“二元一次方程组”单元整体设计

编者按

2023年7月，东营市胜利第六中学入选首批山东省中小学大单元教学培育学校. 学校将大单元教学范式的构建与实施作为攻关项目.

项目实施半年多来，切实提升了教师的业务素质，培育了学生的核心素养，为学校的内涵提升贡献了“教研力量”. 东营市胜利第六中学数学教研组先行先试，在“学校—教研组—备课组，理论学习—实践推进—反思提升，单课时研讨—连续课研讨—复习课研讨”三轮驱动的基础上，构建了“大立意设计、大情境引领、大任务驱动、大概念统摄”的大单元教学范式，以期通过“大立意：意在课先，落实立德树人第一要务；大情境：真实情境，架起数学与生活的桥梁；大任务：自主建构，提高学生学习的主动性；大概念：聚焦核心，明确单元教学的主题”的实施，实现“塑整体观 育完整人”的预期目标.

本组文章以“二元一次方程组”为依托，结合教学实践，分别从单元整体设计和课时设计（定义、解法、应用）的角度进行案例呈现，重点关注相关理论在常态课堂的“落地生根”，以期引导更多的教研团队参与进来，开发出更多的优秀教学案例，推动初中数学学科高质量发展.

［摘 要］ 文章以“二元一次方程组”为例，从内容及其解析、教学目标及其解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析、单元整体设计、教学评价几个角度给出其“大立意设计、大情境引领、大任务驱动、大概念统摄”的大单元教学设计，并对分课时内容（定义、解法和应用）进行简单说明.

［关键词］ 二元一次方程组；大单元；大概念；方程

写在前面

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称《课标2022》）将义务教育阶段的数学内容分为四个领域，分别是数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践. 其中，数与代数领域（第四学段）由数与式、方程与不等式、函数三个主题构成，前面的内容是后面学习内容的基础，后面的内容是前面学习内容的延伸.

数与式是学习方程、不等式、函数等内容的基础，而在方程、不等式、函数等内容的学习中又能巩固数与式的相关内容，所以它们相辅相成. 方程、不等式、函数等是刻画现实世界中数量关系（相等关系、不等关系、变量关系）的有效模型，学习时遵循相同的学习思路，主要从“定义（含相关概念）、解法、应用”三个角度展开. 可见，方程的学习将为后续学习不等式和函数奠定坚实的基础. 而不等式和函数的学习又能巩固方程的相关知识，所以需要一线教师引起足够的重视.

方程是刻画现实世界中等量关系的有效模型. 在初中阶段，学生主要学习一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程、一元二次方程这四类方程. 同上面的分析一致，这四类方程的学习同样遵循相同的学习思路，也是主要从定义、解法、应用三个角度展开，前面内容的学习为后面内容的学习提供思路和方法，后面内容的学习又能巩固前面内容的知识和思想.

鲁教版数学教材在编写过程中遵循螺旋上升的理念，将四类方程根据学生的认知情况和年龄特点，分布在不同的分册中，为学生构建了逻辑一致、前后连贯的“学材”，指明了方程学习的路线图：定义、解法、应用. 教材编排顺序如表1.

内容及其解析

（一）内容

通过对大单元教学的研究，我们将初中阶段的教材进行重新整合，把四册书中的“方程”作为大单元提取为一个整体，遵循“定义、解法、应用”的学习思路，将每部分的方程分为定义、解法、应用来学习. 方程这一大单元主要依托杭州亚运会这一大情境，确立培养学生爱国情怀、顽强刻苦的拼搏精神的大立意，通过一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程学习中的大问题，最终让学生形成“方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”这一大概念. 本次的单元课为二元一次方程组，依托杭州亚运会这一情境，将二元一次方程组（1课时）、解二元一次方程组（1课时）、二元一次方程组的应用（1课时）新授课共计3节3课时串联为一个整体，使学习逻辑更为连贯.

（二）内容解析

“二元一次方程组”是一元一次方程等相关内容的延续，本章的学习将继续渗透方程学习的基本套路（定义、解法、应用），为后续学习其他方程（分式方程、一元二次方程）奠定坚实的基础. 教学时，首先，通过杭州亚运会的相关情境引导学生抽象出二元一次方程（组）的基本概念，引导学生感悟二元一次方程（组）也是刻画现实世界中数量关系的有效模型，强调模型观念等核心素养；接着，探索其解法，引导学生感受转化这一数学思想，重在体会与一元一次方程的联系与区别，同时强化运算能力的培育；最后，再次引导学生在现实情境中加以应用，切实培育学生的应用意识等核心素养，为培育学生学科核心素养贡献力量.

第1节，通过杭州亚运会相关情境，在类比一元一次方程的基础上引导学生抽象出二元一次方程（组），并掌握二元一次方程（组）及其解的概念，体会模型思想.

第2节，解决第1节中提出的问题，顺理成章地提出二元一次方程组的解法问题，并在类比一元一次方程的基础上获得代入消元和加减消元两种方法，初步体会两种方法之间的区别与联系，感受转化的数学思想.

第3节，给出更多有关杭州亚运会的实例，引导学生掌握用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤，进一步构建模型思想. 并在问题解决过程中，提高学生求解二元一次方程组的能力，提高学生的解题技能.

教学本章内容时，教师需要引导学生在类比一元一次方程学习的基础上，主动构建二元一次方程（组）学习的“基本套路”；需要引导学生继续感受方程（二元一次方程）是刻画现实世界数量关系的有效模型，并在培养“分析问题和解决问题”能力的基础上，培养学生自主“提出问题或发现问题”的能力，从而实现从“两能”到“四能”的突破.

（三）教学重点

通过上述分析，可将本章的教学重点确定为：

在具体情境和问题解决过程中，掌握二元一次方程（组）的相关概念；会用消元法解二元一次方程组；会解决与二元一次方程组有关的实际问题.

教学目标及其解析

（一）教学目标

通过上述分析，可确定本章的教学目标为：

1. 能根据具体问题的数量关系列出二元一次方程（组），理解其意义，并掌握相关概念.

2. 能根据二元一次方程组的特点，灵活选择代入消元法或加减消元法求解.

3. 能利用二元一次方程（组）的知识解决相关现实生活中的实际问题，感受二元一次方程（组）也是刻画现实世界中数量关系的有效模型，建立模型观念.

（二）目标解析

目标1达成的标志是：能清晰辨别出二元一次方程（组），并且能够说出原因.

目标2达成的标志是：能够准确求出二元一次方程的解，能够在尝试使用不同方法的求解过程中，感受到不同方法之间的区别与联系. 同时，初步感受到转化的数学思想.

目标3达成的标志是：能够在具体情境中获得等量关系，列出二元一次方程（组），并准确求解，模型观念和运算能力有明显提升.

教学问题诊断分析

（一）学生已有基础分析

方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 学习方程可以培育学生模型观念、运算能力、应用意识等多种核心素养，同时这些素养又为后续学习不等式和函数提供了思路和方法.

学生在一元一次方程的学习中对方程有了初步的认识，基本掌握了研究方程的“基本套路”，因此学生对二元一次方程（组）的提出不会陌生，并会在教师的引导下对二元一次方程（组）有整体的认识，从而顺利解决相关问题. 同时，《课标（2022）》将“方程”相关内容的学习移至第四学段（7～9年级），这与学生的年龄特点和认知情况相匹配，有助于学生更好地掌握这部分内容.

学生虽然在一元一次方程的学习中掌握了相关知识和思想，但是二元一次方程组的学习对相关内容提出了更高的要求，所以学生在学习过程中的实际情况可能与预期目标存在差距，教师教学时需要“具体问题具体分析”.

（二）教学难点

通过上述分析，可确定本章的教学难点是：

在真实情境和具体问题中，结合多元表征发现等量关系（一般是两组等量关系），并利用二元一次方程组的知识顺利解决.

教学支持条件分析

关于方程的学习，从“一元”过渡到“二元”对学生来说会是个难点，教师需要关注学生解决问题时的思路和想法. 此外，正确寻求等量关系，将实际问题转化为二元一次方程组问题更是“难上加难”，因此教学中教师应借助多媒体等多种手段（比如表格分析法）解决上述难点，为学生学习二元一次方程组提供支持和帮助.

单元整体设计

为了更好地进行单元整体设计，体现知识的系统性和连贯性，突出逻辑连贯和前后一致，我们以杭州亚运会为大情境，对本章内容进行整体规划，并结合教材，遵循定义、解法、应用的学习思路，给出二元一次方程组的单元整体设计（如图1）.

（一）起始课：定义（1课时）

为学生设置具体的杭州亚运会问题情境，引导学生复习一元一次方程的学习路径，为学习二元一次方程（组）提供思路和方法；通过情境2使学生感受二元一次方程（组）在解决复杂问题中的优越性，通过等量关系获得二元一次方程（组），并类比一元一次方程，给出其概念和解的定义.

（二） 精学课1：解法（1课时）

解决精学课1中的问题，通过情境1列出的二元一次方程组的求解探究，在对比一元一次方程求解的基础上使学生分别掌握代入消元法和加减消元法，感受转化的数学思想；在后续问题的解决中能够体会两种方法的区别和联系，会根据二元一次方程组的特点灵活选择方法解方程.

在此基础上，增加分解课1（1课时），用于巩固二元一次方程组的解法，进一步体会两种方法之间的区别与联系，同时感受同一种消元方法中哪种方法（消去x与消去y）更好，以及体会整体消元等多种消元思路.

（三）精学课2：应用（1课时）

引入大量的杭州亚运会相关实际问题，让学生在问题解决中体会方程思想，建立相应数学模型，形成模型观念.

在此基础上，增加分解课2（1课时）和分解课3（1课时），此时教师为学生提供更多的现实生活中的实际问题，将“亚运会”情境拓展至“数学文化”情境或其他情境，引导学生进一步感受二元一次方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效模型.

最后，对上述学习内容进行系统回顾和梳理，给出小结课（1课时），进一步引导学生用数学的眼光观察现实世界，进而提出更多相关的数学问题，并在解决学生自主“提出问题”的基础上，形成数学思维和数学语言.

上述单元整体规划构建了更加完整的知识体系，将二元一次方程组的学习体系和一元一次方程学习体系融为一体，构建了更加完整的“方程”知识网络，能更为系统地呈现转化思想，加深学生的认识. 并根据大单元设计理念，结合上述分析，将大立意、大情境、大任务、大概念分别界定如下.

大立意：培养学生爱国情怀、顽强刻苦的拼搏精神.

大情境：杭州亚运会.

大任务：如何利用二元一次方程（组）解决现实生活中的实际问题？

大概念：方程（二元一次方程组）是刻画现实世界数量关系的有效模型.

教学评价

（一）单元评价

评价方式一：单元测试.

评价方式二：学生单元小结自评表.

评价方式三：通过“作业单”评价学习质量.

（二）课时评价

以过程性评价为主，评价形式多样化，如课堂观察、课后访谈、成长记录、口头测验、活动报告、实践活动等. 过程性评价拆分一级指标为数学价值观念、数学思维品质、数学学习态度、学会数学学习，细化二级指标，采用等级评价与描述性评价相结合的方式.