方法，应是贯穿始终的一条主线. 通过“消元”，将二元一次方程转化为一元一次方程，能实现求解的目的，并体现了化繁为简的基本策略，能促进学生理性思维的发展.

代入消元法和加减消元法是解二元一次方程组的基本方法. 代入消元法：要求从两个方程中选择一个系数比较简单的方程，将它转换成含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，求出未知数的值，最后将这个未知数的值代入已变形的那个方程，求出另一个未知数的值;加减消元法：它要求两个方程中必须有某个未知数的系数的绝对值相等（或利用等式的基本性质在方程的两边同时乘一个适当的不为0的数或式，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等），然后利用等式的基本性质在方程两边同时相加或相减消元.

在上述分析的基础上，为体现单元整体设计和学科育人的理念，我们结合时代背景，创设了“杭州亚运会”这一大情境，在保证实现第一节课情境1目的的基础上，重在引导学生回顾亚运会精彩瞬间的同时，感受杭州亚运会所承载的精神力量，体会中国日益强大的科技力量.

（三）教学重点

基于以上分析，可确定本节课的教学重点是：

二元一次方程组的解法——代入消元法、加减消元法.

教学目标及其解析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称“《课标2022》”）对本节课的要求如下：掌握消元法，能解二元一次方程组.

（一）教学目标

通过上述分析，可确定本节课的教学目标为：

1. 会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组.

2. 了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会“化未知为已知”的化归思想.

（二）目标解析

目标1达成的标志是：学生能够在具体问题中，选择恰当的方式解二元一次方程组，并求解正确.

目标2达成的标志是：学生能通过相应的探究活动说出将二元一次方程组转化为一元一次方程进行求解，并能说出如何转化.

教学问题诊断分析

（一）学生已有基础分析

学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算，一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力，会通过列一元一次方程解应用题，能通过分析找出题中的等量关系列出二元一次方程组.

（二）学生基础与目标的差距

学生虽然在六年级已经掌握了有理数、整式的运算，一元一次方程的解法，对解方程有了初步的认识，但是仅限于“一元”;对二元一次方程如何求解存在疑问. 具体分析如表1.

（三）教学难点

通过上述分析，可确定本节课的教学难点是：

了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会“化未知为已知”的化归思想.

教学过程设计

（一）创设情境，复习反思

展示上节课“认识二元一次方程组”的情境1，通过“提出了什么数学问题？”“运用我们所学的什么知识来解决的这个问题？”“如何解这个二元一次方程组？”三连问，引出我们本节课所要学习的内容——解二元一次方程组.

情境：为期16天的杭州亚运会圆满结束，我国共派出886名运动员征战亚运. 已知男运动员比女运动员多12人，你能根据这组数据提出什么数学问题？

预设及师生活动：男运动员和女运动员分别多少人？学生很容易回忆起用方程（一元一次方程、二元一次方程组）的知识来解决这个问题.教师追问如何解二元一次方程组，于是自然引出课题，展示本节课的学习目标.

设计意图 通过“亚运会”为主题的问题情境，引导学生回忆所学的一元一次方程和二元一次方程组. 且面对实际问题的解决，为学生种下了疑问的种子，接着教师通过三连问不断激发学生解二元一次方程组的欲望.

（二）自主探究，目标反思

任务1 探究如何解二元一次方程组.

观察思考：观察两个方程有什么联系，并思考如何解二元一次方程组.

预设及师生活动：学生面对会解的一元一次方程和不会解的二元一次方程组，教师引导学生观察方程特征，“逼”学生说出将二元一次方程组转化为一元一次方程;教师抛出问题后给予学生充足的时间思考“如何解二元一次方程组”，必要时进行引导，让学生在问与追问中发现解二元一次方程组的思路.

设计意图 通过设问，让学生自主探究解二元一次方程组的思路，并习得“化未知为已知的化归思想”和“消元思想”.

任务2 探究用“代入消元法”解方程组.

反思：如何将二元一次方程组转化为一元一次方程？

预设及师生活动：基于两个方程的共同特征，学生比较容易发现可通过代入消元将其转化为一元一次方程（注意：学生可能会回答通过加减消元转化为一元一次方程）;教师在追问中完善知识与方法，进而引导学生说出具体的转化过程.

设计意图 通过任务2，引导学生自行探究并归纳代入消元法.

任务3 探究用“加减消元法”解方程组.

反思：除了代入消元法以外，你们还有其他消元的方法吗？

预设及师生活动：给予学生思考的时间，必要时让学生讨论交流（若在任务2中学生已经给出回答，则直接追问加减消元的具体转化过程）;让学生探究通过加减消元将二元一次方程组转化为一元一次方程，并归纳出加减消元的一般步骤，教师进行完善和补充.

设计意图 通过任务3，引导学生自行探究并归纳加减消元法.

任务4 探究如何选择恰当的方法解方程组.

反思：如何选择恰当的方法解二元一次方程组？

预设及师生活动：学生容易看出，同一个未知数系数相同或互为相反数时应选用加减消元法，而代入消元法，则需要在教师的提示性问题引导下，进行小组讨论，共同探究.

设计意图 通过这几道题的解法以及学生小组交流讨论，让学生进一步对一般的二元一次方程组如何选择恰当的方法有更深刻的理解，并概括归纳解题规律.

（三）例题讲解，方法反思

4. 一场场精彩绝伦的比赛，离不开运动员的奋勇拼搏，同样也离不开背后志愿者的倾情奉献. 将视角转移到幕后，小云和小亚作为志愿者，负责运动员来回亚运村的车次安排. 已知2辆A型汽车和3辆B型汽车最多可载乘客80人;3辆A型汽车和2辆B型汽车最多可载乘客95人.求A，B两种型号的汽车各能载乘客多少人. （列出方程并求解）

预设及师生活动：第1题由教师板演过程，第2～4题由学生独立完成，教师展示学生的解题过程并适时点拨.

设计意图 通过第1题给学生板演代入消元法解方程组的一般步骤，为学生提供解二元一次方程组的样例;第2题巩固代入消元法解方程组，并让学生感受代入法消元的优势;在第1～2题的基础上，通过第3题让学生自主探究加减消元法解方程组的一般步骤;第4题以“亚运会”主题的形式呈现，让学生感受亚运精神的同时，培养学生用数学思维解决现实问题的核心素养，让学生用自己喜欢的方法解方程组. 学生在选择中能体会不同解法的难与易，这能为后面选择恰当的方法解二元一次方程组做铺垫.

（四）课堂总结，提升反思

预设及师生活动：教师以阶梯形式（如图1）给出问题，帮助学生进一步明确本节课需要掌握的知识、方法、思想和素养，以及后续需要研究的内容等;引导学生在回顾本节课所学知识的同时，初步构建整章的学习体系（如图2），体现《课标2022》提出的单元整体教学理念.

设计意图 在本课的最后，小结通过阶梯式问题“我学会了……” “要怎么做……” “怎么学会的……”和 “获得的经验……”，反思与回顾本节课的学习过程，这不仅为学生的后续学习奠定了基础，还为学生的课后预习指明了思路，指向“学会学习”，培育了学生的模型观念、运算能力、应用意识等核心素养的同时，也培养了学生的责任担当意识.

（五）布置作业，梳理反思

达标检测：

A. -3y=2 B. 4x+y=0

C. y=0 D. 7y=-8

3. 作为世界级赛事的亚运会承担着向外界展示我国科技力量的任务，而延续人工智能特色的食堂自冬奥会起就一直吸引着各国媒体的眼球. 承包食物加工的公司收购了某种蔬菜140 t，该公司每天可以粗加工16 t、精加工6 t，现计划用15天完成加工任务，假设该公司安排x天粗加工、y天精加工，则该公司应安排几天粗加工、几天精加工？（列方程组并求解）

布置作业：

1. 基础作业：共10题，其中选择题4题，填空题3题，解答题3题，每种题型均分层呈现试题（要求当天完成，限于篇幅，此处略去）.

2. 实践作业：

请你结合亚运会，编一道与“二元一次方程组”有关的题目并尝试解决.

预设及师生活动：达标检测独立完成，教师订正答案，学生交换批改;同时在达标检测中设计“亚运会”问题，引导学生进一步感受我国科技力量的日益强大. 短作业（基础作业）课后20分钟内完成;长作业（实践作业）贯穿本章学习始终.

设计意图 通过一组练习巩固本节课学习的“代入消元法和加减消元法”，实现“堂堂清、日日清”. 作业是学生巩固知识、形成能力、培养习惯的重要载体，也是教师了解学情、完善教学管理的重要手段，在“双减”背景下，上述作业设计力求做到“让不同的学生在数学上得到不同的发展”，体现了控制数量、提高质量;分层作业，面向全体;注重基础，培育素养.