二元一次方程组课时设计1:定义

[摘 要] 文章以“二元一次方程组课时设计1：定义”为例，从内容及其解析、教学目标及其解析、教学问题诊断分析、教学过程设计几个角度给出其“大立意设计、大情境引领、大任务驱动、大概念统摄”下的课时教学设计，以期为后续相关课例提供参考.

[关键词] 二元一次方程组;大单元;大概念;定义

内容及其解析

（一）内容

“二元一次方程组”是鲁教版七年级下册第七章的教学内容，是章起始课，共1个课时，位于教材的第2～5页，主要内容为二元一次方程（组）及其解的概念.

本节课重在引导学生感受二元一次方程（组）学习的必要性，及其在解决问题中的优越性，理解其概念和解的意义，并进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.

（二）内容解析

教材章引言为学生提供了本章内容学习的路径和方法;章前图为学生呈现了古老的数学问题——鸡兔同笼，意在引导学生通过多种方式（代数方法和方程方法，设“一个未知数”和设“两个未知数”）解决上述问题，初步感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型; 教材情境1以图文并茂的形式为学生呈现了“谁的包裹多”的问题，通过此问题的解决引导学生进一步感受二元一次方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效模型，以及其在解决问题中的优越性;教材情境2以图文并茂的形式为学生介绍了现实生活中的“购票问题”，除了深化上述目的外，这个情境的另一重要目的在于引出“二元一次方程（组）”解的概念，教学中应引起一线教师的足够重视.

二元一次方程组是最简单的线性方程组之一，它是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型，也是学习数学，乃至学习物理、化学等其他学科知识的重要基础. “认识二元一次方程组”一课既是一元一次方程的延续，又是进一步学习其他方程的前提，与研究一元一次方程的“基本套路（定义、解法、应用）”相同.

在上述分析的基础上，为体现单元整体设计和学科育人的理念，我们结合国际时事热点，创设了以杭州亚运会为主题的大情境，在保证实现教材情境1和情境2目的的基础上，重在引导学生感受国家日益繁荣富强，培养学生的爱国主义情怀和顽强拼搏的奋斗精神.

（三）教学重点

基于以上分析，可确定本节课的教学重点是：

二元一次方程（组）的概念，及其解的意义.

教学目标及其解析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称“《课标2022》”）对本节课的要求如下：能根据现实情境理解（二元一次）方程的意义，能针对具体问题列出（二元一次）方程;理解（二元一次）方程解的意义.

（一）教学目标

通过上述分析，可确定本节课的教学目标为：

1. 在情境1和情境2中，再次感受（二元一次）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.

2. 在情境1和情境2的解决中，概括二元一次方程（组）的概念;体会二元一次方程（组）解的意义.

3. 在课堂学习中，培养自强爱国和顽强拼搏的个人情怀，培育“模型观念、运算能力、应用意识”等核心素养.

（二）目标解析

目标1达成的标志是：学生能够在具体情境中发现两组等量关系，在灵活设置未知数的基础上，准确列出方程.

目标2达成的标志是：学生能通过相应的探究活动说出二元一次方程和二元一次方程组的概念;学生能说出二元一次方程的解和二元一次方程组的解的概念，并能判断出一组数是不是某个二元一次方程组的解.

目标3达成的标志是：学生感受到“数学来源于生活，又服务于生活”，体会到二元一次方程（组）学习的必要性，以及其在解决问题中的优越性;在具体情境和问题解决中为学生种下“自强爱国”和“顽强拼搏”的种子，进而培育《课标2022》提出的“有理想、有本领、有担当”的“三有”时代新人. （本目标属于情感、态度与价值观的目标，需要在长期过程中慢慢形成. ）

教学问题诊断分析

（一）学生已有基础分析

通过一元一次方程相关内容的学习，学生基本具备了在具体情境中寻求一组等量关系的能力，对“元”和“次”有了感性的认识，并且能够用一元一次方程解决现实生活中的实际问题，具备学习新方程的能力和条件.

（二）学生基础与目标的差距

学生虽然在六年级掌握了一元一次方程学习的“基本套路”，对“元”和“次”有了感性认识，但是仅限于“一元”;对于简单的等量关系（一组）可以利用方程表示，但是对于相对复杂的等量关系（两组）的解决存在困难. 具体分析如表1.

（三）教学难点

通过上述分析，可确定本节课的教学难点是：

在具体情境中，发现（两组）等量关系，列出二元一次方程（组）.

教学过程设计

（一）创设情境，复习反思

播放“杭州亚运会开幕式中国代表团入场”的视频，与学生一起从视频中见证 “中国运动力量”的震撼时刻，并让学生谈一谈自己的感受.

情境1 9月23日杭州亚运会拉开帷幕，我国共派出886名运动员征战亚运. 已知男运动员比女运动员多12人，你能从中发现或提出怎样的数学问题？

预设：学生根据情境条件提出男、女运动员人数的相关问题，建立一元一次方程来解决.

师生活动：通过教师引导，引出一元一次方程及其研究思路的复习，即定义、解法、应用. 为本节课类比一元一次方程的研究思路，来探究学习新的一类方程——二元一次方程（组）做好铺垫.

设计意图 通过复习一元一次方程的相关内容，为本节课和本章内容的学习搭建“脚手架”;在此基础上出示学习目标，渗透本节课和本章的研究思路与方法，体现知识的系统性和一致性. 通过“确定人数”这一情境，培养学生在实际问题中发现或提出数学问题的能力，让学生用“数学的眼光观察现实世界”，培育学生的数学核心素养. 同时，在杭州亚运会开幕式中国代表团入场的壮观场面和热闹氛围中，感受祖国的繁荣昌盛，培养学生“自强爱国”和“顽强拼搏”的精神，培育学生的核心素养.

（二）自主探究，目标反思

情境2 云云和小亚以大学生志愿者的身份参与了杭州亚运会，两人收集了一定数量的亚运会吉祥物徽章作为纪念. 云云收集的徽章数量比小亚多1个，如果小亚给云云1个徽章，那么云云收集的数量是小亚的2倍. 云云和小亚各收集了多少个吉祥物纪念徽章？

问题1 你能根据题目条件列出相应的方程吗？

设计意图 情境2的设置，目的在于使学生意识到面对较为复杂的问题时，一元一次方程难以解决. 引发学生思考：当“一个元”难以解决问题时，若添加一个“元”使其变为“二元”，是否会更加简单？根据情境列出相应的方程是一个重点也是难点，教师需引导学生尝试设两个未知数，依据等量关系将未知转化为已知，列出二元一次方程（组），让学生感受学习二元一次方程（组）的优越性和必要性.

问题2 回顾情境1，你能依据其中的等量关系尝试设两个未知数列出相应的方程吗？

预设及师生活动：通过问题1和问题2，学生可以得到四个方程，分别是x-y=1 ，x+1=2（y-1）;m+n=886，m-n=12.

问题3 以上4个方程具有哪些共同特征？

预设及师生活动：在问与追问中学生类比一元一次方程归纳出二元一次方程及二元一次方程组的概念.

设计意图 通过问题3，引导学生在一元一次方程的定义基础上，通过类比思想，观察“元”与“次数”的特点，加深对“元”和“次数”的认识，从而归纳出二元一次方程和二元一次方程组的定义.

课堂生成：在类比一元一次方程定义的基础上，通过观察未知数个数和含未知数项的次数的特征，学生可以轻松地用自己的语言给出二元一次方程的定义;教师通过引导学生对同个情境中感受未知数代表对象的一致，给出二元一次方程组的定义.

练习：

1.下列方程是二元一次方程吗？

2.下列方程组是二元一次方程组吗？

3. 如果关于x，y的方程xm-1-y4+n=7是二元一次方程，则m=____， n=____.

变式：若（m-1）x∣m∣-2y=1是关于x，y的二元一次方程，则m=____.

4. 在亚运会的女子轻量级双人双桨比赛中，中国体育代表团的邹佳琪和岳秀萍夺得冠军，摘得杭州亚运会首金. 在一场双人双桨比赛中，小亚一家前去观赛. 已知小亚家共5人，买门票花费400元（成人门票100元，学生半价），请问小亚家成人和学生各多少人？（只列方程，不求解）

设计意图 练习1和练习2是较为简单的概念辨析练习题，目的是使学生加深对二元一次方程（组）中“二元”和“一次”的理解. 练习3及变式则为二元一次方程（组）概念的简单应用，难度稍大，能加强学生对知识的理解. 练习4以“亚运会主题背景”的形式呈现，目的是让学生通过现实情境问题建立方程模型，并进一步体会方程模型思想. 同时，进一步体会中华民族顽强拼搏的精神，激发学生学习的激情和动力.

（三）合作探究，问题反思

问题4 （1）如果考虑练习4情境，你能找到哪些x，y的值满足方程x+y=5？

（2）如果不考虑练习4的情境，你能找到哪些x，y的值满足方程x+y=5 ？

（3）按照同样的方法，你能找到哪些x，y的值满足方程100x+50y=400？

问题5 根据你找到的x，y的值，你有什么发现？

设计意图 问题4（1）的设置使学生先在具体的情境中感受二元一次方程的解存在的实际意义，再在问题4（2）（3）去除问题情境时，从纯数学问题的角度充分感受二元一次方程的解的可能性，最后通过问题5类比一元一次方程的解，发现二元一次方程的解的特点——存在无数组解.

课堂生成：学生通过具体情境中的实际条件，发现x，y的值存在一些限制，只能得到有限组满足二元一次方程的值. 但在去除情境后，从代数的角度，学生大胆代入各类数值，会发现满足二元一次方程的值存在无数组，从而充分感受到二元一次方程与一元一次方程的解的不同之处，从而类比一元一次方程的解的概念，总结出二元一次方程的解的概念.

问题6 小组合作，对比下面两个表格中每一组x，y的值，你有什么发现？

设计意图 感受二元一次方程组的解是其两个方程的公共解是一个难点，而直观的表格对比能够让学生清晰地观察到当两个x的值相等时，对应的y值仅存在一组是相等的，从而理解二元一次方程组的解是两个方程各组解的“公共部分”，加深对二元一次方程组的解的感受.

课堂生成：当学生独自观察时，容易将两个方程对应的x值和y值当作两个独立的“个体”来进行观察，这时教师需要引导学生把解组合，并注意两个方程每一组的解在x值相同时，对应的y值是怎样的特点，学生就能较为直观地找到“公共解”，从而归纳出二元一次方程组的解的概念.

练习：

1.下面4组数值，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？

（四）整合提高，总结反思

如图1所示.

设计意图 通过思维导图的形式，站在方程的大单元视角回顾本节课的学习过程，通过方程的基本学习思路（定义、解法、应用）奠定“二元一次方程组”这一章节后续课程的学习基础，并为后续学习分式方程、一元二次方程指明学习方向，指向“学会学习”. 将方程的学习思路放在初中阶段“数与式”中函数与不等式的学习中也同样适用，从而完善了初中数学“数与式”的大单元学习套路. 同时，在方程大单元的学习过程中，帮助学生构建知识结构图，将所学知识纳入原有知识体系，能培育学生的抽象观念、模型观念、应用意识等核心素养.

（五）布置作业，梳理反思

达标检测：

1. 下列不是二元一次方程组的是（ ）

3. 作为世界级赛事的亚运会承担着向外界展示我国科技力量的任务，而延续人工智能特色的食堂自冬奥会起就一直吸引着各国媒体的眼球. 承包食物加工的公司收购了某种蔬菜140 t，该公司每天可以粗加工16 t、精加工6 t，现计划用15天完成加工任务，请问：该公司应安排几天粗加工、几天精加工？（只列方程组，不求解）

布置作业：

1. 基础作业：课时作业，共10题，其中选择题4题，填空题3题，解答题3题，每种题型均分层呈现试题（要求当天完成，限于篇幅，此处略去）.

2. 实践作业：

请你结合亚运会，编一道与“二元一次方程组”有关的题目.

预设及师生活动：达标检测独立完成，教师订正答案，学生交换批改. 短作业（基础作业）课后20分钟内完成;长作业（实践作业）贯穿本章学习的始终，提高学习能力和兴趣，为后续二元一次方程组解法的学习做铺垫.

设计意图 通过一组练习巩固本节课学习的“二元一次方程和二元一次方程组”，实现“堂堂清、日日清”. 作业是学生巩固知识、形成能力、培养习惯的重要载体，也是教师了解学情、完善教学管理的重要手段，在“双减”背景下，上述作业设计力求做到“让不同的学生在数学上得到不同的发展”，体现了控制数量、提高质量;分层作业，面向全体;注重基础，培育素养.