指向核心素养发展的教材“再建构”研究

［摘 要］ 发展学生的数学学科核心素养是数学教学的核心目标. 基于教材“再建构”设计教学活动，能有效发展学生的抽象能力、建模能力等，对提升学生的数学学科核心素养具有重要意义. 研究者以“不等关系”的教学为例，从教材“再建构”的原则出发，分别从教材分析、教学简录、教学思考三个方面展开实践与研究.

［关键词］ 不等关系；核心素养；教材；再建构

深入理解教材编写意图，坚持“以课本为本”的原则，紧紧围绕章节核心知识与思想设计教学是广大教育工作者的共识. 但教材知识是平面且固化的，而真正的课堂却是多维动态的. 因此，教师在坚持“以课本为本”的同时，还需结合学情、教情与考情对教材进行拓展与延伸，以进一步揭露知识内涵，提高课堂教学价值.

教材“再建构”的原则

美国心理学家斯金纳提出：当人们忘掉在学校所学的知识后，剩下的就是教育了. 学习不仅仅是知识点的学习，更重要的是学习方法与思维的建构. 怎样让零碎的知识变得系统化，让学生的思维更加深刻一些呢？研究发现，对教材进行“再建构”可达成这一目标.

教材“再建构”一般遵循如下几点原则：①遵循知识产生的逻辑顺序，不随意增删、提前或滞后；②与学生认知发展规律相符，以发展学力为指向；③符合学生思维发展规律，以学生现有的思维水平作为教材“再建构”的起点.

教学分析

“不等关系”是本章节的章起始课，是一元二次不等式（组）、线性规划等内容的基础，因此这部分内容具有举足轻重的作用，切不可一带而过. 从教材来看，本节课的教学重点放在具体情境与不等式模型的建立上，引导学生学会从生活实际问题中甄别不等关系，为建立不等式奠定基础. 从考纲要求来看，本节课仅需建立模型，并不需要求解.

结合教学目标与学生的实际认知水平，笔者决定对教材进行“再建构”，带领学生从他们所熟悉的生活实际中抽象不等关系，在积极互动中建立模型，形成普适性的研究方法.

教学简录

1. 情境导入，感知不等

情境1 自2005年南京地铁1号线运营以来，为人们的出行提供了太多便利. 如今，南京地铁线路越来越多，创造了中国地铁的多个记录，如造价低、票价低、人工少等，这些都反映了咱们的现实生活中存在一些不等关系.

设计意图 以现实生活作为导入情境，让学生体会数学与生活有着密切联系，感知“生活处处皆数学”；着重突出知识形成背景和生活现实的联系，让学生自主尝试用数学眼光看待现实世界，用数学思维思考现实世界，对发展学生的“三会”能力与数据分析素养具有重要意义.

情境2 已知张三和李四的身高都是174 cm，那么这两个人的实际身高一定相等吗？

这个问题成功引发了学生认知冲突，有学生认为数据一样，这两人的实际身高必然相等；也有学生认为如果将数据单位精确到毫米、微米后，那么这两人的实际身高就可能不相等.

设计意图 身高问题引发学生认知冲突，让学生发现生活中所说的相等关系往往是相对的，与相等关系相比，生活中的不等关系更多一些.

情境3 如图1所示，此为我国古代用来取水的装置——桔槔，请大家观察图片说说它的工作原理.

生1：这是利用杠杆原理，借助动力臂与阻力臂长度不相等的特征来制造的取水装置.

师：非常好！以上三个情境告诉我们，不等关系存在于生活中的方方面面，因此我们有必要深入探索与研究它.

设计意图 三个情境在课本中都出现过，笔者将它们整合到一起，引导学生从“发现不等—思考不等—应用不等”的线索出发，感知学习不等的必要性与重要性，激趣启思的同时为接下来的教学奠定基础.

2. 双边互动，表示不等

结合以上情境，启发学生自主提出“不等关系用不等式来表示”. 在此基础上，让学生思考如下几个问题：

问题1 何为不等式？不等号有哪些？

在问题的启发下，学生认为用不等号连接起来的式子为不等式，不等号有“>”“<”“≤”“≥”“≠”等.

追问：你们知道不等号是谁最先使用的吗？

史料渗透：1631年，英国数学家哈利奥特首次使用不等号“>”“<”，但当时的数学界并不承认该符号，直到百年以后，不等号才被数学界接受.

设计意图 史料的应用，意在润物细无声地渗透数学文化，为进一步发展数学学科核心素养夯实基础.

问题2 请大家列举一些数学中含有不等关系的实例.

生2：完全平方的数必然不小于0.

师：该怎样用数学符号语言表达呢？

生2：A2≥0.

生3：三角形的任意两条边的和必然大于第三条边，用数学符号语言描述就是a+b>c，b+c>a，a+c>b（a，b，c为三角形的三条边）.

师：很好！这些都属于数学中常见的不等关系. 生活中也存在不少不等关系，现在请大家来看这三句话（用PPT展示）：①南京地铁轨道线网超出了225公里；②南京地铁售票处限定地铁3号线的票价不得低于2元，不得高于7元，即票价介于2～7元之间；③乘坐地铁时，乘客不得携带超过15 kg或大于0.15 m3的行李.

问题3 请找出这三句话中的不等关系，列表表示.

学生经过自主探究，将三个不等关系中的数据罗列在表1中.

问题4 在列表过程中，你们是如何将文字语言的不等关系转化为符号语言的不等关系？

生4：先从文字表述中探寻出不等关系，然后设未知数，根据不等关系词的意思进行转化.

师：不错，不等关系词所表达的就是不等关系，因此我们可用不等号将其中的不等关系表达出来. 现在请同桌之间互相说一说生活实际中的不等关系，并用不等式表达出来.

（学生交流、互动、展示）

设计意图 不论是地铁的例子，还是同伴之间互相提出的生活实际问题，都是为了引导学生发现生活中的不等关系，并将这种不等关系用数学符号语言表达出来，为接下来的教学做铺垫.

3. 模型建立，应用不等

问题5 既然我们已经学会了怎样用数学符号语言来表达不等关系，那么能否建立不等模型呢？下面我们一起来看几道例题.

例1 某人每月从家到公司往返共40次，他为自己制定了交通费不超过120元/月的计划，已知乘坐地铁的费用为2元/次，而乘坐出租车的费用为15元/次，他每个月至少需要乘坐几次地铁，才能确保交通费不超出预算？

解析 设每个月乘坐地铁的次数为x，那么乘坐出租车的次数就是40-x，列式15（40-x）+2x≤120（x∈N），得13x≥480.

设计意图 以一个简单的生活通勤实例带领学生感知一元一次不等式模型，整个问题其实还是围绕“地铁”这个背景而设计的，一方面前后呼应，另一方面揭露健康的通勤方式，起到育人的作用.

问题6 你能自主总结解决不等关系的一般步骤吗？

师生积极互动交流，共同总结出图2.

设计意图 带领学生从“三会”的角度出发，促使学生自主提炼研究不等式的基本模型，感知基本的研究方式方法，为发展数学抽象素养、建模能力等服务.

例2 已知地铁站有多台自动售卖机，某品牌的纯净水以2元的价格出售，每个月的销售总量约10万瓶，如果将其价格每瓶抬高0.2元，那么每个月的销售总量就会减少5000瓶. 若想让这种纯净水的月销售额大于22.4万元，该如何定价？

解析 假设定价提高x元，结合题意可列式（x+2）

10-

>22.4，经化简，有5x2-10x+4.8<0.

设计意图 此例为课本上的一道练习题，将它应用到课堂授课中，意在引导学生用数学思维思考与分析现实问题，从而进一步历练学生从实际问题中抽象数学模型的能力，深化学生的建模思想与抽象素养.

例3 制造列车时，需将一部分原长度为4000 mm的不锈钢管分别截取出500 mm与600 mm两种规格，且规格为600 mm的数量不超过规格为500 mm的3倍，请将满足以上条件的不等关系写出来.

解析 假设截取了x根500 mm的钢管，y根600 mm的钢管，列式

500x+600y≤4000，

3x≥y，

x∈N，y∈N.

设计意图 此为引入线性规划知识的基础，即用不等式组来刻画现实中的不等关系，让学生再次感知数学模型的建构过程，为提炼基本的数学思想方法做铺垫.

4. 拓展延伸，提炼不等

例4 已知b g盐水的含盐量为a g，如果往该盐水内再加入m g（m>0）的盐，那么原来的盐水会变得更咸，请从该实例中提炼不等关系.

解析 原盐水浓度是，再加m g盐后，盐水浓度就是，那么不等关系为>.

问题7 从以上几个实例来看，数学是诠释生活的重要方式，正因为数学的存在让我们的生活变得更加丰富. 你们还能列举一些类似的实例吗？

学生积极互动，提出女性穿高跟鞋后，增加了下半身与身高的比例，基本接近黄金分割数0.618，所以视觉效果更好，等等.

设计意图 盐水问题是生活中常见的现象，该例的提出主要是为了引导学生深化对分式不等式的理解，强化学生的建模意识与抽象能力，进一步提升学生的数学思维能力. 要求学生自主探寻生活中的实例，意在考查学生对不等式的理解与应用能力，这是检验学生对本节课教学内容掌握程度的过程，让学生再次体验生活中处处存在不等关系.

5. 回顾总结，回味不等

问题8 本节课是怎样展开探索不等关系的？

这是一个回顾总结的问题，学生经思考与交流后，认为本节课的探索过程为“情境导入→乘坐地铁→售卖饮料→制造地铁→盐水问题”，整个过程连贯且条理清晰. 此过程，涉及一元一次不等式（组）、一元二次不等式，以及分式不等式等模型.

问题9 通过本节课的学习，你获得了哪些感悟、体验与收获？

依然经过合作交流，学生展示：如图3所示，将生活实际中的不等关系作为出发点，通过不等式的建立与解不等式，可获得相应的不等关系.

感悟阶段，学生表示通过本节课的学习进一步感知生活处处皆数学的真谛，感悟生活中的很多事物是相对的，不等关系普遍存在于生活实际中，用好不等关系不仅能提高生活效率，还能让生活变得丰富多彩、积极健康.

设计意图 课堂总结犹如一节课的点睛之笔，处理好相等与不等关系的辩证是立德树人的基础，也是帮助学生形成终身可持续发展能力的基本途径.

教学思考

1. 巧设情境，丰富教学背景

学生对与自己生活息息相关的知识更感兴趣，因此应站在学生的角度设计情境. 不等关系从数学符号语言上来说相对抽象，难以拉近学生与知识的距离，而丰富的生活背景则能引发学生的探索兴趣，让学生自然而然地进入不等关系的研究中来. 当然，情境的选择非常重要，切忌让过于复杂的情境成为课堂的负担.

课堂伊始，笔者从教材出发，优选地铁、身高与桔槔三个生活实例，它们分别从现代化工业、人类本身与数学史三个角度来诠释不等关系，具有典型代表性，每一个情境简洁明了、条理清晰，便于学生从中感知什么是不等关系，又不会模糊视线. 尤其是关于地铁的情境几乎贯穿了整个课堂，让教学更具系统性.

2. 精设问题，营造自由空间

问题是课堂的灵魂. 本节课由9个问题循序渐进地构成，学生的思维随着问题的深入而更加丰富，这是课堂教学的常用方式. 纵观整节课，笔者所提出的问题都是开放式的，这给学生提供了更多自由思考的空间，也给学生的思维指明了方向，学生在一个个有效问题的指导下自主分析与思考，不仅顺利突破了教学重点与难点，还发展了数学学科核心素养.

3. 纵横拓展，提炼总结升华

新课标背景下的数学教学并不是完成知识点的教学即可，而应着眼于数学思想方法，夯实“四基”与“四能”，发展“三会”能力等，只有指向数学学科核心素养的教学才是促进教育高质量发展的教学.

为了有效激发学生对数学学习的兴趣，笔者深挖教材，让学生“感知→发现→思考”什么是不等关系，进而全方位认识不等关系，并通过几个典型不等实例让学生明确学习不等关系的必要性与重要性，成功推动学生数学逻辑思维的发展，彰显教材“再建构”的优势.

总之，教材“再建构”的目的是更好地指向数学学科核心素养的发展，这是让课堂超越基础知识与技能，促进学力发展的基础，也是落实“立德树人”任务和“以生为本”理念的重要途径. 因此，这是一种值得探索与研究的教学方式.