关于圆锥曲线证明题探究的教学指导

［摘 要］ 圆锥曲线证明题是高中数学的重点问题，解题过程对思维要求较高，需要整合条件、转化构建. 开展解题指导，引导学生掌握方法，可以有效提升学生的解题能力. 文章结合圆锥曲线证明题，开展教学探究与分析指导，与读者交流学习.

［关键词］ 圆锥曲线；证明题；教学指导；思维

教学综述

圆锥曲线证明题是高中数学重要问题之一，问题类型众多，总体上分为两类：一是证明位置关系，如证明相切、垂直、过定点等；二是证明数量关系，如存在定值、恒成立、三点共线等. 问题解析需要充分理解圆锥曲线的定义与性质，掌握相应的解题技巧.

在解题探究中，需要引导学生分析问题，开展过程探究，总结解题方法. 因此，解题教学可分为四个环节，具体如下：

环节1：问题分析，考点定位，引导学生分析问题，把握问题本质.

环节2：思维引导，引导学生构建思维链，形成相应的解题思路.

环节3：过程引导，分步探究问题，引导学生探究解题过程；

环节4：技巧总结，引导学生反思解题过程，总结类型题的解题方法.

教学探究

圆锥曲线类问题总体上分为两类：数量关系证明题、位置关系证明题. 在教学探究中可以结合高考真题，分环节引导学生探究问题，总结方法. 下面结合实例探究总结.

1. 教学指导——数量关系证明

问题1 已知顶点为坐标原点的抛物线Γ的焦点为F，位于y轴的正半轴上，又知圆心在直线y=x上的圆E与x轴相切，且点E，F关于点M（-1，0）对称，试回答下列问题.

（1）求E和Γ的标准方程；

（2）过点M的直线l与圆E相交于A和B，与Γ相交于C和D，证明：

.

【问题分析】

本题为圆锥曲线综合题，题设两问，其中第（2）问为核心之问，证明线段间的关系，涉及直线与圆相切、点对称，融合直线、抛物线、圆. 探究解析需要关注其中的位置关系，提取数量关系，通过数学运算与逻辑推理加以证明.

【思维引导】

教学中可以引导学生构建思维导图，整合问题条件，根据题设进行思维推理，运算求解. 对于上述两问，可以按照图1进行思维引导.

对于第（1）问，可引导学生关注其中对称的条件，设定圆心E的坐标，构建方程获得曲线的特征进行参考. 而第（2）问证明线段数量关系时，引导学生联立方程求解

【问题分析】

本题为以椭圆为背景的圆锥曲线综合题，题设两问，其中第（2）问为核心之问. 探究三点共线的充要条件，本质为位置关系证明问题. 教学中要引导学生理清其中的位置关系，包括椭圆、直线、点，以及特殊曲线之间的关系. 探究中可引导学生绘制具体图象，适当提示关注点、重点、易错点，促使学生把握解析过程.

【思维引导】

解析过程实则为思维推理过程，教学中对学生进行思维引导是十分必要的. 本题有两问，可引导学生理清其中的位置关系，构建推理过程，具体如下：

（1）该问求解的是椭圆C的方程，解析关键是用离心率和焦点坐标求得特征参数.思维过程为：处理离心率和焦点坐标→求出a和c的值→求出b的值→椭圆的标准方程.

（2）该问证明的是三点共线的充要条件，问题综合性强，证明分两步进行：先证明充分性，再证明必要性. 思维过程为：先证明充分性，设直线MN的方程→利用圆心到直线MN的距离公式求出m的值→联立直线MN与椭圆C的方程→求出

的值→结论；再证明必要性，设直线MN的方程→由圆心到直线MN的距离公式求出m与t的关系→联立直线MN与椭圆C的方程→求出m和t的值→得到直线MN的方程→直线MN必过点F→结论.

【过程引导】

（1）求解椭圆的标准方程，核心条件有两个：①右焦点为F（，0）；②离心率为.

根据题意可得，离心率e==，又c=，所以a=，则b2=a2-c2=1. 所以椭圆的标准方程为+y2=1.

（2）证明三点共线的充要条件，教学中可以先引导学生绘制图象，再引入两步过程，同时提示关键点.

绘制图象：椭圆C的焦点位于x轴上，即点F在x轴正半轴上. 直线MN与曲线x2+y2=1（x>0）为相切关系，探究的是M，N，F三点共线的充要条件. 综上分析，可绘制如图2所示的图象.

【技巧总结】

上述第（2）问证明三点共线的充要条件，通过求MN的方程来分别证明充分性和必要性，将位置关系问题转化为代数问题. 教学中要引导学生明确该类问题的破解思路，树立“转化”意识，了解证明位置关系的关键是转化为代数关系.

常见问题的转化策略如下：

（1）几何性质证明→代数分析.

（2）对边相等证明→①斜率相等或向量平行；②横（纵）坐标差相等.

（3）对角线互相平分→中点重合.

（4）两线段垂直→两向量的数量积等于0.

教学感悟

圆锥曲线证明题的探究教学，需要关注两点：一是总结问题类型，关注问题的知识考点；二是关注探究过程，总结方法技巧. 实际教学中教师要注重学生的思维培养，将学生思维能力的提升作为教学重点.

建议开展节点式引导，视问题为节点结构. 先将解题过程拆解为各个节点的思维活动，再引导学生将思维汇聚到每个节点，如思维过程分析、构建过程探索、方法技巧总结等，使学生的思维在解题活动中充分激荡，从而清晰地认识问题、理解条件、掌握方法. 教学中为帮助学生集中注意力，可以适当设问、提示，引导学生参与讨论，分享所得、所悟、所惑. 教学中明确每个节点的中心任务，适度归纳总结.

教学中要注意拓展、延伸，尤其在解题教学中要引导学生掌握类型题的解题策略. 可以采用多种教学方法，上述的方法技巧总结是常用的一种. 另外还可以采用多题一解的方式，即利用同一种方法求解多道问题，从中提取对应的解题模板. 教学时还应注意思维方法的渗透，引导学生掌握常用的思想方法，如模型构造、数形结合、分类讨论、转化与化归等，充分拓展学生的解题思维.